The other number is \(\frac{54\times4158}{378}=594\).
Step 3
Exam Tip
Notice \(378=54\times7\) and simplify the division first. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{54\times4158}{378}=594\) है। चरण 3: \(378=54\times7\) देखकर भाग को पहले सरल करें।
After factoring out HCF (90), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=90rs=6930), so (rs=77).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (90) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (90rs=6930), इसलिए (rs=77) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
Since (3) and (11) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times3\times11=858\).
Step 3
Exam Tip
In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(78=26\times3\) और \(286=26\times11\) हैं। चरण 2: (3) और (11) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times3\times11=858\) है। चरण 3: विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें।
The other number is \(\frac{55\times3575}{275}=715\).
Step 3
Exam Tip
Use \(275=55\times5\) to simplify the division. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{55\times3575}{275}=715\) है। चरण 3: \(275=55\times5\) देखकर भाग सरल करें।
Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not count the reversed order again. चरण 1: संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। चरण 3: जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें।
After taking out HCF (84), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=84rs=5460), so (rs=65).
Step 3
Exam Tip
First divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (84) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (84rs=5460), इसलिए (rs=65) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
Do not forget to reduce the ratio to simplest form. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{330\times462}{66}=2310\) है। चरण 2: अनुपात (2310:66=35:1) होगा। चरण 3: अनुपात को सबसे सरल रूप में लिखना न भूलें।
The powers of (3) are (2) and (4), so the total power is (6).
Step 3
Exam Tip
When multiplying powers with the same base, add the exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (4) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (6) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
Do not count reversed order as a new pair. चरण 1: संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें।
The other number is \(\frac{45\times3465}{315}=495\).
Step 3
Exam Tip
Notice \(315=45\times7\) to calculate quickly. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{45\times3465}{315}=495\) है। चरण 3: \(315=45\times7\) देखकर गणना जल्दी करें।
After factoring out HCF (81), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=81rs=4617), so (rs=57).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (81) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (81rs=4617), इसलिए (rs=57) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
Since (11) and (10) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times11\times10=2860\).
Step 3
Exam Tip
In options, factor out the HCF and check if the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(286=26\times11\) और \(260=26\times10\) हैं। चरण 2: (11) और (10) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times11\times10=2860\) है। चरण 3: विकल्प में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता जाँचें।
The other number is \(\frac{33\times2145}{165}=429\).
Step 3
Exam Tip
Use \(165=33\times5\) to simplify the division. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{33\times2145}{165}=429\) है। चरण 3: \(165=33\times5\) देखकर भाग सरल करें।
Let the numbers be (21m) and (21n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(21mn=2310), so \(mn=110=2\times5\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not count the reversed order again. चरण 1: संख्याओं को (21m) और (21n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (21mn=2310), इसलिए \(mn=110=2\times5\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। चरण 3: जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (6+10=16).
Step 3
Exam Tip
Add exponents when multiplying powers with the same base. चरण 1: \(64=2^6\) और \(5120=2^{10}\times5\) है। चरण 2: गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (6+10=16) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें।
After taking out HCF (72), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=72rs=4680), so (rs=65).
Step 3
Exam Tip
First divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (72) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (72rs=4680), इसलिए (rs=65) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
Always reduce the ratio to its simplest form. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{264\times396}{132}=792\) है। चरण 2: अनुपात (792:132=6:1) होगा। चरण 3: अनुपात को अंत में सबसे सरल रूप में लिखें।
The powers of (2) are (4) and (7), so the total power is (11).
Step 3
Exam Tip
When multiplying powers with the same base, add the exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (2) की घातें (4) और (7) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (11) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
Do not split the same prime factor into both parts. चरण 1: संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें।
The other number is \(\frac{54\times2970}{270}=594\).
Step 3
Exam Tip
Simplify the division first to reduce calculation work. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{54\times2970}{270}=594\) है। चरण 3: पहले (270) से सरल भाग देकर गणना छोटी करें।
Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime. चरण 1: संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें।
After factoring out HCF (63), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=63rs=2079), so (rs=33).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (63) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (63rs=2079), इसलिए (rs=33) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
Since (7) and (12) are coprime, HCF is (22) and LCM is \(22\times7\times12=1848\).
Step 3
Exam Tip
In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(154=22\times7\) और \(264=22\times12\) हैं। चरण 2: (7) और (12) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (22) और लघुत्तम समापवर्त्य \(22\times7\times12=1848\) है। चरण 3: विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें।
The other number is \(\frac{27\times1701}{189}=243\).
Step 3
Exam Tip
Notice \(189=27\times7\) to simplify quickly. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{27\times1701}{189}=243\) है। चरण 3: पहले \(189=27\times7\) देखकर गणना सरल करें।
Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
(m) and (n) must not share a prime factor. चरण 1: संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: (m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (5+9=14).
Step 3
Exam Tip
Add exponents when multiplying powers with the same base. चरण 1: \(32=2^5\) और \(1536=2^9\times3\) है। चरण 2: गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+9=14) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें।
After factoring out HCF (40), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=40rs=1680), so (rs=42).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF to make the question shorter. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (40) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (40rs=1680), इसलिए (rs=42) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर प्रश्न छोटा कर लें।
Always write ratios in simplest form. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{154\times231}{77}=462\) होगा। चरण 2: अनुपात \(\frac{462}{77}=6\) है, इसलिए अनुपात (6:1) है। चरण 3: अनुपात को हमेशा सरल रूप में लिखें।
The powers of (3) are (2) and (5), so the total power is (7).
Step 3
Exam Tip
Exponents of the same base add during multiplication. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (5) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (7) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
Step 3
Exam Tip
For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs. चरण 1: संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। चरण 3: वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें।
