A. दोनों पक्षों को (3) से भाग देकर \(q^2=3k^2\) पाना/Divide both sides by (3) to get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
In \(9k^2=3q^2\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing by (3) gives \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Remove only valid common factors while simplifying. चरण 1: \(9k^2=3q^2\) में साझा गुणनखंड (3) है। चरण 2: (3) से भाग देने पर \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में केवल वैध समान गुणनखंड हटाएँ।
This gives \(5\mid b^2\) and then \(5\mid b\). चरण 1: \(25k^2=5b^2\) में दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। चरण 2: \(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\)। चरण 3: यही \(5\mid b^2\) और फिर \(5\mid b\) देता है।
In \(25n^2=5y^2\), both sides can be divided by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(5n^2=y^2\), that is \(y^2=5n^2\).
Step 3
Exam Tip
While simplifying, remove only the common factor, not the whole (25). चरण 1: \(25n^2=5y^2\) में दोनों पक्ष (5) से भाग दिए जा सकते हैं। चरण 2: इससे \(5n^2=y^2\), अर्थात \(y^2=5n^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में (25) को पूरा नहीं हटाएँ, केवल समान गुणनखंड हटाएँ।
Reduce factors correctly during simplification. चरण 1: (p=5r) रखने पर \(25r^2=5q^2\) बनता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (5) से भाग देने पर \(q^2=5r^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में गुणक सही घटाएँ।
From \(4r^2=2q^2\), dividing both sides by (2) gives \(q^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) होगा। चरण 2: \(4r^2=2q^2\) से दोनों ओर (2) से भाग करने पर \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
This leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3q^2\) के दोनों पक्षों को (3) से भाग दें। चरण 2: \(3k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलेगा। चरण 3: इसी से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता बनता है।
This indicates that (q) is even later. चरण 1: \(4k^2=2q^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। चरण 2: \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। चरण 3: यही आगे (q) के सम होने का संकेत देता है।
This leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3q^2\) के दोनों ओर (3) से भाग करें। चरण 2: \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (q) के (3) से विभाज्य होने की राह खुलती है।
This helps show that (b) is divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5b^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। चरण 2: \(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (b) के (5) से विभाज्य होने की राह मिलती है।
In such steps, divide both sides by the same number. चरण 1: \(4k^2=2b^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। चरण 2: इससे \(2k^2=b^2\), अर्थात \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: ऐसे चरण में दोनों ओर समान संख्या से भाग करें।
A. \(3\sqrt{7}\) और अपरिमेय/\(3\sqrt{7}\) and irrational
Step 1
Concept
Since \(28=4\cdot 7\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Now \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In exams, combine like radicals by adding their coefficients. चरण 1: \(28=4\cdot 7\) इसलिए \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)। चरण 2: अब \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: परीक्षा में समान वर्गमूल वाले पदों को गुणांक जोड़कर सरल करें।
B. अपरिमेय क्योंकि यह \(\sqrt{5}\) के बराबर है/Irrational because it equals \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even after division check the remaining radical. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)। चरण 2: \(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: हर से भाग देने पर भी बचा हुआ वर्गमूल जांचना जरूरी है।
\(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose the answer before simplifying square roots. चरण 1: सरल करें \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को सरल किए बिना उत्तर जल्दी न चुनें।
In long surd expressions, write the coefficients separately and add them. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)। चरण 2: \(1\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: लंबे मूल वाले प्रश्न में गुणांक अलग लिखकर जोड़ना आसान रहता है।
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes \(3\sqrt{3}\), so division gives (3).
Step 3
Exam Tip
Subtract first, then divide by the denominator. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) हैं। चरण 2: ऊपर का अंतर \(3\sqrt{3}\) है, इसलिए भाग देने पर (3) मिलता है। चरण 3: घटाव के बाद ही हर से भाग दें।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Keep the signs carefully while adding or subtracting coefficients. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: चिह्नों को ध्यान से रखकर गुणांक जोड़ें या घटाएँ।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The total is \(1\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=10\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
In ordered surds, identify the coefficient pattern. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: कुल योग \(1\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=10\sqrt{2}\) है। चरण 3: क्रमबद्ध मूलों में गुणांक का पैटर्न पहचानें।
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\sqrt{2}+6\sqrt{2}-7\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Once all terms are like surds, add or subtract only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), और \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)। चरण 2: \(5\sqrt{2}+6\sqrt{2}-7\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। चरण 3: सभी पद समान मूल में बदल जाएँ तो केवल गुणांक जोड़ें या घटाएँ।
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes \(5\sqrt{5}\), so \(\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Before division, convert the numerator surds into like terms. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) हैं। चरण 2: ऊपर का योग \(5\sqrt{5}\) है, इसलिए \(\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5\)। चरण 3: भाग से पहले ऊपर के मूलों को समान रूप में बदलें।
So \(x=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify radicals to like terms before adding. चरण 1: \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) है। चरण 2: इसलिए \(x=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करके समान पद बनाएँ, फिर जोड़ें।
Simplify surd terms before squaring. चरण 1: \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए \(x=3\sqrt{5}\)। चरण 2: (x-2=\(3\sqrt{5}\)2=9\times5=45)। चरण 3: वर्ग करने से पहले मूल वाले पदों को सरल करें।
On simplifying, \(x-4=\sqrt{6}\), and since (6) is not a perfect square, \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
When rational terms cancel, check the nature of the remaining radical. चरण 1: (x-4=\(4+\sqrt{6}\)-4) है। चरण 2: सरल करने पर \(x-4=\sqrt{6}\), और (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: व्यंजक में परिमेय पद कट जाए तो बचे हुए मूल की प्रकृति देखें।
So \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify like radical terms before deciding the type of number. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों को पहले सरल करें।
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), and \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(11\sqrt{2}+7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=14\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Convert all radicals into like form before adding or subtracting. चरण 1: \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), और \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: \(11\sqrt{2}+7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=14\sqrt{2}\)। चरण 3: सभी वर्गमूलों को समान रूप में बदलकर ही जोड़-घटाव करें।
\(\sqrt{245}=7\sqrt{5}\), \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\), and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(7\sqrt{5}+6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
Before addition or subtraction, write all radicals in like form. चरण 1: \(\sqrt{245}=7\sqrt{5}\), \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\), और \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)। चरण 2: \(7\sqrt{5}+6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9\sqrt{5}\)। चरण 3: जोड़-घटाव से पहले सभी वर्गमूलों को समान रूप में लिखें।
Rationalisation is not always needed; first evaluate square roots of perfect squares. चरण 1: पहले \(\sqrt{9}=3\) लिखें। चरण 2: \(\frac{9}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3\)। चरण 3: हर बार परिमेयकरण जरूरी नहीं, पूर्ण वर्ग का वर्गमूल सीधे निकालें।
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\), \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(2\sqrt{7}+3\sqrt{7}+5\sqrt{7}=10\sqrt{7}\).
Step 3
Exam Tip
Once radicals become like terms, add only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\), \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), और \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\)। चरण 2: योग \(2\sqrt{7}+3\sqrt{7}+5\sqrt{7}=10\sqrt{7}\) है। चरण 3: समान वर्गमूल बनने पर केवल गुणांक जोड़ें।
\(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(7\sqrt{3}-5\sqrt{3}=2\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Before subtracting radicals, convert them into like radicals. चरण 1: \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। चरण 2: \(7\sqrt{3}-5\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूलों को घटाने से पहले समान वर्गमूल में बदलना जरूरी है।
\(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8\sqrt{2}+6\sqrt{2}-5\sqrt{2}=9\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Convert all radicals into like form before adding or subtracting. चरण 1: \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)। चरण 2: \(8\sqrt{2}+6\sqrt{2}-5\sqrt{2}=9\sqrt{2}\)। चरण 3: सभी वर्गमूलों को समान रूप में बदलकर ही जोड़-घटाव करें।
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\sqrt{3}+10\sqrt{3}-4\sqrt{3}=11\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Simplify all radicals before addition and subtraction. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)। चरण 2: \(5\sqrt{3}+10\sqrt{3}-4\sqrt{3}=11\sqrt{3}\)। चरण 3: जोड़ और घटाव से पहले सभी वर्गमूलों को सरल करें।
