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(x)-अक्ष पर (p(x)=0), इसलिए \(x^2-5=0\) से \(x=\pm\sqrt{5}\) है। ग्राफ में (x)-कट शून्यक होते हैं। / On the (x)-axis, (p(x)=0), so \(x^2-5=0\) gives \(x=\pm\sqrt{5}\). The (x)-intercepts are the zeroes.
x-अक्ष पर मिलन के बिंदुओं के लिए \(p(x)=0\) करना होता है. \(x^2-2x-8=0\) को फैक्टर करें: \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\). अतः शून्य तब होंगे जब \(x=4\) या \(x=-2\), जो बिंदु \((4,0)\) और \((-2,0)\) देते हैं। विकल्प B में संकेत उल्टा दिए गए हैं; विकल्प C वे y-अक्ष पर मिलने वाले बिंदु हैं (y-संयोजन) और विकल्प D त्रुटिपूर्ण मूल देता है। परीक्षा टिप: क्वाड्रैटिक के लिए पहले फैक्टर करके जड़ें खोजें; फैक्टर न होने पर द्विघात सूत्र का उपयोग करें और हमेशा प्राप्त x-मूलों को (x,0) रूप में लिखें। / Points where the graph meets the x-axis are the zeros of \(p(x)\), so set \(p(x)=0\). Factor: \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\). Therefore \(x=4\) and \(x=-2\), giving points \((4,0)\) and \((-2,0)\). Option B has signs swapped (gives wrong x-values); option C lists points on the y-axis, not x-axis; option D is just incorrect roots. Exam tip: set the quadratic equal to zero and factor or use the quadratic formula; then report roots as (x,0).
बहुपद को शून्य के बराबर रखकर काटने वाले बिंदु (roots) मिलते हैं।
p(x)=x-2+2x-15 को गुणन किया जाए तो: \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\).
शून्य होने पर \((x+5)(x-3)=0\) से x=-5 या x=3 प्राप्त होता है। इसलिए ग्राफ x-अक्ष को x=3 और x=-5 पर काटेगा।
नजदीकी भ्रामक विकल्प (-3,5) गलत साइन का परिणाम है (स्थायी पद का मान -15 वाले गुणन से संकेत मिलता है कि एक शून्य ऋणात्मक है)।
परिक्षा‑टिप: हमेशा स्थायी पद (constant term) और x‑के गुणांकों के योग से संकेत मिलते हैं — उत्पाद = -15 होने से जड़ों में एक धनात्मक और एक ऋणात्मक मान होना चाहिए। / Set the quadratic equal to zero to find x-intercepts (roots).
Factor: \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\).
Setting \((x+5)(x-3)=0\) gives x=-5 or x=3, so the graph meets the x-axis at x=3 and x=-5.
The closest distractor (-3, 5) is wrong because the signs of the roots are incorrect — the constant term -15 forces the product of roots to be -15, so one root must be negative.
Exam tip: Check constant term and middle coefficient quickly — product of roots = constant term, sum of roots = - (coefficient of x).
बहुपद को गुणनखंडों में लिखा है: p(x)=2(x-1)(x+4)। ग्राफ के x-प्रतिच्छेद वे x मान हैं जहाँ p(x)=0। इसलिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य करके x-मान मिलते हैं: x-1=0 → x=1 और x+4=0 → x=-4। अतः x-प्रतिच्छेद (1,0) और (-4,0) हैं। 2 का गुणनांक मूल्यों को नहीं बदलता। नज़दीकी भ्रामक विकल्प B में संकेत उल्टे हैं, C में गलती से 1 के स्थान पर 2 लिया गया है, और D में y-अवरोध दिए गए हैं। परीक्षा संकेत: यदि बहुपद का गुणनखंड रूप दिया हो तो सीधे प्रत्येक गुणनखंड को शून्य करके जड़ें लिखें और उन्हें (root,0) के रूप में प्रस्तुत करें। / The polynomial is given in factor form: p(x)=2(x-1)(x+4). x-intercepts occur where p(x)=0, so set each factor to zero: x-1=0 → x=1 and x+4=0 → x=-4. Hence the intercepts are (1,0) and (-4,0). The multiplicative constant 2 does not affect the roots. Closest distractor B flips the signs, C wrongly uses 2 instead of 1, and D lists y-intercepts. Exam tip: from factorised form read off roots directly and write intercepts as (root,0).
किसी बहुपद का शून्यक वह x-निर्देशांक होता है जहाँ y=0 होता है। दिए गए प्रतिच्छेद बिंदुओं के x-निर्देशांक क्रमशः -4, 1 और 6 हैं, अतः शून्यकों का समुच्चय {-4,1,6} होगा। निकटभ्रमक विकल्प C में -4 और 6 सही हैं परन्तु 1 के स्थान पर 0 लिया गया है — 0 यहाँ y-निर्देशांक है, न कि शून्यक। परीक्षा-सुझाव: प्रतिच्छेद बिंदु से केवल x-अंश लें; y=0 को शून्यक न समझें। / A zero (root) of a polynomial is the x-coordinate where the graph meets the x-axis (y=0). From the intercepts (-4,0), (1,0), (6,0) the x-values are -4, 1 and 6, so the set of zeroes is {-4,1,6}. The closest distractor C mixes a y-value (0) into the set in place of 1; remember 0 in the ordered pair is the y-coordinate, not a root by itself. Exam tip: read off only the x-coordinates of x-intercepts to list zeroes.
शून्यक पाने के लिये p(x)=0 रखें: \(x^2-9=0\)। इसे गुणनखंडों में लिखें: \((x-3)(x+3)=0\) जिससे \(x=\pm3\) मिलता है। बहुपद के शून्यक x-अक्ष पर बिंदु के रूप में होते हैं, अर्थात् \((x,0)\)। अतः बिंदु \((-3,0)\) और \((3,0)\) सही हैं। विकल्प B और D में दिए गए बिंदु y-अक्ष पर हैं (x=0) — वे x-अक्ष-काट बिंदु नहीं हैं; विकल्प C में ±9 शून्यक नहीं हैं क्योंकि \(x^2-9=0\) का हल ±3 है। परीक्षा सुझाव: जल्दी शून्यक पाने के लिये बहुपद को फैक्टर कर लें या सीधे \(x^2=9\) लेते हुए \(x=\pm3\) निकालें। / Set p(x)=0: \(x^2-9=0\). Factor: \((x-3)(x+3)=0\) so \(x=\pm3\). Zeros of the polynomial appear on the x-axis as points \((x,0)\), therefore \((-3,0)\) and \((3,0)\) are the intercepts. Options B and D list points on the y-axis (x=0), not x-axis intercepts; option C mistakes the roots as ±9 instead of ±3. Exam tip: either factor the quadratic or take square roots (\(x^2=9\) gives \(x=\pm3\)) to find intercepts quickly.
x-अक्ष के छेदन बिंदु के x-कोऑर्डिनेट ही बहुपद के शून्यक होते हैं, यहाँ शून्यक हैं 0, d और −d। उनका गुणनफल 0\times d\times(−d)=0 होगा क्योंकि शून्य किसी भी गुणनफल को 0 बना देता है। ध्यान दें कि \(d\neq0\) होने से अन्य दोनों शून्यक शून्य नहीं हैं, पर फिर भी एक शून्यक 0 होने से संपूर्ण गुणनफल 0 हो जाता है। सबसे नजदीकी भ्रामक विकल्प \(-d^2\) है जो केवल d और −d के गुणनफल को दर्शाता है पर वह 0 को नजरअंदाज करता — इस कारण वह गलत है। परीक्षात्मक सुझाव: शून्यक बताने के लिये पहले x-छेदन बिंदु के x-कोऑर्डिनेट पहचानें और तुरंत जाँचें क्या उनमें 0 शामिल है। / The x-coordinates of the x-intercepts are the polynomial's zeros: 0, d and −d. Their product is 0\times d\times(−d)=0 because any product containing 0 equals 0. Note that \(d\neq0\) ensures the other two zeros are nonzero, but the presence of the zero root makes the whole product zero. The closest distractor, \(-d^2\), would be the product of d and −d alone and is wrong because it ignores the zero root. Exam tip: always check intercepts for a root equal to 0 first — it instantly gives the product as 0.
हमारे पास \(p(x)=x^2-cx\) है। सामान्य गुणनखंड निकालें: \(p(x)=x(x-c)\)। जब \(p(x)=0\) तो या तो \(x=0\) या \(x=c\)। अतः ग्राफ़ के x-अक्ष के साथ कटान बिंदु \((0,0)\) और \((c,0)\) होंगे। गलत विकल्पों का संक्षेप कारण: विकल्प B में चिन्ह गलत है (\(-c\) दिया गया) जबकि सही शून्य \(c\) है; विकल्प C में \(x=0\) छोड़ा गया; विकल्प D का पहला बिंदु \((0,c)\) y-अक्ष पर है, x-अक्ष पर नहीं। परीक्षा टिप: शुन्य जानने के लिए \(p(x)=0\) रखें और सामान्य गुणनखंड निकालें (common factor निकालें)। / We have \(p(x)=x^2-cx\). Factor the expression: \(p(x)=x(x-c)\). Setting \(p(x)=0\) gives \(x=0\) or \(x=c\). Therefore the x-intercepts are \((0,0)\) and \((c,0)\). Why others are wrong: option B uses \(-c\) which is the wrong sign; option C omits the zero at \(x=0\); option D includes \((0,c)\), a point on the y-axis, not an x-intercept. Exam tip: set \(p(x)=0\) and factor out the common \(x\) to find zeros quickly.
ग्राफ के x-अक्ष के साथ छेदों के x-निर्देशांक ही बहुपद के शून्यक (roots) होते हैं, अतः शून्यक 0 और d हैं। उनका गुणनफल \(0\times d=0\) होगा। नजदीकी विचलन: विकल्प A (d) केवल एक शून्य है, गुणनफल नहीं; विकल्प D \(d^2\) वही गलती है कि दोनों शून्य d मानकर गुणा कर दिया गया; विकल्प C (-d) गलत संकेत दर्शाता है। परीक्षा-सुझाव: यदि किसी शून्यक में 0 आता है तो पूरा गुणनफल सीधे 0 हो जाता है। / The x-intercepts give the roots, so the zeros are 0 and d. Their product is \(0\times d=0\). Closest distractors: option A (d) is just one root, not the product; option D \(d^2\) arises from mistakenly multiplying d by d; option C (-d) has the wrong sign. Exam tip: whenever one root is 0, the product of the roots is immediately 0.
किसी भी शून्यक r पर ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (r,0) पर काटता है क्योंकि y‑मान शून्य होता है। इसलिए शून्यक -6, 2 और 9 के छेदन बिंदु क्रमशः (-6,0), (2,0) और (9,0) होंगे। आम भूल: विकल्प A में x और y के स्थान बदल दिए गए हैं (शून्यक को पहले संदर्भ में लिखें)। परीक्षा-सुझाव: शून्यक को हमेशा x‑निर्देशांक मानकर (r,0) के रूप में लिखें और ग्राफ पर अंकित करें। / A zero r corresponds to the x-intercept (r,0) because the y-coordinate is zero at an x-axis crossing. Thus zeros -6, 2 and 9 give (-6,0), (2,0) and (9,0). Common mistake: option A swaps coordinates, placing the zero as a y-value instead of x. Exam tip: write each zero as the x-coordinate (r,0) and quickly plot to verify.
स्पर्श बिंदु \\((5,0)\\) और कटने का बिंदु \\((-3,0)\\) दोनों x के मान 5 और −3 को शून्यक बनाते हैं। इसलिए शून्यकों का योग है \\(5+(-3)=2\\)। नोट: स्पर्श भी शून्यक माना जाता है (आमतौर पर सम गुणता), और कटना विषम गुणता दिखाता है — पर इनसे शून्यकों के मान पर फर्क नहीं पड़ता। परीक्षात्मक टिप: x-अक्ष पर दिए गए बिंदुओं के x-कोऑर्डिनेट ही शून्यक होते हैं। / The x-intercepts \\((5,0)\\) and \\((-3,0)\\) correspond to zeroes 5 and −3. Their sum is \\(5+(-3)=2\\). Note: a touch-point is still a zero (usually even multiplicity) and a cross-point is a zero with odd multiplicity, but multiplicity does not change the numerical values of the zeroes. Exam tip: use the x-coordinates of the given intercepts as the roots directly.
A. \(\left(\frac{4}{3},0\right)\) और \(\left(-\frac{4}{3},0\right)\)/\(\left(\frac{4}{3},0\right)\) and \(\left(-\frac{4}{3},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर कटाव पाने के लिए p(x)=0 करें: 9x-2-16=0 ⇒ 9x-2=16 ⇒ x-2=16/9 ⇒ x=±4/3। वैकल्पिक रूप से यह एक अंतर-गणित (difference of squares) है: 9x-2-16=(3x-4)(3x+4), जिससे जड़ें x=4/3 और x=-4/3 मिलती हैं। विकल्प C (±3/4) उल्टा अनुपात है और गलत है; विकल्प B (±4) तब आता अगर समीकरण x-2-16=0 होता। परीक्षा टिप: पूर्णांक गुणांकों को वर्ग करके (3x)2 की तरह देखें या तुरन्त अंतर-गणित के रूप में फैक्टर करें। / Set p(x)=0 to find x-intercepts: 9x-2-16=0 ⇒ 9x-2=16 ⇒ x-2=16/9 ⇒ x=±4/3. Alternatively factor as a difference of squares: 9x-2-16=(3x-4)(3x+4), giving x=4/3 and x=-4/3. Distractor C (±3/4) is the reciprocal mistake; B (±4) would be from x-2-16=0. Exam tip: either factor as (3x-4)(3x+4) or take square roots after isolating x-2 to avoid arithmetic slips.
x-अक्ष पर कटान के बिंदु बहुपद के शून्यक (roots) के x-मान होते हैं। यहाँ शून्यक \(0\) और \(a\) हैं, अतः गुणनफल \(0\times a=0\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(a\) इस बात को गलत तरीके से मानता है कि केवल गैर-शून्य शून्यक का मान गुणनफल है — परन्तु यदि किसी शून्यक का मान \(0\) है तो पूरा गुणनफल शून्य होगा। परीक्षात्मक टिप: यदि शून्यकों में कोई भी मान \(0\) है तो उत्पाद तुरंत \(0\) हो जाएगा। / The x-intercepts give the zeros of the polynomial: here the zeros are \(0\) and \(a\). Their product is \(0\times a=0\). The closest distractor, \(a\), incorrectly treats the product as the nonzero root alone; but a single zero root forces the whole product to be zero. Exam tip: whenever one root is 0, the product of the roots is 0 immediately.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदुओं के x-निर्देशांक ही बहुपद के शून्यक होते हैं, यहाँ शून्यक -5 और 5 हैं। उनका गुणनफल (-5)×5 = -25 होता है। विकल्प B (25) तब गलत है जब चिह्न अनदेखा किया गया हो; विकल्प A (0) तब ही सही होता यदि किसी शून्यक का मान 0 होता; विकल्प D (10) किसी प्रासंगिक गुणनफल से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: शून्यकों के गुणनफल में चिह्न का ध्यान रखें — विपरीत चिह्नों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। / The x-coordinates of the x-intercepts are the zeroes of the polynomial, here −5 and 5. Their product is (−5)×5 = −25. Option B (25) ignores the negative sign; A (0) would be correct only if one root were 0; D (10) is not the product. Exam tip: always account for signs when multiplying roots — opposite signs give a negative product.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु वही शून्यक (zeros) होते हैं; यहाँ शून्यक हैं \(a,\;0,\;-a\)। इनका योग \(a+0+(-a)=0\) आता है। नज़दीकी भटकाने वाला विकल्प \(2a\) गलती से परसार्थ जोड़ने पर मिल सकता है — पर चिह्नों का योग ज़रूरी है। परीक्षा टिप: विलोम (opposite) संख्याएँ आपस में शून्य कर देती हैं, इसलिए \(a\) और \(-a\) को एक साथ जोड़ते ही वे रद्द हो जाते हैं। / The x-intercepts are the polynomial's zeroes, here \(a,\;0,\;-a\). Their sum is \(a+0+(-a)=0\). The distractor \(2a\) might come from adding absolute values incorrectly; \(-a\) is only one root, not the sum. Exam tip: opposite numbers cancel, so pairs like \(a\) and \(-a\) give zero when summed.
बिंदु \\((5,0)\\) का y-निर्देशांक 0 है, इसलिए यह ग्राफ का x-अक्ष छेदन बिंदु है और उस स्थिति में \(x=5\) बहुपद का शून्यक है। बिंदु \\((2,3)\\) में y=3 है \(y\neq0\), इसलिए \(x=2\) शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु के लिए यदि y-सह-निर्देशांक 0 हो तो वही x-मूल शून्यक होता है। / Point \\((5,0)\\) has y=0, so it's an x-intercept and therefore \(x=5\) is a zero of the polynomial/function. The point \\((2,3)\\) has y=3 \(y\neq0\), so \(x=2\) is not a zero. Exam tip: an x-value is a zero only when the corresponding y-coordinate equals 0 (i.e., the graph meets the x-axis).
ग्राफ़ का x-अक्ष पर छेद (x-इंटरसेप्ट) तब मिलता है जब पॉलिनोम का मान शून्य हो। \(p(x)=x^2-49=(x-7)(x+7)\) से \(p(x)=0\) होने पर \(x=7\) या \(x=-7\) आते हैं। इसलिए छेद बिंदु \((7,0)\) और \((-7,0)\) हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि \((0,7)\) तथा \((0,-7)\) y-अक्ष के इंटरसेप्ट हैं, और विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=\pm49\) को शून्य बनाने के लिए आवश्यक बहुपद \(x^2-2401\) होता। परीक्षा टिप: x-इंटरसेप्ट पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) करके हल करें और नियम के रूप में अंतर के वर्ग (difference of squares) की पहचान देखें। / x-intercepts occur where the polynomial equals zero. Factorizing gives \(p(x)=x^2-49=(x-7)(x+7)\). Setting \(p(x)=0\) yields \(x=\pm7\), so the graph meets the x-axis at \((7,0)\) and \((-7,0)\). Option C is a common confusion: \((0,7)\) and \((0,-7)\) are y-intercepts, not x-intercepts. Option B would require zeros at \(x=\pm49\) which correspond to \(x^2-2401\), not our polynomial. Exam tip: to find x-intercepts set \(p(x)=0\) and factor; recognize difference of squares quickly.
शून्यक (zeroes) वे x-निर्देशांक होते हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है. यहाँ शून्यक हैं -3, 0 और 6; इसलिए उनका योग -3 + 0 + 6 = 3. निकटभ्रष्ट विकल्प B (6) तब गलत होगा जब कोई -3 को निकाल दे और केवल धनात्मक निर्देशांकों का योग ले ले (0 + 6 = 6) — यह सामान्य भूल है। टिप: हमेशा सभी x-अक्ष के कटबिंदुओं के x-मान शामिल करें और संकेत (sign) का ध्यान रखें। / The zeroes are the x-coordinates of the x-intercepts. Here the zeroes are -3, 0 and 6, so their sum is -3 + 0 + 6 = 3. The closest distractor B (6) is wrong because it corresponds to omitting the -3 (i.e., adding only 0 and 6). Exam tip: always include every x-intercept's x-value and keep track of signs when summing roots.
x-अक्ष पर कटान वही बिंदु होते हैं जहाँ \(p(x)=0\)। दिया गया है कि \(p(-3)=0\) और \(p(8)=0\), अतः कटान बिंदु (-3,0) और (8,0) होंगे। \(p(2)=5\) शून्य नहीं है, इसलिए (2,5) x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा की टिप: किसी बिंदु का x-अक्ष पर होना तभी संभव है जब उसके y-मान यानी फंक्शन का मान शून्य हो। / Intersections with the x-axis occur where \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) and \(p(8)=0\), the x-intercepts are (-3,0) and (8,0). Because \(p(2)=5\) ≠ 0, the point (2,5) is not an x-intercept. Exam tip: to find x-intercepts from function values, look for input values that give output 0 (roots).
बहुपद के वास्तविक शून्यक वे x-मूल होते हैं जहाँ पर y का मान शून्य होता है (\,\(y=0\)). दिए गए बिंदुओं में केवल \((-4,0)\) और \((2,0)\) ऐसे हैं जिनका y-घटक 0 है, अत: शून्यक \(-4\) और \(2\) हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प B गलत है क्योंकि \((0,3)\) में y=3 है और \((5,-1)\) में y=-1 है — ये x-अक्ष पर नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: ग्राफ पर केवल उन बिंदुओं के x-मान चुनें जिनका y-अवयव शून्य हो। / Real zeros of a polynomial are the x-values where the graph meets the x-axis, i.e. where \(y=0\). Among the given points only \((-4,0)\) and \((2,0)\) have \(y=0\), so the zeros are \(-4\) and \(2\). Closest distractor B is wrong because \((0,3)\) has \(y=3\) and \((5,-1)\) has \(y=-1\); neither lies on the x-axis. Exam tip: pick x-coordinates only from points whose y-coordinate equals zero.
शून्यक x-अक्ष पर दिए गए x-निर्देशांक होते हैं, अर्थात् 3 और 12. दो संख्याओं का औसत उनके योग का आधा होता है, इसलिए \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\)। विकल्प A (15) केवल योग है, इसलिए गलत है। विकल्प B (9) गलत गणना का परिणाम है और विकल्प D (4.5) मूलांक का आधा अंतर \\(\frac{12-3}{2}\\) है — यह मध्यबिंदु का स्थानांक नहीं, बल्कि आधा दूरी है। परीक्षा-टिप: किसी भी दो जड़ों का औसत उनके x-निर्देशांकों का मध्यबिंदु (midpoint) होता है। / The zeros are the x-coordinates of the x-intercepts, namely 3 and 12. The average of two numbers is half their sum, so \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\). Option A (15) is the sum, not the average. Option B (9) is an incorrect calculation. Option D (4.5) equals half the distance between the roots \\(\frac{12-3}{2}\\), not their midpoint. Exam tip: the average of two roots equals the midpoint of their x-coordinates on the x-axis.
x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदु उस बहुपद के शून्य (zeros) होते हैं; इसलिए शून्यकों का गुणनफल सीधे x-मानों का गुणनफल है: (-1)×2×4 = -8. विकल्प A (8) गलत है क्योंकि वहाँ चिह्न को नज़रअंदाज़ किया गया होगा; विकल्प C और D किसी गणना त्रुटि के परिणाम हैं। परीक्षात्मक सुझाव: नकारात्मक शून्य का चिन्ह न भूलें — बस x-मानों को गुणा करें। / Points where the graph meets the x-axis are the polynomial's zeros, so the product is the product of the x-values: (-1)×2×4 = -8. Option A (8) would be the result if the negative sign were ignored; options C and D come from incorrect arithmetic. Exam tip: multiply the x-intercepts directly and pay attention to signs (negative × positive = negative).
आलेख के शून्यक x-अक्ष पर कटने वाली बिंदुओं के x-समन्वय होते हैं, यहाँ शून्यक \(-10\) और \(0\) हैं। इसलिए गुणनफल \((-10)\times 0 = 0\) होगा। विकल्प A (-10) गलत है क्योंकि यह केवल एक शून्यक लेता है; विकल्प D (100) गलत है — यह संभवतः \(10\) के वर्ग से उत्पन्न भ्रम है। परीक्षात्मक सुझाव: यदि किसी बहुपद का एक शून्यक \(0\) है तो शून्यकों का गुणनफल हमेशा \(0\) होगा। / The zeros (roots) are the x-coordinates where the graph meets the x-axis: here they are \(-10\) and \(0\). Thus the product is \((-10)\times 0 = 0\). Option A (-10) is incorrect because it uses only one root; option D (100) is wrong — it seems to confuse absolute values or squaring. Exam tip: if one root is \(0\), the product of the roots is always \(0\).
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु बहुपद के शून्यक होते हैं; यहाँ शून्यक -7 और 2 हैं। गुणनफल = (-7) × 2 = -14। नज़दीकी ग़लत विकल्प 14 है — वह मात्र मान का गुणन करता है और चिन्ह नकारता है; चिन्ह का ध्यान रखना ज़रूरी है। परीक्षात्मक टिप: x-अक्ष पर दिए गए क्रमजोड़े के पहले घटक ही शून्यक होते हैं और उनके गुणनफल में चिन्ह का सही उपयोग करें। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial; here the zeros are -7 and 2. Product = (-7) × 2 = -14. The closest incorrect choice 14 ignores the negative sign; always track signs when multiplying zeros. Exam tip: use the x-coordinates of the intercepts as the zeros and include their signs when computing product or sum.
किसी बहुपद का ग्राफ सामान्यतः \(y=p(x)\) होता है। यदि \(p(a)=0\) हो तो उस पर बिंदु \((a,0)\) होगा क्योंकि फलन का मान (y-निर्देशांक) शून्य है। यहाँ \(p(-2)=0\) और \(p(3)=0\) होने पर आवश्यक बिंदु \((-2,0)\) और \((3,0)\) ही होंगे। सबसे नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प (B) तब सही होता यदि \(p(0)=-2\) और \(p(0)=3\) होते — जो अलग तथ्यों को दर्शाता है। परीक्षा टिप: शून्य होने पर x का मान पहला निर्देशांक और फलन का मान (0) दूसरा निर्देशांक लिखें — यानी \(p(a)=0\) ⇒ \((a,0)\)। / The graph represents \(y=p(x)\). If \(p(a)=0\), the point \((a,0)\) lies on the graph because the function value (y-coordinate) is zero. Given \(p(-2)=0\) and \(p(3)=0\), the required points are \((-2,0)\) and \((3,0)\). Distractor (B) would be true only if \(p(0)=-2\) and \(p(0)=3\), which is a different (and inconsistent) statement. Exam tip: remember that the zero of a function gives the x-coordinate of the x-intercept — write \(p(a)=0\) as \((a,0)\).
x-अक्ष पर कटान के x-मानी बिंदु वही फलन के शून्यक होते हैं। अतः शून्यकों का योग = (−2) + 1 + 5 = 4। नज़दीकी छलावा विकल्प 8 इसलिए गलत है क्योंकि वह मानों के वर्ग या परसपर जोड़-घटाव का गलत परिणाम दर्शाता है। टिप: x-अक्ष पर जहाँ ग्राफ काटता है, वे x-मूल्य सीधे शून्यक होते हैं — इन्हें जोड़ें। / The x-values where the graph meets the x-axis are the zeros of the polynomial. So the sum = (−2) + 1 + 5 = 4. The nearest distractor 8 is wrong — it might arise from adding absolute values or a calculation error. Exam tip: directly add the x-coordinates of x-intercepts (with their signs) to get the sum of zeros.
C. \((-7,0)\) और \((1,0)\)/\((-7,0)\) and \((1,0)\)
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x-अक्ष पर ग्राफ के कटने का अर्थ है \(p(x)=0\)। कारकों को शून्य पर रखकर \(x+7=0\) से \(x=-7\) और \(x-1=0\) से \(x=1\) मिलता है। इसलिए x-अक्ष पर बिंदु \((-7,0)\) और \((1,0)\) होंगे। नज़दीकी भ्रम: विकल्प A में संकेत उलट दिए गए हैं; विकल्प B में y-अक्ष के इंटरसेप्ट दिख रहे हैं (गलत अक्ष)। टिप: हर कारक को अलग-अलग \(0\) पर रखें और परिणाम को बिंदु के रूप में लिखें। / Intersection with the x-axis means \(p(x)=0\). Setting each factor to zero gives \(x+7=0\Rightarrow x=-7\) and \(x-1=0\Rightarrow x=1\). Thus the x-intercepts are \((-7,0)\) and \((1,0)\). Closest distractor: option A has the signs reversed (a common sign error); option B lists y-axis points, not x-axis intercepts. Exam tip: set each factor to zero and verify by substituting into \(p(x)\).
x-अक्ष पर कोई भी प्रतिच्छेदन बिंदु (x,0) दर्शाता है कि उस बिंदु पर y = 0 है। इसलिए दिए गए बिंदुओं (a,0), (b,0), (c,0) के पहले निर्देशांक a, b, c वही शून्यक (zeroes) हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि (0,0,0) त्रिकीय शून्यक नहीं बल्कि गलत रूप में लिखी गई सूची है; विकल्प C गलत है क्योंकि (a+0) = a इत्यादि होने से ऐसे लिखना संभव और समानार्थी है; विकल्प D गलत है क्योंकि केवल c ही नहीं बल्कि a और b भी शून्यक हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर मिलने वाला बिंदु (p,0) से शून्यक सीधे p पढ़ें। / An x-axis intercept (x,0) means the function value is zero at that x, so the x-coordinates a, b, c of (a,0), (b,0), (c,0) are the zeroes. Option A is wrong because (0,0,0) does not represent the three x-values a, b, c. Option C is false since (a+0)=a (and similarly for b, c), so writing (a+0,b+0,c+0) is equivalent to (a,b,c). Option D is wrong because all three a, b and c are zeroes, not just c. Exam tip: whenever you see an intercept (p,0), the zero of the polynomial/function is p (the x-coordinate).
x-अक्ष पर कटान वह बिंदु होता है जहाँ फलन का मान शून्य हो, यानी \(p(x)=0\)। दिए गए मानों में \(p(-3)=0\) और \(p(4)=0\) होने से कटानबिंदु \((-3,0)\) और \((4,0)\) होंगे। विकल्प A सबसे भ्रमित करने वाला है क्योंकि इसमें \(p(0)=5\) से \((0,5)\) लिया गया है — पर यह x-अक्ष पर नहीं है क्योंकि y≠0। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष के लिए हमेशा बिंदु को रूप में लिखें \((x,0)\) जब \(p(x)=0\) हो। / An x-intercept occurs where the function value is zero, i.e. \(p(x)=0\). Here \(p(-3)=0\) and \(p(4)=0\), so the graph meets the x-axis at \((-3,0)\) and \((4,0)\). Option A is the closest distractor because it incorrectly treats \(p(0)=5\) as an x-intercept by listing \((0,5)\), but y=5≠0 so it is not on the x-axis. Exam tip: whenever you have \(p(a)=0\), record the intercept as \((a,0)\).
परवलय के शून्यक x-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के x-समन्वय होते हैं। यहाँ शून्यक \\(-1\\) और \\(4\\) हैं, इसलिए उनका योग \\(-1 + 4 = 3\\) होगा। नज़दीकी विचलन (Option C: 4) केवल एक शून्यक है, पर प्रश्न योग माँग रहा है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर दिए गए बिंदुओं से सीधे x-मान पढ़कर शून्यक प्राप्त करें। / The zeroes of the parabola are the x-coordinates of its x-intercepts. Here the zeroes are \\(-1\\) and \\(4\\), so their sum is \\(-1 + 4 = 3\\). A common trap (option C: 4) is to pick one root instead of the sum. Exam tip: read the x-values from intercept points to get the zeroes directly.
