\(\sqrt{x}\in \mathbb{N}\) means (x) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The perfect squares between (10) and (50) are (16,25,36,49).
Step 3
Exam Tip
For square-root conditions, identify perfect squares. चरण 1: \(\sqrt{x}\in \mathbb{N}\) का अर्थ है (x) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: (10) और (50) के बीच पूर्ण वर्ग (16,25,36,49) हैं। चरण 3: जड़ वाली शर्त में पूर्ण वर्गों की पहचान करें।
Solve the equation first, then write the roster form. चरण 1: (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) है। चरण 2: अतः (x=1) या (x=3), दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: समीकरण हल करने के बाद ही सूची रूप लिखें।
In (x>12), the value (12) itself is not included. चरण 1: (48) के भाजक (1,2,3,4,6,8,12,16,24,48) हैं। चरण 2: (12) से बड़े भाजक (16,24,48) हैं। चरण 3: (x>12) में (12) शामिल नहीं होता।
For power patterns, check the starting value of (n) carefully. चरण 1: दिए गए तत्व \(2^1,2^2,2^3,2^4,2^5\) हैं। चरण 2: इसलिए \(x=2^n\) और \(1\leq n\leq5\) सही है। चरण 3: घात वाले पैटर्न में (n) की शुरुआती कीमत बहुत ध्यान से देखें।
Adding (2), we get \(-1\leq x\leq5\), so the integers are (-1,0,1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
Convert modulus inequalities into a two-sided inequality. चरण 1: \(|x-2|\leq3\) से \(-3\leq x-2\leq3\) मिलता है। चरण 2: इसमें (2) जोड़ने पर \(-1\leq x\leq5\), इसलिए पूर्णांक (-1,0,1,2,3,4,5) हैं। चरण 3: परिमाप वाली असमानता को दो तरफ की असमानता में बदलें।
Removing numbers divisible by (2), we get (3,9,15).
Step 3
Exam Tip
For combined conditions, first make a broad list and then filter it. चरण 1: (20) तक (3) के गुणज (3,6,9,12,15,18) हैं। चरण 2: इनमें (2) से विभाज्य संख्याएं हटाने पर (3,9,15) बचते हैं। चरण 3: मिली-जुली शर्तों में पहले बड़ी सूची बनाकर छांटना आसान रहता है।
Repeated letters are not written again in a set, so we get (S,T,A,I,C).
Step 3
Exam Tip
In roster form, order and repetition do not matter. चरण 1: शब्द में आने वाले अलग-अलग अक्षर पहचानें। चरण 2: समुच्चय में दोहराए गए अक्षर फिर से नहीं लिखे जाते, इसलिए (S,T,A,I,C) मिलते हैं। चरण 3: सूची रूप में क्रम और पुनरावृत्ति दोनों महत्वपूर्ण नहीं माने जाते।
Only (18) and (24) lie strictly inside the open interval.
Step 3
Exam Tip
With (<), boundary values are not included. चरण 1: (12) और (30) के बीच (6) से विभाज्य संख्याएं देखें। चरण 2: (18) और (24) ही खुली सीमा के अंदर आते हैं। चरण 3: (<) वाली सीमा में किनारे के मान शामिल नहीं होते।
Check both the pattern and the starting and ending limits. चरण 1: (4,9,16,25) क्रमशः \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। चरण 2: इसलिए \(x=n^2\) और \(2\leq n\leq5\) सही है। चरण 3: केवल पैटर्न नहीं, आरंभ और अंत की सीमा भी जांचें।
In such questions, first list all allowed values of the hidden variable. चरण 1: (n=-2,-1,0,1,2) रखिए। चरण 2: (x=2n+1) से मान (-3,-1,1,3,5) मिलते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले छिपे हुए चर के सभी मान लिखें।
In square-based conditions, do not forget zero and negative integers. चरण 1: \(x^2<10\) का अर्थ है \(|x|<\sqrt{10}\)। चरण 2: पूर्णांक मान (-3,-2,-1,0,1,2,3) मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाली शर्तों में शून्य और ऋणात्मक मान भूलना आम गलती है।
When two conditions are given, apply both before writing the set. चरण 1: (36) के भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें विषम भाजक (1,3,9) हैं। चरण 3: दो शर्तें हों तो दोनों को साथ-साथ लागू करें।
In roster form, repeated factors or powers are not listed as separate elements. चरण 1: (84) का अभाज्य गुणनखंडन \(84=2^2\cdot3\cdot7\) है। चरण 2: अभाज्य भाजक केवल (2,3,7) हैं। चरण 3: सूची रूप में किसी तत्व को दोहराया नहीं जाता, इसलिए घातों को तत्व न मानें।
In exams, always check the given domain before writing the roster form. चरण 1: दिए गए बहुपद को गुणनखंड करें: (x-2-7x+10=(x-2)(x-5))। चरण 2: इसलिए प्राकृतिक संख्याओं में (x=2) और (x=5) मिलते हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले प्रतिबंध \(x\in \mathbb{N}\) जरूर देखें, फिर सूची बनाएं।
((x+5)(x-4)=0), so the solutions are (-5) and (4), but only (4) is natural.
Step 3
Exam Tip
From all equation solutions, keep only values allowed by the set condition. चरण 1: \(x^2+x=20\) को \(x^2+x-20=0\) लिखें। चरण 2: ((x+5)(x-4)=0), इसलिए हल (-5) और (4) हैं, पर प्राकृत संख्या केवल (4) है। चरण 3: समीकरण के सभी हलों में से वही चुनें जो दिए गए समुच्चय की शर्त में आते हों।
From numbers (1) to (20), remove those divisible by (2) or by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The remaining numbers are (1,5,7,11,13,17,19).
Step 3
Exam Tip
In a neither-nor condition, exclude both categories. चरण 1: (1) से (20) तक की संख्याओं में (2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ हटाएँ। चरण 2: बची संख्याएँ (1,5,7,11,13,17,19) हैं। चरण 3: न यह न वह वाली शर्त में दोनों प्रकार की संख्याएँ हटानी पड़ती हैं।
With (x>6), the remaining values are (7,14,21,42).
Step 3
Exam Tip
While applying a boundary, check whether equality is allowed. चरण 1: (42) के भाजक (1,2,3,6,7,14,21,42) हैं। चरण 2: (x>6) होने से (7,14,21,42) बचते हैं। चरण 3: सीमा लागू करते समय बराबर का चिह्न है या नहीं, यह अवश्य देखें।
When (x) appears on both sides, avoid canceling without checking (x=0). चरण 1: \(x^2=2x\) को \(x^2-2x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-2)=0), इसलिए (x=0) या (x=2)। चरण 3: जब (x) दोनों पक्ष में हो, तो सीधे काटने से पहले (x=0) की संभावना जाँचें।
We check numbers from (1) to (30) whose digit sum is (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5), (14), and (23) have digit sum (5).
Step 3
Exam Tip
In digit-sum questions, do not include numbers outside the given range. चरण 1: (1) से (30) तक अंकों का योग (5) देखना है। चरण 2: (5), (14) और (23) में अंकों का योग (5) है। चरण 3: अंकों के योग वाले प्रश्न में सीमा के बाहर की संख्या जैसे (32) न लें।
For \(\frac{20}{x}\) to be natural, (x) must divide (20).
Step 2
Why this answer is correct
The natural divisors of (20) are (1,2,4,5,10,20).
Step 3
Exam Tip
In fraction-based conditions, choose denominators that divide exactly. चरण 1: \(\frac{20}{x}\) प्राकृत हो, इसके लिए (x) को (20) का भाजक होना चाहिए। चरण 2: (20) के प्राकृत भाजक (1,2,4,5,10,20) हैं। चरण 3: भिन्न वाली शर्त में हर को ऐसा चुनें कि भाग पूरा-पूरा हो।
For (x=3,5,7), the corresponding values (7,5,3) are prime.
Step 3
Exam Tip
In double-condition sets, test the second expression for each candidate. चरण 1: (x) और (10-x) दोनों अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: (x=3,5,7) पर क्रमशः (7,5,3) मिलते हैं, जो अभाज्य हैं। चरण 3: दोहरी शर्त में हर चुने गए मान के साथ दूसरी अभिव्यक्ति भी जाँचें।
For a but condition, first form the main list and then remove the excluded type. चरण 1: (30) के भाजक (1,2,3,5,6,10,15,30) हैं। चरण 2: सम भाजक हटाने पर (1,3,5,15) बचते हैं। चरण 3: पर वाली शर्त में पहले मुख्य सूची बनाकर फिर हटाने वाली शर्त लागू करें।
Since the number is two-digit and less than (20), check from (10) to (19).
Step 2
Why this answer is correct
The prime numbers there are (11,13,17,19).
Step 3
Exam Tip
Not every two-digit number starting with (1) is prime, so test divisibility. चरण 1: दो अंकों और (20) से कम होने के कारण संख्याएँ (10) से (19) तक देखें। चरण 2: इनमें अभाज्य संख्याएँ (11,13,17,19) हैं। चरण 3: (1) से शुरू होने वाली सभी दो अंकीय संख्याएँ अभाज्य नहीं होतीं, इसलिए जाँच जरूरी है।
After finding solutions, check that they are natural numbers. चरण 1: समीकरण \(x^2-10x+21=0\) को गुणनखंड करें। चरण 2: ((x-3)(x-7)=0), इसलिए (x=3,7)। चरण 3: हल मिलने के बाद देखें कि वे प्राकृत संख्याएँ हैं या नहीं।
\(x=\frac{12}{n}\) must be natural, so (n) must divide (12).
Step 2
Why this answer is correct
The possible (x)-values are (12,6,4,3,2,1), written as ({1,2,3,4,6,12}).
Step 3
Exam Tip
Order does not matter in a set. चरण 1: \(x=\frac{12}{n}\) प्राकृत होना चाहिए, इसलिए (n) को (12) का भाजक होना चाहिए। चरण 2: मिलने वाले (x) मान (12,6,4,3,2,1) हैं, जिन्हें समुच्चय में सामान्य क्रम से ({1,2,3,4,6,12}) लिख सकते हैं। चरण 3: समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता।
\(x\le 1\) includes (1), so integers from (-4) to (1) are listed.
Step 3
Exam Tip
In mixed boundaries, decide each endpoint separately. चरण 1: (-5<x) में (-5) शामिल नहीं है। चरण 2: \(x\le 1\) में (1) शामिल है, इसलिए (-4) से (1) तक के पूर्णांक मिलेंगे। चरण 3: मिश्रित सीमा में बाएँ और दाएँ छोर अलग-अलग तय करें।
Find numbers divisible by (7) between (30) and (60).
Step 2
Why this answer is correct
The values are (35,42,49,56) within the strict range.
Step 3
Exam Tip
Check divisibility and boundary conditions together. चरण 1: (30) और (60) के बीच (7) से विभाज्य संख्याएँ खोजें। चरण 2: (35,42,49,56) ही इस खुली सीमा में आते हैं। चरण 3: विभाज्यता और सीमा दोनों शर्तें साथ-साथ जाँचें।
From \(1^2\) to \(7^2\), we get (1,4,9,16,25,36,49), and \(8^2=64\) is outside.
Step 3
Exam Tip
Do not include a square beyond the upper limit. चरण 1: (1) से (50) तक की वर्ग संख्याएँ चाहिए। चरण 2: \(1^2\) से \(7^2\) तक (1,4,9,16,25,36,49) मिलते हैं और \(8^2=64\) बाहर है। चरण 3: वर्ग संख्याओं में ऊपरी सीमा से आगे का वर्ग शामिल न करें।
When a set is defined by an equation, factorize and list all solutions. चरण 1: \(x^3=x\) से \(x^3-x=0\) मिलता है। चरण 2: (x(x-1)(x+1)=0), इसलिए (x=-1,0,1)। चरण 3: नियम रूप में समीकरण हो तो गुणनखंड बनाकर सभी हल लिखें।
(18,36,54,72,90) are less than (100), while (108) is not.
Step 3
Exam Tip
When listing multiples, stop before crossing the given bound. चरण 1: (18) के धनात्मक गुणज लिखें। चरण 2: (18,36,54,72,90) (100) से कम हैं, जबकि (108) नहीं है। चरण 3: गुणजों की सूची बनाते समय अंतिम मान सीमा से बाहर न जाने दें।
