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A. वे तत्व जो (A) और (B) में हैं पर (C) में नहीं हैं/Elements in (A) and (B) but not in (C)
Explanation
Simple Explanation
(B-C) में (B) के वे तत्व हैं जो (C) में नहीं हैं, और फिर (A) से साझा भाग लिया जाता है। इसलिए यह केवल \(A\cap B\) वाला भाग है। / (B-C) has elements of (B) not in (C), and then the common part with (A) is taken. So it is the only \(A\cap B\) region.
(A\cap\(B\cup C\)) में केवल \(A\cap B\), केवल \(A\cap C\) और केंद्र आते हैं, इसलिए केंद्र (44-18-16=10) है। / (A\cap\(B\cup C\)) includes only \(A\cap B\), only \(A\cap C\), and the centre, so the centre is (44-18-16=10).
सूत्र में (128=70+65+60-27-24-22+x), इसलिए (x=6) है। अज्ञात केंद्र को (x) मानकर समीकरण बनाएं। / Using (128=70+65+60-27-24-22+x), we get (x=6). Let the unknown centre be (x) and form an equation.
संघ सभी अलग क्षेत्रों का योग (31+27+25+42+11=136) है। वेन आरेख में कोई क्षेत्र दो बार न जोड़ें। / The union is the sum of all disjoint regions (31+27+25+42+11=136). Do not add any region twice in a Venn diagram.
यदि केवल \(A\cap B\) में (14), केवल \(B\cap C\) में (12), केवल \(C\cap A\) में (15) और \(A\cap B\cap C\) में (8) तत्व हैं, तो (n(\(A\cap B\)\cup\(B\cap C\)\cup\(C\cap A\))) कितना है?
यह क्षेत्र कम से कम दो समुच्चयों का भाग है, इसलिए (14+12+15+8=49) है। केंद्र को केवल एक बार जोड़ें। / This region is the part belonging to at least two sets, so (14+12+15+8=49). Add the centre only once.
केवल \(A\cap B\) में (26-10=16) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में तीनों वाला केंद्र भी शामिल रहता है। / Only \(A\cap B\) has (26-10=16) elements. A two-set intersection includes the central three-set region too.
एक परीक्षा में (150) विद्यार्थियों में (82) ने प्रश्न (A), (76) ने प्रश्न (B), (69) ने प्रश्न (C), (37) ने (A) और (B), (32) ने (B) और (C), (29) ने (C) और (A), तथा (15) ने तीनों हल किए। कम से कम एक प्रश्न हल करने वाले कितने हैं?
कम से कम एक (82+76+69-37-32-29+15=144) है। तीन समुच्चयों में केंद्र को अंत में जोड़ना न भूलें। / At least one is (82+76+69-37-32-29+15=144). In three sets, do not forget to add the centre at the end.
कम से कम एक (120-24=96) है, इसलिए दोनों (66+58-96=28) हैं। पहले बाहर वाले भाग को हटाकर संघ निकालें। / At least one is (120-24=96), so both is (66+58-96=28). First remove the outside part to get the union.
असंबद्ध समुच्चयों में सममित अंतर पूरा संघ होता है, इसलिए (28+34=62) है। साझा भाग शून्य होने पर कुछ हटाना नहीं पड़ता। / For disjoint sets, the symmetric difference is the whole union, so (28+34=62). When the common part is zero, nothing needs to be removed.
संघ (A) जितना ही है, इसका अर्थ (B) से कोई नया क्षेत्र नहीं जुड़ रहा। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / The union is the same size as (A), meaning (B) adds no new region. Therefore, \(B\subseteq A\).
जब (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है, तो (B) को हटाने पर (A) वैसा ही रहता है। इसलिए (A-B=A) है। / When (A) and (B) have no common element, removing (B) from (A) leaves (A) unchanged. Therefore, (A-B=A).
यदि साझा भाग पूरा (A) है, तो (A) पूरी तरह (B) में है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / If the common part is the whole of (A), then (A) lies completely inside (B). Hence \(A\subseteq B\) is correct.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\), और (\(A\cup B\)-A=B-A) है। उपसमुच्चय में पहले संघ को सरल करें। / Since \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\), and (\(A\cup B\)-A=B-A). In subset problems, simplify the union first.
A. (A) का वह भाग जो \(B\cap C\) में नहीं है/The part of (A) not in \(B\cap C\)
Explanation
Simple Explanation
(A-\(B\cap C\)) में (A) के वे तत्व हैं जो \(B\cap C\) में नहीं हैं। वेन आरेख में घटाने वाला क्षेत्र हटाकर देखें। / (A-\(B\cap C\)) contains elements of (A) that are not in \(B\cap C\). In a Venn diagram, remove the subtracted region.
दोनों केवल क्षेत्रों का योग (98-35=63) है। यह \(A\triangle B\) की संख्या भी होती है। / The sum of the two only regions is (98-35=63). This is also the size of \(A\triangle B\).
(n\(A\cap B\)=55-23=32), इसलिए (n\(A\cup B\)=55+62-32=85) है। पहले साझा भाग खोजें फिर संघ निकालें। / (n\(A\cap B\)=55-23=32), so (n\(A\cup B\)=55+62-32=85). First find the common part and then the union.
\(A'\cap B\) का अर्थ (B-A) है, इसलिए (38-17=21) है। प्रतीक को वेन आरेख के केवल (B) क्षेत्र से जोड़कर देखें। / \(A'\cap B\) means (B-A), so it is (38-17=21). Connect the notation with the only (B) region in the Venn diagram.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय जितना हो सकता है, यानी (91)। ऐसा तब संभव है जब \(B\subseteq A\) हो। / The minimum union can be as small as the larger set, which is (91). This is possible when \(B\subseteq A\).
प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम (58) है। अधिकतम स्थिति में छोटा समुच्चय बड़े के भीतर हो सकता है। / The intersection cannot be larger than the smaller set, so the maximum is (58). In the maximum case, the smaller set may lie inside the larger set.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (46+41-75=12) है। जब दोनों का योग (U) से अधिक हो तो अतिव्यापन अनिवार्य होता है। / The minimum intersection is (46+41-75=12). When the sum of two sets exceeds (U), overlap is necessary.
\(B\cap C\) में (5) और (15) आते हैं, इसलिए संख्या (2) है। समुच्चय-निर्माण रूप में शर्तों को एक साथ जाँचें। / \(B\cap C\) contains (5) and (15), so the count is (2). In set-builder form, check the conditions together.
वर्ग संख्याएँ (1,4,9,16,25,36) हैं और (3) के गुणज वर्ग (9,36) हैं। इसलिए प्रतिच्छेद में (2) तत्व हैं। / Square numbers are (1,4,9,16,25,36), and the square multiples of (3) are (9,36). Therefore, the intersection has (2) elements.
सम अभाज्य संख्या केवल (2) है, इसलिए \(A\cap B={2}\) है। प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ में पूरी होनी चाहिए। / The only even prime is (2), so \(A\cap B={2}\). In an intersection, both conditions must be satisfied together.
(7) के गुणज (12), (4) के गुणज (21), और (28) के गुणज (3) हैं, इसलिए संघ (30) और पूरक (84-30=54) है। / Multiples of (7) are (12), multiples of (4) are (21), and multiples of (28) are (3), so the union is (30) and the complement is (84-30=54).
(5) के गुणज (18), (9) के गुणज (10), और (45) के गुणज (2) हैं, इसलिए संघ (18+10-2=26) है। साझा गुणजों को दोबारा न गिनें। / Multiples of (5) are (18), multiples of (9) are (10), and multiples of (45) are (2), so the union is (18+10-2=26). Do not count common multiples twice.
साझा गुणज (\operatorname{lcm}(6,8)=24) के गुणज होंगे, जो (24,48,72) हैं। इसलिए संख्या (3) है। / Common multiples are multiples of (\operatorname{lcm}(6,8)=24), namely (24,48,72). Hence the count is (3).
संघ (3x+2+2x+5+x+4=6x+11=71), इसलिए (x=10) है। अलग क्षेत्रों का योग सीधे संघ देता है। / The union is (3x+2+2x+5+x+4=6x+11=71), so (x=10). The sum of disjoint regions directly gives the union.
(78=(5x+4)+(4x+7)-(2x+3)=7x+8), इसलिए (x=10) है। बीजगणितीय प्रश्न में संघ का सूत्र सीधे लगाएँ। / (78=(5x+4)+(4x+7)-(2x+3)=7x+8), so (x=10). In algebraic questions, apply the union formula directly.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों है, इसलिए तीनों (135-58-49=28) हैं। क्षेत्र आधारित प्रश्नों में भागों को अलग रखें। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (135-58-49=28). In region-based questions, keep the parts separate.
तीन क्लबों में (n(A)=72), (n(B)=68), (n(C)=61), (n\(A\cap B\)=29), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=26) और (n\(A\cap B\cap C\)=11) है। केवल (B) में आने वाले सदस्य कितने हैं?
केवल (B=68-29-24+11=26) है। दो प्रतिच्छेद घटाते समय केंद्र दो बार घट जाता है। / Only (B=68-29-24+11=26). While subtracting two intersections, the centre is removed twice.
