Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर रैखिक कारक को शून्य करके बहुपद के शून्य (zeros) मिलते हैं: x-2=0 से x=2 और x+5=0 से x=-5। x-अक्ष पर बिंदु का रूप (x,0) होता है, अतः कटाव (2,0) और (-5,0) हैं। विकल्प B गलती से संकेत उल्टा कर देता है; C और D x-अक्ष के बिंदु नहीं दर्शाते। परीक्षा टिप: हर कारक को 0 के बराबर रखें और प्राप्त x का समन्वय (x,0) लिखें। / The zeros come from setting each linear factor to zero: x-2=0 gives x=2 and x+5=0 gives x=-5. x-axis intercepts have coordinates (x,0), so the graph crosses at (2,0) and (-5,0). Option B simply reverses the signs; options C and D are not x-axis intercepts. Exam tip: set each factor equal to 0 and write the intercepts as (x,0).
x-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए p(x)=0 करना होता है. \\(x^2-9=0\\) को अंतर गुणन घटक के रूप में लिखें: \\(x^2-9=(x-3)(x+3)\\). इससे \\x=\pm3\\ मिलते हैं, अतः प्रतिच्छेद बिंदु \\(-3,0\\) और \\(3,0\\) हैं। विकल्प B ग़लत है क्योंकि \\(p(0)=-9\\) होने से (0,-9) y-अक्ष पर प्रतिच्छेद है और (9,0) पर \\(p(9)=72\\) होता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: द्विगुणक को \\a-2-b-2\\ के रूप में पहचान कर तुरंत गुणनखंड निकालें। / X-intercepts occur where p(x)=0. Solve \\(x^2-9=0\\). Factor as \\(x^2-9=(x-3)(x+3)\\), giving \\x=\pm3\\. Therefore the x-intercepts are \\(-3,0\\) and \\(3,0\\). Option B is incorrect: (0,-9) is the y-intercept since \\(p(0)=-9\\), and \\(p(9)=81-9=72\\) so (9,0) is not a root. Exam tip: set p(x)=0 and use difference of squares to factor quickly.
शून्यक (zeros) वे x-मान होते हैं जहाँ आलेख x-अक्ष को छूता है, यानी y का मान 0 होता है। दिए गए बिंदुओं में \\((1,0)\\) और \\((4,0)\\) में y=0 है, अतः शून्यक 1 और 4 हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि \\((0,6)\\) में y=6 है (यह y-अवरोधन है), इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा उसकी y-निर्धारित मान देखें — केवल y=0 पर ही शून्यक होते हैं। / Zeroes are the x-values where the graph meets the x-axis, i.e. where y = 0. Among the given points \\((1,0)\\) and \\((4,0)\\) have y = 0, so the zeroes are 1 and 4. Option B is incorrect because \\((0,6)\\) has y = 6 (an y-intercept), not y = 0. Exam tip: always check the y-coordinate — only points with y = 0 give zeroes.
x-अक्ष पर काटने बिंदु ही बहुपद के शून्यक होते हैं; यहाँ शून्यक -1 और 1 हैं। उनका योग -1 + 1 = 0 है, इसलिए उत्तर 0 है। विकल्प D (1) गलत है क्योंकि वह केवल एक शून्यक है, उसे दोनों शून्यकों के योग के रूप में लेना त्रुटि है। टिप: यदि शून्यक सममित रूप से ±a हैं तो उनका योग 0 होगा; सामान्यतः शून्यकों का योग बहुपद के उच्चतम और अगले गुणांकों के अनुपात से भी निकाला जा सकता है। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial; here the zeros are -1 and 1. Their sum is -1 + 1 = 0, so the correct answer is 0. Option D (1) is incorrect because it gives only one zero rather than the sum of both. Tip: symmetric zeros of the form ±a always sum to 0; more generally the sum of zeros relates to the coefficients \(negative of the coefficient of x^{n-1} divided by leading coefficient\).
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ उसका ग्राफ x-अक्ष को काटता है (यानी y = 0)। दिए हुए बिंदु (0,0) और (3,0) के x-निर्देशांक क्रमशः 0 और 3 हैं, इसलिए शून्यक 0 और 3। निकटभ्रामक विकल्प C में 3 की जगह −3 है (साइन गलत है)। विकल्प B और D दोनों बिंदुओं को परिलक्षित नहीं करते। टिप: x-अक्ष पर जहाँ y = 0 हो, वही बिंदु शून्यक देती है — सीधे x-निर्देशांक पढ़ें। / Zeros of a polynomial are the x-values where its graph meets the x-axis (y = 0). The given points (0,0) and (3,0) have x-coordinates 0 and 3, so the zeros are 0 and 3. Distractor C wrongly uses -3 instead of 3 (wrong sign). Options B and D fail to include both intercepts. Exam tip: read the x-coordinate of each x-intercept — its y-value must be zero.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के x-निर्देशांक ही बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -5 और 2 हैं, अतः उनका योग = -5 + 2 = -3। विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वहाँ -5 के संकेत को अनदेखा कर +5 ले लिया गया होगा; विकल्प C (7) तब बनेगा जब दोनों मानों के परिमाण जोड़े जाएँ (5+2) — जो गलत प्रक्रिया है; विकल्प D (-7) तब बनेगा जब दोनों मानों को नकारात्मक माना जाएँ। टिप: x-अक्ष पर काटने वाले बिंदुओं से सीधे x-मान लें और संकेत का ध्यान रखें। / The x-coordinates where the graph meets the x-axis are the zeros. Here the zeros are -5 and 2, so their sum = -5 + 2 = -3. Option B (3) is wrong because it ignores the negative sign of -5; option C (7) would be the sum of absolute values (5 + 2) which is a sign error; option D (-7) assumes both were negative. Exam tip: always take the x-values of x-intercepts and keep their signs before adding.
x-अक्ष पर कटान बिंदु उन x-मूल्यों को दर्शाते हैं जहाँ शीर्षांक (y) शून्य होता है। इसलिए ग्राफ़ के x = -3 और x = 5 पर कटने का अर्थ है कि वास्तविक शून्यक x = -3 और x = 5 हैं। नजदीकी भ्रामक विकल्प C (-3 और -5) में केवल पहला मान सही है, पर दूसरा मान गलत साइन रखता है। परीक्षा के लिए सुझाव: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं का y = 0 जरूर जांचें और साइन (±) पर ध्यान दें। / The x-intercepts give the x-values where the function equals zero (y = 0). Since the graph meets the x-axis at x = -3 and x = 5, the real zeros are x = -3 and x = 5. A close distractor is option C (-3 and -5) which has the first value correct but the second with the wrong sign. Exam tip: always use the x-coordinate of x-axis intersections as zeros and double-check the signs.
शून्यक (x)-अक्ष कटावों के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (u), (v), और (w) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the (x)-axis intersections. Therefore the zeroes are (u), (v), and (w).
तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु तीन अलग वास्तविक शून्यक बताते हैं। उनके (x)-निर्देशांक ही शून्यक हैं। / Three distinct (x)-axis points show three distinct real zeroes. Their (x)-coordinates are the zeroes.
शून्यकों को (x)-निर्देशांक बनाकर (y=0) लिया जाता है। इसलिए कटाव बिंदु ((-1,0)), ((3,0)), और ((8,0)) होंगे। / Use the zeroes as (x)-coordinates and take (y=0). So the intersection points are ((-1,0)), ((3,0)), and ((8,0)).
A. जो (x)-अक्ष को ((1,0)) और ((-6,0)) पर काटे/One that cuts the (x)-axis at ((1,0)) and ((-6,0))
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (1) और (-6) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को इन्हीं (x)-मानों पर काटेगा। इसलिए बिंदु ((1,0)) और ((-6,0)) होंगे। / If the zeroes are (1) and (-6), the graph cuts the (x)-axis at those (x)-values. So the points are ((1,0)) and ((-6,0)).
जब कोई ग्राफ़ \\(x\\)-अक्ष को काटता है तो उस बिंदु पर \\(y=0\\) होता है। बहुपद का मान फ़ंक्शन का आउटपुट \\(y=p(x)\\) है, इसलिए \\(x=2\\) और \\(x=9\\) पर \\(p(2)=0\\) और \\(p(9)=0\\) होंगे। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे अज्ञान्य संख्याएँ प्रस्तावित करते हैं जबकि अक्ष पर काटने का अर्थ शून्य मान है; विकल्प D गलत है क्योंकि अक्ष पर कटने की जानकारी से मान निश्चित रूप से शून्य होता है। परीक्षा-सुझाव: किसी ग्राफ़ के x-अक्ष पर कटने के बिंदु हमेशा उस फ़ंक्शन के शून्य (root) होते हैं—इन्हें सीधे 0 मान दें। / When a graph crosses the \\(x\\)-axis the output \\(y\\) equals 0. For a polynomial \\(y=p(x)\\), intersections at \\(x=2\\) and \\(x=9\\) mean \\(p(2)=0\\) and \\(p(9)=0\\). Option B and C are incorrect because they assign nonzero values despite the graph meeting the x-axis; option D is incorrect because the intercepts give definite function values (zero). Exam tip: Any x-intercept of a polynomial corresponds to a root—record the function value as 0 immediately.
किसी बहुपद या परवलय के शून्यक वे x-निर्देशांक होते हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y = 0)। दिए गए कटाव बिंदु (-5, 0) और (2, 0) के x-निर्देशांक क्रमशः -5 और 2 हैं, इसलिए शून्यक -5 और 2 हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं (5 और -2)। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि इनमें एक शून्य (0) शामिल किया गया है जो वास्तविक कटाव बिंदुओं का x-निर्देशांक नहीं है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के पहले घटक (x-कोऑर्डिनेट) ही शून्यक होते हैं। / The zeroes (roots) of a polynomial/ parabola are the x-coordinates where the graph meets the x-axis (y = 0). From the intercepts (-5, 0) and (2, 0), the x-coordinates are -5 and 2, so the zeroes are -5 and 2. Option B is incorrect because the signs are reversed (5 and -2). Options C and D are incorrect because they include 0, which is not the x-coordinate of the given intercepts. Exam tip: read off the x-values of x-axis intersection points to get the zeroes directly.
शून्यक (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (-4) और (1) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. Hence the zeroes are (-4) and (1).
शून्यक (x)-अक्ष के कटाव बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (r) और (s) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. Hence the zeroes are (r) and (s).
शून्यक वही (x)-मान हैं जहाँ ग्राफ (x)-अक्ष को काटता या छूता है। इसलिए इन्हें (x)-अवरोध से जोड़ा जाता है। / Zeroes are the (x)-values where the graph cuts or touches the (x)-axis. Hence they are linked with (x)-intercepts.
x-अक्ष पर काटने के बिंदु किसी बहुपद (यहाँ परवलय) के वास्तविक शून्यक (zeros) होते हैं। दो अलग‑अलग कटाव होने का मतलब है दो अलग‑अलग वास्तविक शून्यक हैं; यहाँ शून्यक -1 और 5 हैं। विकल्प B (एक) तब होता है जब परवलय स्पर्शक हो और शून्यक की गुणांकिता अधिक हो (दोहऱा शून्यक), विकल्प C गलत है क्योंकि वे बिंदु intersections हैं, और विकल्प D गलत है क्योंकि द्विघातीय बहुपद की अधिकतम वास्तविक शून्यकों की संख्या 2 होती है। परीक्षा सुझाव: किसी परवलय के x-अक्ष पर कितने बिंदु काटे जा रहे हैं यह सीधे वास्तविक शून्यकों की संख्या देता है; द्विघात के लिए अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं। / Points where a parabola meets the x-axis are its real zeros. Two distinct intersections therefore mean two distinct real zeros; here the zeros are x = -1 and x = 5. Option B (one) would correspond to a tangent (a repeated root), option C (none) is impossible because intersections are given, and option D (three) is impossible for a quadratic since a parabola (degree 2) can have at most two real zeros. Exam tip: Count x-axis intersections for real zeros; for quadratics the maximum is 2 and a single intersection implies a repeated root.
A. जो (x)-अक्ष को ((-3,0)) और ((2,0)) पर काटे/One that cuts the (x)-axis at ((-3,0)) and ((2,0))
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-3) और (2) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को इन्हीं (x)-मानों पर काटेगा। इसलिए बिंदु ((-3,0)) और ((2,0)) होंगे। / If the zeroes are (-3) and (2), the graph cuts the (x)-axis at those (x)-values. So the points are ((-3,0)) and ((2,0)).
शून्यक (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (2) और (7) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. So the zeroes are (2) and (7).
हर अलग (x)-अक्ष कटाव एक शून्यक देता है। यहाँ तीन अलग बिंदु हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। / Each distinct intersection with the (x)-axis gives one zero. Here there are three distinct points, so there are three zeroes.
शून्यक हमेशा (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (-2) और (4) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph meets the (x)-axis. So the zeroes are (-2) and (4).
