The other number is \(\frac{36\times1620}{180}=324\).
Step 3
Exam Tip
Write the relation first and then simplify the division. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{36\times1620}{180}=324\) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले संबंध लिखें और फिर भाग को सरल करें।
The other number is \(\frac{21\times1386}{198}=147\).
Step 3
Exam Tip
Simplifying the division first makes the calculation faster. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{21\times1386}{198}=147\) है। चरण 3: भाग को पहले सरल करने से गणना जल्दी होती है।
(11) appears only in the LCM as \(11^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
In multiplication, add powers of the same prime. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। चरण 2: (11) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(11^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं।
Then \(\frac{1080}{72}=15\), so the value of the ratio is (15).
Step 3
Exam Tip
First find the LCM, then simplify the ratio. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{216\times360}{72}=1080\) होगा। चरण 2: अब \(\frac{1080}{72}=15\), इसलिए अनुपात का मान (15) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य निकालें, फिर अनुपात सरल करें।
When (u) and (v) are coprime, the LCM of (30u) and (30v) is (30uv).
Step 2
Why this answer is correct
Since (uv=26), LCM \(=30\times26=780\).
Step 3
Exam Tip
Factoring out the HCF simplifies the question. चरण 1: जब (u) और (v) सहाभाज्य हों, तो (30u) और (30v) का लघुत्तम समापवर्त्य (30uv) होता है। चरण 2: (uv=26), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(30\times26=780\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालने से प्रश्न सरल हो जाता है।
Question 36/59HardMathematicsChapter 1: Real Numbers4: HCF and LCM using prime factorisationClass 10Level 13
यदि \(H=2^2\times3\times5\) और \(L=2^6\times3^3\times5^2\times7\) क्रमशः दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य हैं, तो \(\frac{L}{H}\) क्या होगा?
Subtract powers of the same bases: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Use exponent subtraction in division. चरण 1: \(\frac{L}{H}\) में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देते हैं। चरण 2: समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\)। चरण 3: घातों वाले भाग में घटाव का नियम लगाएँ।
After taking out HCF (18), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=18rs=990), so (rs=55).
Step 3
Exam Tip
Divide by the HCF to simplify such questions. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (18) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (18rs=990), इसलिए (rs=55) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक से भाग देकर काम आसान करें।
The other number is \(\frac{48\times1440}{240}=288\).
Step 3
Exam Tip
First simplify (1440) by (240) to make the calculation easier. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{48\times1440}{240}=288\) है। चरण 3: पहले (1440) को (240) से सरल करके गणना आसान करें।
(7) appears only in the LCM as \(7^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
In multiplication, add exponents of the same prime. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। चरण 2: (7) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(7^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं।
Then \(\frac{1260}{36}=35\), so the value is (35).
Step 3
Exam Tip
First find the LCM, then simplify the ratio. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{180\times252}{36}=1260\) होगा। चरण 2: अब \(\frac{1260}{36}=35\), इसलिए अनुपात का मान (35) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य निकालें, फिर अनुपात सरल करें।
When (u) and (v) are coprime, the LCM of (18u) and (18v) is (18uv).
Step 2
Why this answer is correct
Since (uv=40), LCM \(=18\times40=720\).
Step 3
Exam Tip
Factoring out the HCF is useful in such questions. चरण 1: जब (u) और (v) सहाभाज्य हों, तो (18u) और (18v) का लघुत्तम समापवर्त्य (18uv) होता है। चरण 2: (uv=40), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(18\times40=720\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालने की विधि ऐसे प्रश्नों में उपयोगी है।
Subtract powers of the same bases: \(2^{5-3}\times3^{4-2}\times5=2^2\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Remember subtraction of exponents during division. चरण 1: \(\frac{L}{H}\) में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देते हैं। चरण 2: समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{5-3}\times3^{4-2}\times5=2^2\times3^2\times5\)। चरण 3: घातों वाले भाग में घटाव का नियम याद रखें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the power of (2) is (5+8=13).
Step 3
Exam Tip
Exponents with the same base add during multiplication. चरण 1: \(32=2^5\) और \(768=2^8\times3\) है। चरण 2: गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए (2) की घात (5+8=13) होगी। चरण 3: समान आधार की घातें गुणा में जुड़ती हैं।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) should be (5+8=13).
Step 3
Exam Tip
Add exponents of the same base carefully. चरण 1: \(32=2^5\) और \(768=2^8\times3\) है। चरण 2: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+8=13) होनी चाहिए। चरण 3: दिए विकल्पों से सावधान रहें और घातों को जोड़ें।
After factoring out HCF (27), the remaining numbers are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=27rs=1215), so (rs=45).
Step 3
Exam Tip
In such questions, divide by the given HCF to simplify. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (27) बाहर निकालने पर शेष संख्याएँ सहाभाज्य होती हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (27rs=1215), इसलिए (rs=45) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दिए गए महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सोचें।
Since (5) and (13) are coprime, HCF is (14) and LCM is \(14\times5\times13=910\).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF while checking options. चरण 1: \(70=14\times5\) और \(182=14\times13\) हैं। चरण 2: (5) और (13) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (14) और लघुत्तम समापवर्त्य \(14\times5\times13=910\) है। चरण 3: विकल्प जाँचते समय महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालें।
The other number is \(\frac{35\times1470}{210}=245\).
Step 3
Exam Tip
Divide first to keep the calculation simple. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{35\times1470}{210}=245\) है। चरण 3: ऐसी गणना में पहले (210) से भाग देकर मान सरल करें।
(7) and (8) are coprime, so LCM \(=6\times7\times8=336\).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF and check the remaining numbers. चरण 1: जब (r) और (s) सहाभाज्य हों, तो लघुत्तम समापवर्त्य (6rs) होगा। चरण 2: (7) और (8) सहाभाज्य हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(6\times7\times8=336\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर बची संख्याओं को देखें।
Question 49/59HardMathematicsChapter 1: Real Numbers4: HCF and LCM using prime factorisationClass 10Level 11
यदि \(2^4\times3^2\times5\) किसी संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य है और महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\) है, तो \(\frac{\text{लघुत्तम समापवर्त्य}}{\text{महत्तम समापवर्तक}}\) क्या होगा?
Subtract powers of the same bases: \(2^{4-2}\times3^{2-1}\times5=2^2\times3\times5\).
Step 3
Exam Tip
Remember the exponent rule for division. चरण 1: अनुपात में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देना है। चरण 2: समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{4-2}\times3^{2-1}\times5=2^2\times3\times5\)। चरण 3: अभाज्य घातों में भाग का नियम याद रखें।
The other number is \(\frac{28\times840}{140}=168\).
Step 3
Exam Tip
Simplify the division to reduce mistakes. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{28\times840}{140}=168\) है। चरण 3: भाग को सरल करके गलती की संभावना कम करें।
The powers of (3) are (1) and (3), so the total power is (4).
Step 3
Exam Tip
When multiplying powers with the same base, add the exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (3) की घातें (1) और (3) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (4) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
Since (2) and (11) are coprime, HCF is (21) and LCM is \(21\times2\times11=462\).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(42=21\times2\) और \(231=21\times11\) हैं। चरण 2: (2) और (11) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (21) और लघुत्तम समापवर्त्य \(21\times2\times11=462\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें।
LCM is \(2^2\times3^3\times5=540\), so the ratio is (540:36=15:1).
Step 3
Exam Tip
Always reduce the ratio to its simplest form. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3^2=36\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3\times5=540\) है, इसलिए अनुपात (540:36=15:1) है। चरण 3: अनुपात को अंत में सबसे सरल रूप में लिखें।
This form makes large-number questions easier. चरण 1: जब महत्तम समापवर्तक (12) हो, तो (m) और (n) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (12mn=504), इसलिए (mn=42) है। चरण 3: इस रूप में प्रश्न हल करने पर बड़ी संख्याएँ छोटी हो जाती हैं।
\(54=18\times3\) and \(180=18\times10\), where (3) and (10) are coprime, so HCF is (18) and LCM is \(18\times3\times10=540\).
Step 3
Exam Tip
In options, check HCF first. चरण 1: सही जोड़े के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य दोनों जाँचने होंगे। चरण 2: \(54=18\times3\) और \(180=18\times10\), जहाँ (3) और (10) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (18) और लघुत्तम समापवर्त्य \(18\times3\times10=540\) है। चरण 3: विकल्पों में पहले महत्तम समापवर्तक जाँचें।
A. (a) और (b) का गुणनफल (30) और वे सहाभाज्य होंगे/Product of (a) and (b) is (30) and they are coprime
Step 1
Concept
If HCF is (30), the numbers can be written as (30a) and (30b), where (a) and (b) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM becomes (30ab=900), so (ab=30).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF to simplify such problems. चरण 1: यदि महत्तम समापवर्तक (30) है, तो संख्याएँ (30a) और (30b) लिखी जा सकती हैं जहाँ (a) और (b) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (30ab=900), इसलिए (ab=30)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर सोचें।
For two numbers, product of numbers equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The other number is \(\frac{24\times720}{96}=180\).
Step 3
Exam Tip
Write the relation first and then divide carefully. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{24\times720}{96}=180\) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले संबंध लिखें, फिर भाग दें।
Question 58/59HardMathematicsChapter 1: Real Numbers4: HCF and LCM using prime factorisationClass 10Level 10
दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^3\times5\) है। यदि एक संख्या \(2^4\times3\times5\) है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
The other number is (\frac{\(2^2\times3\)\(2^4\times3^3\times5\)}{24\times3\times5}=22\times33).
Step 3
Exam Tip
While dividing prime forms, subtract powers of the same base. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या (=\frac{\(2^2\times3\)\(2^4\times3^3\times5\)}{24\times3\times5}=22\times33) है। चरण 3: अभाज्य रूप में भाग करते समय समान आधारों की घातें घटाएँ।
Question 59/59HardMathematicsChapter 1: Real Numbers4: HCF and LCM using prime factorisationClass 10Level 10
यदि दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^3\times5\) और महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) की घात क्या होगी?
The product of two numbers equals HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (2) are (5) and (2), so the total power is (7).
Step 3
Exam Tip
When multiplying prime powers with the same base, add the powers. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (2) की घातें (5) और (2) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (7) होगी। चरण 3: अभाज्य घातों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
