Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मूलों का गुणनफल \(\frac{9}{p}=3\), इसलिए (p=3) है। गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{9}{p}=3\), so (p=3). Use \(\frac{c}{a}\) for the product of roots.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{-11}{5}\) है। (c) का चिन्ह सूत्र में सीधे आता है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{-11}{5}\). The sign of (c) is used directly in the formula.
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=k\) और \(c=2\) है, अतः गुणनफल \(\dfrac{2}{k}=1\)। इससे \(k=2\) प्राप्त होता है। विकल्प (1) दर्शक त्रुटि हो सकती है जहाँ केवल \(c\) को देखा गया हो बिना \(a\) से भाग किए; विकल्प (-2) और (4) सही नहीं हैं क्योंकि वे समीकरण से प्राप्त अनुपात को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा सुझाव: हमेशा पहले यह सुनिश्चित करें कि \(a\) वह गुणांक है जो \(x^2\) के साथ है, और उत्पाद के लिए \(c/a\) का प्रयोग करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots equals \(\dfrac{c}{a}\). Here \(a=k\) and \(c=2\), so \(\dfrac{2}{k}=1\) which gives \(k=2\). Option 1 might arise from mistakenly taking \(c\) alone instead of \(c/a\); options -2 and 4 do not satisfy the relation \(2/k=1\). Exam tip: always identify \(a\) (coefficient of \(x^2\)) before applying the product formula \(c/a\).
यदि सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) हो तो मूलों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है (Vieta सूत्र)। यहाँ \(a=3,\;c=-8\) इसलिए गुणनफल \(\dfrac{-8}{3}=-\tfrac{8}{3}\) होगा। विकल्प B (\(\tfrac{8}{3}\)) केवल साइन में त्रुटि है; विकल्प C और D में अंकीय मान ही गलत हैं। परीक्षा सुझाव: सीधे \(\dfrac{c}{a}\) याद रखें और c का चिन्ह बदलने से बचें—चिन्ह वही उपयोग करें जो समीकरण में है। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(c/a\) (Vieta's formula). Here \(a=3\) and \(c=-8\), so the product is \(\dfrac{-8}{3}=-\tfrac{8}{3}\). Option B (\(\tfrac{8}{3}\)) is a sign error; options C and D have incorrect numerical values. Exam tip: apply \(c/a\) directly and pay attention to the sign of \(c\) from the given equation.
कोर सिद्धांत यह है कि संयुग्म जोड़-घटाव के रूप में होने पर उनका गुणनफल भिन्नात्मक वर्ग का नियम लागू होता है: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)। यहाँ \(a=5\), \(b=\sqrt{3}\) इसलिए गुणनफल \((5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})=5^2-(\sqrt{3})^2=25-3=22\)। विकल्प D (\(25+\sqrt{3}\)) गलत है क्योंकि वह योग का रूप है, न कि भिन्नात्मक वर्ग; B और C सामान्य अंकगणितीय गलतियाँ हैं। परीक्षा की टिप: संयुग्म युग्म दिखते ही \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू कर दें — यह तेज है और त्रुटि कम करता है। / Core idea: conjugate pairs use the difference-of-squares identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Here \(a=5\) and \(b=\sqrt{3}\), so the product is \((5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})=5^2-(\sqrt{3})^2=25-3=22\). Option D (\(25+\sqrt{3}\)) is incorrect because it is a sum not the result of difference of squares; B and C arise from simple arithmetic mistakes. Exam tip: on seeing conjugate zeros, apply \((a+b)(a-b)\) immediately to avoid extra steps and errors.
किसी द्विघातीय बहुपद \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=\sqrt{2}\) हैं, अतः गुणनफल \(\dfrac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}\) होगा। विकल्प B (\(-\sqrt{2}\)) नकारात्मक है — पर चूंकि दोनों \(a\) और \(c\) धनात्मक हैं, गुणनफल धनात्मक होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा \(a, b, c\) पहचानें और फिर \(\frac{c}{a}\) व \(-\frac{b}{a}\) का उपयोग करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the product of the zeroes equals \(\frac{c}{a}\). Here \(a=1\) and \(c=\sqrt{2}\), so the product is \(\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}\). Option B (\(-\sqrt{2}\)) is wrong because the signs of \(a\) and \(c\) are both positive, giving a positive product. Exam tip: always identify \(a,b,c\) first and use \(\frac{c}{a}\) for the product and \(-\frac{b}{a}\) for the sum of roots.
दोनों शून्यकों का योग और गुणनफल गुणांक से मिलते हैं। बहुपद \(x^2-6x+n\) में शून्यकों का योग \(-\frac{-6}{1}=6\) है और गुणनफल \(n\) है। दिए हुए शून्यक \(3+\sqrt{m}\) और \(3-\sqrt{m}\) का गुणनफल \((3+\sqrt{m})(3-\sqrt{m})=9-m\) होगा। यह गुणनफल \(n=5\) के बराबर है, अतः \(9-m=5\) से \(m=4\)। द्वितीय विकल्प (5) इसीलिए गलत है क्योंकि वह सीधे \(n\) को \(m\) समझ लेने की गलती होगी। परिक्षा युक्ति: द्विघात के लिए शून्यकों का योग और गुणनफल तुरंत याद रखें — यह समय बचाता है। / Use the relations between roots and coefficients for a quadratic. For \(x^2-6x+n\), sum of roots is \(-(-6)/1=6\) and product of roots is \(n\). For roots \(3+\sqrt{m}\) and \(3-\sqrt{m}\), the product is \((3+\sqrt{m})(3-\sqrt{m})=9-m\). Setting this equal to \(n=5\) gives \(9-m=5\), so \(m=4\). Option B (5) is a common distractor from confusing \(m\) with \(n\); option C (9) would give product zero, not 5. Exam tip: immediately write sum and product relations for quadratics to avoid unnecessary algebra.
सामान्य द्विघात \(ax^2+bx+c\) के लिए शून्यों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1,\;c=2\) है, अतः गुणनफल \(\frac{2}{1}=2\)। विकल्प B (\(2\sqrt{3}\)) गलत है — वह द्विघात के मध्य गुणांक \(b\) का मान है, पर गुणनफल \(c/a\) से दिया जाता है। परीक्षा टिप: किसी भी क्वाड्रैटिक के लिए शीघ्र याद रखने हेतु सूत्र याद रखें — जोड़ = \(-b/a\), गुणनफल = \(c/a\)। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the product of the zeros equals \(\frac{c}{a}\). Here \(a=1\) and \(c=2\), so the product is \(\frac{2}{1}=2\). Option B (\(2\sqrt{3}\)) is incorrect — it is the coefficient \(b\), not the product. Exam tip: remember sum of roots = \(-b/a\) and product = \(c/a\) to answer such questions quickly.
मोनिक द्विघात \(x^2-10x+k\) में शून्यकों का गुणनफल स्थिर पद \(k\) के बराबर होता है। दिए गए शून्यकों का गुणनफल है \((5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})=5^2-(\sqrt{2})^2=25-2=23\)। इसलिए \(k=23\)। निकटतम विकल्प \(25\) इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(5^2\) है और वास्तविक गुणनफल से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सुझाव: द्विघात \(ax^2+bx+c\) के लिए sum = \(-b/a\) और product = \(c/a\) हमेशा याद रखें; मोनिक (a=1) में उत्पाद सीधे \(c\) होता है। / For the monic quadratic \(x^2-10x+k\), the product of the zeros equals the constant term \(k\). Compute the product: \((5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})=5^2-(\sqrt{2})^2=25-2=23\). Hence \(k=23\). The nearby option 25 is incorrect because it is simply \(5^2\), not the actual product of the conjugate roots. Exam tip: remember for \(ax^2+bx+c\), sum of roots = \(-b/a\) and product = \(c/a\); for a monic quadratic product = constant term.
x-अक्ष पर कटान के बिंदु बहुपद के शून्यक (roots) के x-मान होते हैं। यहाँ शून्यक \(0\) और \(a\) हैं, अतः गुणनफल \(0\times a=0\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(a\) इस बात को गलत तरीके से मानता है कि केवल गैर-शून्य शून्यक का मान गुणनफल है — परन्तु यदि किसी शून्यक का मान \(0\) है तो पूरा गुणनफल शून्य होगा। परीक्षात्मक टिप: यदि शून्यकों में कोई भी मान \(0\) है तो उत्पाद तुरंत \(0\) हो जाएगा। / The x-intercepts give the zeros of the polynomial: here the zeros are \(0\) and \(a\). Their product is \(0\times a=0\). The closest distractor, \(a\), incorrectly treats the product as the nonzero root alone; but a single zero root forces the whole product to be zero. Exam tip: whenever one root is 0, the product of the roots is 0 immediately.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदुओं के x-निर्देशांक ही बहुपद के शून्यक होते हैं, यहाँ शून्यक -5 और 5 हैं। उनका गुणनफल (-5)×5 = -25 होता है। विकल्प B (25) तब गलत है जब चिह्न अनदेखा किया गया हो; विकल्प A (0) तब ही सही होता यदि किसी शून्यक का मान 0 होता; विकल्प D (10) किसी प्रासंगिक गुणनफल से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: शून्यकों के गुणनफल में चिह्न का ध्यान रखें — विपरीत चिह्नों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। / The x-coordinates of the x-intercepts are the zeroes of the polynomial, here −5 and 5. Their product is (−5)×5 = −25. Option B (25) ignores the negative sign; A (0) would be correct only if one root were 0; D (10) is not the product. Exam tip: always account for signs when multiplying roots — opposite signs give a negative product.
p(x)=0 जहाँ होता है वही x मान बहुपद के शून्यक होते हैं। तालिका में p(-1)=0 और p(3)=0 हैं, अतः शून्यक -1 और 3 हैं। उनका गुणनफल (-1)×3 = −3 होगा। विकल्प B (3) केवल संख्या के परिशुद्धता का संकेत देता है पर सही चिन्ह नकारात्मक है; C और D गलत हैं क्योंकि p(x)=0 उन x‑मानों पर नहीं है (p(-4) = −2 और कोई p(x)=0 नहीं है)। परीक्षा टिप: सिर्फ उन्हीं x‑मानों को लें जहाँ स्पष्ट रूप से p(x)=0 दिया हो। / Zeros of the polynomial are the x-values where p(x)=0. From the table p(-1)=0 and p(3)=0, so the zeros are -1 and 3. Their product is (-1)×3 = −3. Option B (3) ignores the sign; options C and D are incorrect because p(6) and p(-4) are not zero (p(-4)=−2, p(6)=5). Exam tip: only use x-values that satisfy p(x)=0 when identifying roots.
