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असंबद्ध समुच्चयों में संघ (44+52=96) है, इसलिए पूरक (130-96=34) है। असंबद्ध होने पर साझा भाग शून्य होता है। / For disjoint sets, the union is (44+52=96), so the complement is (130-96=34). Disjoint sets have zero common part.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए (B-A=83-47=36) होगा। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / Since \(A\subseteq B\), (B-A=83-47=36). In a subset Venn diagram, the smaller circle lies inside the larger one.
पहले (n\(A\cap B\)=64+59-91=32), फिर (n\(A\triangle B\)=91-32=59) है। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / First (n\(A\cap B\)=64+59-91=32), then (n\(A\triangle B\)=91-32=59). The symmetric difference does not include the common part.
ठीक एक विषय ((56-27)+(49-27)=51) है। दोनों पढ़ने वालों को ठीक एक में शामिल न करें। / Exactly one subject is ((56-27)+(49-27)=51). Do not include those who study both in exactly one.
सभी चार अलग क्षेत्रों का योग (29+33+17+21=100) है। सार्वत्रिक समुच्चय में अंदर और बाहर दोनों क्षेत्र आते हैं। / The sum of all four disjoint regions is (29+33+17+21=100). The universal set includes both inside and outside regions.
(n(A)=140-58=82) और (n(B)=140-71=69), इसलिए संघ (82+69-34=117) है। पूरक से मूल संख्या निकालना पहला कदम है। / (n(A)=140-58=82) and (n(B)=140-71=69), so the union is (82+69-34=117). Getting original sizes from complements is the first step.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए प्रतिच्छेद (112-43-37=32) है। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को एक-एक बार गिनें। / The union is the sum of three disjoint parts, so the intersection is (112-43-37=32). Count each separate region once in a Venn diagram.
किसी वेन आरेख में केवल (A) में (18), केवल (B) में (22), केवल (C) में (16), केवल \(A\cap B\) में (11), केवल \(B\cap C\) में (13), केवल \(C\cap A\) में (9) और तीनों में (6) तत्व हैं। कम से कम दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
कम से कम दो में (11+13+9+6=39) तत्व हैं। इस प्रकार के प्रश्न में तीनों वाला केंद्र भी शामिल होता है। / At least two sets contain (11+13+9+6=39) elements. In this type of question, the centre region is also included.
यदि (n(A)=78), (n(B)=69), (n(C)=63), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=25), (n\(C\cap A\)=21) और (n\(A\cap B\cap C\)=9) है, तो केवल (A) में कितने तत्व हैं?
केवल (A=78-30-21+9=36) है। तीन समुच्चयों में केंद्र दो बार घटता है इसलिए उसे वापस जोड़ें। / Only (A=78-30-21+9=36). In three sets, the centre is subtracted twice, so add it back.
एक सर्वे में (n(U)=210), (n(A)=96), (n(B)=88), (n(C)=74), (n\(A\cap B\)=39), (n\(B\cap C\)=31), (n\(C\cap A\)=28) और (n\(A\cap B\cap C\)=14) है। किसी भी समुच्चय में न आने वालों की संख्या कितनी है?
(n\(A\cup B\cup C\)=96+88+74-39-31-28+14=174), इसलिए बाहर (210-174=36) है। पहले संघ निकालकर ही पूरक लें। / (n\(A\cup B\cup C\)=96+88+74-39-31-28+14=174), so outside is (210-174=36). First find the union and then take the complement.
(3) के गुणज (20), (4) के गुणज (15), और (12) के गुणज (5) हैं, इसलिए संघ (30) और पूरक (60-30=30) है। साझा गुणजों को एक बार घटाएँ। / Multiples of (3) are (20), multiples of (4) are (15), and multiples of (12) are (5), so the union is (30) and the complement is (60-30=30). Subtract common multiples once.
सूत्र से (72=(4x+5)+(3x+8)-(2x+1)=5x+12), इसलिए (x=12) है। बीजगणितीय वेन प्रश्न में संघ का सूत्र सीधे लगाएँ। / Using the formula, (72=(4x+5)+(3x+8)-(2x+1)=5x+12), so (x=12). In algebraic Venn questions, apply the union formula directly.
यदि केवल (A) में (21), केवल (B) में (24), केवल (C) में (18), केवल \(A\cap B\) में (13), केवल \(B\cap C\) में (11), केवल \(C\cap A\) में (9) और तीनों में (7) तत्व हैं, तो ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्वों की संख्या कितनी है?
ठीक दो समुच्चयों में केवल दो-दो वाले क्षेत्र आते हैं, इसलिए (13+11+9=33) है। केंद्र \(A\cap B\cap C\) को ठीक दो में न गिनें। / Exactly two sets include only the pairwise-only regions, so (13+11+9=33). Do not count the centre \(A\cap B\cap C\) in exactly two.
एक सर्वेक्षण में (n(U)=180), (n(A)=82), (n(B)=76), (n(C)=69), (n\(A\cap B\)=34), (n\(B\cap C\)=29), (n\(C\cap A\)=27) और (n\(A\cap B\cap C\)=12) है। किसी भी समुच्चय में न आने वालों की संख्या कितनी है?
(n\(A\cup B\cup C\)=82+76+69-34-29-27+12=149), इसलिए बाहर (180-149=31) है। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / (n\(A\cup B\cup C\)=82+76+69-34-29-27+12=149), so outside is (180-149=31). First find the union and then take the complement.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों, इसलिए तीनों (140-65-51=24) है। क्षेत्र-आधारित योग प्रश्नों में हिस्सों को अलग रखें। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (140-65-51=24). In region-sum questions, keep the parts separate.
केवल \(A\cap B\) में (14-6=8) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में केंद्र भी शामिल होता है। / Only \(A\cap B\) has (14-6=8) elements. A two-set intersection includes the centre also.
A. नहीं, साझा क्षेत्रों की जानकारी चाहिए/No, information about common regions is needed
Explanation
Simple Explanation
इन अंतरों से सभी वेन क्षेत्रों की जानकारी नहीं मिलती। संघ के लिए साझा और केवल क्षेत्रों का पूरा विवरण चाहिए। / These differences do not give all Venn regions. To find the union, complete information about common and only regions is needed.
पहले (n\(A\cap B\)=30+28-52=6), फिर (A-B=30-6=24) है। अंतर निकालने से पहले साझा भाग पहचानें। / First (n\(A\cap B\)=30+28-52=6), then (A-B=30-6=24). Identify the common part before finding difference.
प्रतिच्छेद का अधिकतम मान छोटे समुच्चय से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए (39) है। अधिकतम अतिव्यापन में छोटा समुच्चय बड़े में समा सकता है। / The maximum intersection cannot exceed the smaller set, so it is (39). In maximum overlap, the smaller set can lie inside the larger set.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय जितना हो सकता है, यानी (64)। यह तब होगा जब \(B\subseteq A\) हो सकता है। / The minimum union can be as small as the larger set, which is (64). This happens when \(B\subseteq A\) is possible.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (35+32-60=7) होगा। यदि योग (U) से अधिक हो तो उतना अतिव्यापन अनिवार्य है। / The minimum intersection is (35+32-60=7). If the sum exceeds (U), that much overlap is necessary.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B') है। यह नियम असंबद्ध और सामान्य दोनों स्थितियों में सही है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). This rule is true for both disjoint and general cases.
A. नहीं, (A) और (C) अतिव्यापी हो सकते हैं/No, (A) and (C) may overlap
Explanation
Simple Explanation
(B) दोनों से अलग हो सकता है, लेकिन (A) और (C) आपस में मिल सकते हैं। वेन आरेख में स्वतंत्र संबंधों को अलग-अलग समझें। / (B) can be separate from both, while (A) and (C) may still overlap. In Venn diagrams, understand independent relations separately.
जब संघ पूरे (U) के बराबर हो, तो संघ के बाहर कोई तत्व नहीं रहता। इसलिए (\(A\cup B\)') खाली होगा। / When the union equals the whole (U), no element remains outside the union. Therefore, (\(A\cup B\)') is empty.
कम से कम एक (45+40-30=55) है। प्रतिच्छेद को दो बार गिनने से बचने के लिए घटाते हैं। / At least one is (45+40-30=55). The intersection is subtracted to avoid double counting.
ठीक एक (=(92-51)+(78-51)=68) है। दोनों रखने वालों को ठीक एक में नहीं गिना जाता। / Exactly one is ((92-51)+(78-51)=68). People having both are not counted in exactly one.
दोनों केवल भागों का योग संघ से प्रतिच्छेद घटाकर (84-27=57) है। यह सममित अंतर की संख्या भी है। / The sum of the two only regions is union minus intersection (84-27=57). This is also the size of the symmetric difference.
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग (14+22+18+11=65) है। बाहर का भाग भी (U) में शामिल होता है। / The universal set is the sum of all regions (14+22+18+11=65). The outside region is also included in (U).
साझा गुणज (\operatorname{lcm}(4,6)=12) के गुणज होंगे, जो (12,24,36,48) हैं। इसलिए संख्या (4) है। / Common multiples are multiples of (\operatorname{lcm}(4,6)=12), namely (12,24,36,48). Hence the count is (4).
(2) के गुणज (15), (5) के गुणज (6), और (10) के गुणज (3) हैं, इसलिए संघ (15+6-3=18) है। साझा गुणजों को एक बार घटाएँ। / Multiples of (2) are (15), multiples of (5) are (6), and multiples of (10) are (3), so the union is (15+6-3=18). Subtract common multiples once.
