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मध्य पद का दुगुना बाकी दोनों पदों के योग के बराबर होता है, इसलिए (2(x+4)=(2x-3)+(3x-1)) से (x=3)। तीन क्रमागत पदों में मध्य पद का नियम तेज होता है। / Twice the middle term equals the sum of the other two terms, so (2(x+4)=(2x-3)+(3x-1)) gives (x=3). For three consecutive terms, the middle-term rule is fast.
(2(2a+1)=(a-2)+(5a-4)) से (a=3), इसलिए पद (1,7,11) नहीं बल्कि (1,7,11) में अंतर समान नहीं आता; सही समीकरण से (4a+2=6a-6), अतः (a=4) और (d=9-2=7)। ऐसे प्रश्न में पहले (a) निकालकर फिर (d) निकालें। / From (2(2a+1)=(a-2)+(5a-4)), (4a+2=6a-6), so (a=4), and (d=9-2=7). In such questions find the variable first and then find (d).
क्रमागत अंतर (p,2p,3p) हैं, ये समान तभी होंगे जब (p=0)। अंतरों की तुलना करना सबसे सुरक्षित तरीका है। / The consecutive differences are (p,2p,3p), which are equal only when (p=0). Comparing differences is the safest method.
(16) से (22) का अंतर (6) है, इसलिए (y=16-6=10)। खाली पद निकालने में समान अंतर को आगे और पीछे दोनों तरफ लगाएं। / The difference from (16) to (22) is (6), so (y=16-6=10). Use the same difference both forward and backward for missing terms.
तीन समान अंतर हैं, इसलिए \(d=\frac{24-3}{3}=7\), अतः (x=10) और (y=17)। दो खाली पद हों तो कुल अंतर को बराबर भागों में बांटें। / There are three equal gaps, so \(d=\frac{24-3}{3}=7\), hence (x=10) and (y=17). For two missing terms, split the total difference into equal gaps.
\(\frac{7}{10}-\frac{2}{5}=\frac{3}{10}\) और \(1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}\) है। भिन्नों में हर समान करना न भूलें। / \(\frac{7}{10}-\frac{2}{5}=\frac{3}{10}\) and \(1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}\). Do not forget to use common denominators in fractions.
दोनों अंतर बराबर रखने पर ((3x+10)-(5x+2)=(x+18)-(3x+10)), जिससे पहचान समानता बनती है और (d=8-2x)। इसलिए यह हर (x) पर अंकगणितीय श्रेणी है, लेकिन (d) निश्चित नहीं है। / Equating differences gives ((3x+10)-(5x+2)=(x+18)-(3x+10)), which is an identity, so (d=8-2x). Therefore it is an arithmetic progression for every (x), but (d) is not fixed.
सभी पदों में समान (5) जोड़ने से (d) नहीं बदलता, इसलिए (d=-4) रहेगा। समान जोड़ या घटाव से सार्व अंतर अपरिवर्तित रहता है। / Adding the same (5) to all terms does not change (d), so (d=-4) remains. Equal addition or subtraction keeps the common difference unchanged.
मूल सार्व अंतर (5) है, इसलिए (3) से गुणा करने पर नया (d=15) होगा। सभी पदों को समान गुणक से गुणा करने पर (d) भी उसी गुणक से गुणा होता है। / The original common difference is (5), so after multiplying by (3), the new (d=15). When all terms are multiplied by the same factor, (d) is multiplied by that factor too.
मूल (d=7) है और उलटा क्रम \(23,16,9,2,\ldots\) में (d=-7) होगा। क्रम उलटने पर सार्व अंतर का चिह्न बदल जाता है। / The original (d=7), and in reverse order \(23,16,9,2,\ldots\), (d=-7). Reversing the order changes the sign of the common difference.
A. हर (x) के लिए यह अंकगणितीय श्रेणी है/It is an arithmetic progression for every (x)
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतर (x-2) और (x-2) हैं, इसलिए वे हर (x) पर समान हैं। बीजगणितीय पदों में अंतरों को सरल करके तुलना करें। / Both differences are (x-2) and (x-2), so they are equal for every (x). Simplify and compare differences in algebraic terms.
मूल (d=-4) है और विपरीत पद \(-7,-3,1,5,\ldots\) बनाते हैं, जिनका (d=4) है। सभी पदों को (-1) से गुणा करने पर (d) का चिह्न बदलता है। / The original (d=-4), and the opposite terms form \(-7,-3,1,5,\ldots\), whose (d=4). Multiplying all terms by (-1) changes the sign of (d).
A. \(\frac{1}{6}, 1, \frac{11}{6}, \frac{8}{3},\ldots\)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प में \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) और \(\frac{11}{6}-1=\frac{5}{6}\) है। विकल्पों में हर अंतर अलग से जांचें। / In the first option, \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) and \(\frac{11}{6}-1=\frac{5}{6}\). Check every difference separately in options.
कुल अंतर (14-2=12) तीन बराबर भागों में बंटेगा, इसलिए (d=4) और (x+1=6) नहीं बल्कि दूसरा पद (6) होना चाहिए, अतः (x=5)। कुल अंतर को समान भागों में बांटना उपयोगी है। / The total difference (14-2=12) is split into three equal gaps, so (d=4), and the second term should be (6), hence (x=5). Splitting the total difference into equal parts is useful.
(1.20-0.75=0.45) और (1.65-1.20=0.45) है। दशमलव में शून्य लगाकर घटाना बेहतर होता है। / (1.20-0.75=0.45) and (1.65-1.20=0.45). In decimals, adding zeros helps subtraction.
((r-1)-(r-6)=5) और ((r+4)-(r-1)=5) है। चर कट जाने पर स्थिर सार्व अंतर मिलता है। / ((r-1)-(r-6)=5) and ((r+4)-(r-1)=5). When variables cancel, a constant common difference remains.
(2(3a+1)=2a+(5a-1)) से (6a+2=7a-1), इसलिए (a=3)। तीन पदों में मध्य पद का दुगुना नियम जल्दी काम करता है। / From (2(3a+1)=2a+(5a-1)), (6a+2=7a-1), so (a=3). The twice-middle-term rule works quickly for three terms.
मूल (d=4) है और (2n) का अंतर (2) है, इसलिए नया (d=4-2=2)। पद संख्या पर आधारित परिवर्तन में अंतरों का अंतर घटाएं। / The original (d=4), and the difference of (2n) is (2), so the new (d=4-2=2). In term-number transformations, subtract the difference of the change.
दूसरे से पांचवें पद तक (3) अंतर होते हैं, इसलिए (3d=18) और (d=6)। पदों की दूरी को अंतरों की संख्या में बदलें। / From the second to the fifth term there are (3) gaps, so (3d=18) and (d=6). Convert distance between terms into number of gaps.
चौथे और पहले पद के बीच (3) अंतर हैं, इसलिए (3d=-15) और (d=-5)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रखें। / There are (3) gaps between the fourth and first terms, so (3d=-15) and (d=-5). Keep (d) negative for a decreasing progression.
मूल (d=3) है और पद संख्या \(1,2,3,\ldots\) का अंतर (1) है, इसलिए नया (d=4)। ऐसे परिवर्तन में दोनों सार्व अंतरों को जोड़ें। / The original (d=3), and term numbers \(1,2,3,\ldots\) have difference (1), so the new (d=4). In this transformation, add the two common differences.
A. यह हर (q) पर अंकगणितीय श्रेणी है/It is an arithmetic progression for every (q)
Explanation
Simple Explanation
क्रमागत अंतर (2q,2q,2q) हैं, इसलिए यह हर (q) पर अंकगणितीय श्रेणी है। समान बीजगणितीय अंतर भी मान्य होता है। / The consecutive differences are (2q,2q,2q), so it is an arithmetic progression for every (q). Equal algebraic differences are also valid.
मूल (d=-3) है और (-2) से गुणा करने पर नया (d=6) होगा। गुणक ऋणात्मक हो तो (d) का चिह्न भी बदल सकता है। / The original (d=-3), and multiplying by (-2) gives new (d=6). If the multiplier is negative, the sign of (d) can also change.
(2(2x+3)=x+(4x+1)) से (4x+6=5x+1), इसलिए (x=5) और (d=13-5=8)। पहले चर का मान निकालना जरूरी है। / From (2(2x+3)=x+(4x+1)), (4x+6=5x+1), so (x=5) and (d=13-5=8). Finding the variable first is necessary.
(-\frac{5}{6}-\left\(-\frac{3}{2}\right\)=\frac{2}{3}) और अगला अंतर भी \(\frac{2}{3}\) है। ऋणात्मक भिन्नों में घटाव सावधानी से करें। / (-\frac{5}{6}-\left\(-\frac{3}{2}\right\)=\frac{2}{3}), and the next difference is also \(\frac{2}{3}\). Be careful while subtracting negative fractions.
(2(2m+5)=(m+2)+(4m+1)) से (4m+10=5m+3), इसलिए (m=7)। तीन पदों में मध्य पद का दुगुना नियम लगाएं। / From (2(2m+5)=(m+2)+(4m+1)), (4m+10=5m+3), so (m=7). Use the twice-middle-term rule for three terms.
मूल (d=-5) है, इसलिए (4) से भाग देने पर नया \(d=-\frac{5}{4}\) होगा। सभी पदों को समान संख्या से भाग देने पर (d) भी उसी से भाग देता है। / The original (d=-5), so after dividing by (4), the new \(d=-\frac{5}{4}\). Dividing all terms by the same number divides (d) by that number.
तीन पदों में \(b=\frac{4+22}{2}=13\), इसलिए (b-a=13-4=9)। मध्य पद को औसत से निकालें। / For three terms, \(b=\frac{4+22}{2}=13\), so (b-a=13-4=9). Find the middle term using the average.
पहले तीन विकल्पों में (d=-8) है, लेकिन \(81,72,63,54,\ldots\) में (d=-9) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों देखें। / The first three options have (d=-8), but \(81,72,63,54,\ldots\) has (d=-9). Check both value and sign in the options.
(4+d=1) से (d=-3), और (4+2d=-2) से भी यही मिलता है। सामान्य रूप को दिए गए पदों से मिलाएं। / From (4+d=1), (d=-3), and (4+2d=-2) confirms it. Match the general form with the given terms.
दोनों सार्व अंतर (3) और (5) हैं, इसलिए योग अनुक्रम का (d=3+5=8)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The two common differences are (3) and (5), so the sum sequence has (d=3+5=8). In termwise addition, common differences add.
पहले अनुक्रम का (d=-3) और दूसरे का (d=4) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=-3-4=-7)। पद-दर-पद घटाव में सार्व अंतरों को भी घटाएं। / The first sequence has (d=-3) and the second has (d=4), so the difference sequence has (d=-3-4=-7). In termwise subtraction, subtract the common differences too.
दोनों अंतर (5) और (5) हैं, इसलिए यह हर (x) पर अंकगणितीय श्रेणी है। चर की जगह पहले अंतरों की तुलना करें। / Both differences are (5) and (5), so it is an arithmetic progression for every (x). Compare differences before fixing the variable.
मूल (d=-3) है और पद संख्या का (d=1) है, इसलिए नया (d=-3-1=-4)। पद संख्या घटाने पर उसका अंतर भी घटता है। / The original (d=-3), and term numbers have (d=1), so the new (d=-3-1=-4). When subtracting term number, its difference is also subtracted.
(2(x+6)=2x+18) से (2x+12=2x+18) असत्य है, इसलिए कोई (x) संभव नहीं। अतः (d) निर्धारित नहीं होता। / (2(x+6)=2x+18) gives (2x+12=2x+18), which is false, so no (x) is possible. Hence (d) is not determined.
(2,6,10) तक अंतर (4,4) हैं, पर (15-10=5) है। सभी उपलब्ध क्रमागत अंतर जांचना जरूरी है। / Up to (2,6,10), the differences are (4,4), but (15-10=5). It is necessary to check all available consecutive differences.
नए पद (a+1, a+d+2, a+2d+3) हैं और दोनों अंतर (d+1) हैं। क्रमशः बढ़ती हुई जोड़ से (d) में (1) जुड़ता है। / The new terms are (a+1, a+d+2, a+2d+3), and both differences are (d+1). Adding increasing numbers respectively adds (1) to (d).
A. (d=-1) वाली अंकगणितीय श्रेणी/Arithmetic progression with (d=-1)
Explanation
Simple Explanation
पहले (d=4) और दूसरे (d=5) हैं, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-5=-1)। दो अंकगणितीय श्रेणियों का पद-दर-पद अंतर भी अंकगणितीय श्रेणी होता है। / The first has (d=4) and the second has (d=5), so the difference sequence has (d=4-5=-1). The termwise difference of two arithmetic progressions is also an arithmetic progression.
पहले अनुक्रम का (d=0) और दूसरे का (d=2) है, इसलिए नया (d=2)। स्थिर अनुक्रम जोड़ने से (d) नहीं बदलता। / The first sequence has (d=0) and the second has (d=2), so the new (d=2). Adding a constant sequence does not change (d).
(8) से (14) तक अंतर (6) है, इसलिए (s=8-6=2)। पीछे की ओर चलते समय भी वही (d) घटाएं। / The difference from (8) to (14) is (6), so (s=8-6=2). While moving backward, subtract the same (d).
मूल (d=3) है, दुगुना करने से (d=6) होगा और (1) घटाने से (d) नहीं बदलेगा। गुणा (d) बदलता है, समान घटाव नहीं। / The original (d=3); doubling makes (d=6), and subtracting (1) does not change (d). Multiplication changes (d), equal subtraction does not.
(3+3d=24) से (d=7), इसलिए दूसरा पद (3+d=10)। पहले (d) निकालकर संबंधित पद बनाएं। / From (3+3d=24), (d=7), so the second term is (3+d=10). First find (d) and then form the required term.
\(12-\frac{3}{2}=\frac{21}{2}\) और आगे भी \(-\frac{3}{2}\) घटता है। (a) और (d) दोनों को साथ में मिलाएं। / \(12-\frac{3}{2}=\frac{21}{2}\), and \(-\frac{3}{2}\) continues to be subtracted. Match both (a) and (d) together.
(2(3u+2)=(2u-1)+(5u+1)) से (6u+4=7u), इसलिए (u=4)। मध्य पद का दुगुना नियम यहां सीधा है। / From (2(3u+2)=(2u-1)+(5u+1)), (6u+4=7u), so (u=4). The twice-middle-term rule is direct here.
सभी पदों को \(-\frac{1}{2}\) से गुणा करने पर (d) भी उसी से गुणा होगा, इसलिए नया (d=-3)। गुणक सीधे सार्व अंतर पर भी लागू होता है। / When all terms are multiplied by \(-\frac{1}{2}\), (d) is also multiplied by it, so the new (d=-3). The multiplier applies directly to the common difference too.
C. नहीं, क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/No because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
नए पद (81,225,441) हैं और अंतर (144,216) हैं, जो समान नहीं हैं। वर्ग करने से सामान्यतः अंकगणितीय श्रेणी सुरक्षित नहीं रहती। / The new terms are (81,225,441), and the differences are (144,216), which are not equal. Squaring generally does not preserve an arithmetic progression.
\(h=\frac{4+20}{2}=12\), इसलिए (h-4=8)। मध्य पद निकालकर सार्व अंतर भी मिल जाता है। / \(h=\frac{4+20}{2}=12\), so (h-4=8). Finding the middle term also gives the common difference.
मूल (d=4) है और (3n) का (d=3) है, इसलिए नया (d=1)। पद संख्या से जुड़े परिवर्तन में उसके सार्व अंतर को घटाएं। / The original (d=4), and (3n) has (d=3), so the new (d=1). In term-number changes, subtract its common difference.
(2(k+2)=(k-3)+(2k+1)) से (2k+4=3k-2), इसलिए (k=6)। समीकरण बनाते समय मध्य पद को पहचानें। / From (2(k+2)=(k-3)+(2k+1)), (2k+4=3k-2), so (k=6). Identify the middle term while forming the equation.
क्रमागत अंतर (r,2r,3r) हैं, ये समान तभी होंगे जब (r=0)। ऐसे प्रश्नों में पहले सभी क्रमागत अंतर लिखें। / The consecutive differences are (r,2r,3r), which are equal only when (r=0). In such questions first write all consecutive differences.
