Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वृक्ष का तना ऊर्ध्व दिशा में बढ़ता है। परीक्षा में tall object के लिए vertical line देखें। / Tree trunk grows vertically. Exam tip: observe vertical line for tall object.
अच्छा विरोध आकृति और पृष्ठभूमि को अलग करता है। परीक्षा में figure ground relation में contrast याद रखें। / Good contrast separates figure and background. Exam tip: remember contrast in figure-ground relation.
A. क्रांति बड़ा तेज बदलाव होती है सुधार क्रमिक बदलाव हो सकता है/Revolution is a major rapid change while reform can be gradual
Explanation
Simple Explanation
क्रांति प्रायः गहरा बदलाव लाती है जबकि सुधार धीरे धीरे हो सकता है। परीक्षा में दोनों शब्दों को अलग समझें। / A revolution often brings deep change while reform can happen gradually. For exams understand the two terms separately.
(x=4) रखने पर (4+2y=14), इसलिए (y=5)। जब एक चर दिया हो तो प्रतिस्थापन तुरंत करें। / Putting (x=4) gives (4+2y=14), so (y=5). When one variable is given, substitute immediately.
यह ((x+1)(x+2)=0) में आसानी से टूटता है। परीक्षा में छोटे गुणांकों वाले प्रश्नों में गुणनखंड विधि तेज रहती है। / It easily factors as ((x+1)(x+2)=0). In exams, factorisation is fast for questions with small coefficients.
चौदहवाँ पद (61) है, इसलिए (S_{14}=\frac{14}{2}(22+61)=581)। अंतिम पद की सही गणना से योग सही मिलता है। / The fourteenth term is (61), so (S_{14}=\frac{14}{2}(22+61)=581). Correct calculation of the last term gives the correct sum.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(16^2=256\)। यह सूत्र याद रखने योग्य है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(16^2=256\). This formula is worth remembering.
(S_{15}=\frac{15}{2}(14+84)=735)। पहले और अंतिम पद का औसत लेकर (n) से गुणा करें। / (S_{15}=\frac{15}{2}(14+84)=735). Take the average of the first and last terms and multiply by (n).
छठे से ग्यारहवें पदों का योग \(S_{11}-S_5=177\) है। आंशिक योगों का अंतर सीधे उत्तर देता है। / The sum of the (6)th to (11)th terms is \(S_{11}-S_5=177\). The difference of partial sums gives the answer directly.
तेरहवाँ पद (86) है, इसलिए (S_{13}=\frac{13}{2}(2+86)=572)। अंतिम पद निकालते समय ((n-1)d) का उपयोग करें। / The thirteenth term is (86), so (S_{13}=\frac{13}{2}(2+86)=572). Use ((n-1)d) when finding the last term.
सातवाँ पद (2) है और (S_7=\frac{7}{2}(20+2)=77)। ऋणात्मक (d) में चिन्ह की गलती न करें। / The seventh term is (2), and (S_7=\frac{7}{2}(20+2)=77). Do not make a sign error with negative (d).
पहले (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है, इसलिए \(19\times20=380\)। सम संख्याएँ \(2,4,6,\ldots\) से शुरू होती हैं। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so \(19\times20=380\). Even numbers start from \(2,4,6,\ldots\).
पहले (n) प्राकृतिक संख्याओं का योग (\frac{n(n+1)}{2}) होता है, इसलिए (253) मिलेगा। ऐसे प्रश्न में सीधे (n) का मान लगाएँ। / The sum of the first (n) natural numbers is (\frac{n(n+1)}{2}), so the answer is (253). Put the value of (n) directly in such questions.
चौदहवाँ पद (41) है, इसलिए (S_{14}=\frac{14}{2}(2+41)=301)। अंतिम पद सही निकालना मुख्य कदम है। / The fourteenth term is (41), so (S_{14}=\frac{14}{2}(2+41)=301). Finding the last term correctly is the main step.
दसवाँ पद (41) है और (S_{10}=\frac{10}{2}(14+41)=275)। अंतिम पद निकालकर योग लेना सरल है। / The tenth term is (41), and (S_{10}=\frac{10}{2}(14+41)=275). Finding the last term first makes the sum simple.
अंतिम पद (65) है, इसलिए (S_{15}=\frac{15}{2}(9+65)=555)। अंतिम पद से गणना आसान हो सकती है। / The last term is (65), so (S_{15}=\frac{15}{2}(9+65)=555). Using the last term can simplify calculation.
योग (=) औसत \(\times\) पदों की संख्या, इसलिए \(25\times9=225\)। औसत दिए होने पर लंबा सूत्र जरूरी नहीं। / Sum equals average \(\times\) number of terms, so \(25\times9=225\). When the average is given, the long formula is not needed.
यहाँ (d=1) है इसलिए \(a_6=\frac{4}{5}+5=\frac{29}{5}\)। पूर्ण संख्या को समान हर वाली भिन्न में बदलें। / Here (d=1), so \(a_6=\frac{4}{5}+5=\frac{29}{5}\). Convert the whole number to a fraction with the same denominator.
(15)वाँ पद (9)वें पद से (6d) आगे है इसलिए (70+18=88)। निकट पदों में यह विधि सरल है। / The (15)th term is (6d) after the (9)th term, so (70+18=88). This method is simple for nearby terms.
यहाँ (d=6) है इसलिए \(a_{28}=9+27\times6=171\)। (28)वें पद के लिए (27d) जोड़ें। / Here (d=6), so \(a_{28}=9+27\times6=171\). For the (28)th term, add (27d).
यहाँ (d=11) है इसलिए \(a_{16}=6+15\times11=171\)। (16)वें पद के लिए (15) अंतर जोड़ें। / Here (d=11), so \(a_{16}=6+15\times11=171\). For the (16)th term, add (15) differences.
यहाँ (d=6) है इसलिए \(a_{18}=-15+17\times6=87\)। ऋणात्मक प्रथम पद को सही जोड़ें। / Here (d=6), so \(a_{18}=-15+17\times6=87\). Add the negative first term correctly.
यहाँ (d=5) है इसलिए \(a_{24}=12+23\times5=127\)। (24)वें पद के लिए (23d) जोड़ें। / Here (d=5), so \(a_{24}=12+23\times5=127\). For the (24)th term, add (23d).
(12)वाँ पद (8)वें पद से (4d) आगे है इसलिए (44+4(-2)=36)। ऋणात्मक अंतर को ध्यान से जोड़ें। / The (12)th term is (4d) after the (8)th term, so (44+4(-2)=36). Add the negative difference carefully.
यहाँ (d=9) है इसलिए \(a_{21}=7+20\times9=187\)। (21)वें पद तक (20) अंतर जुड़ते हैं। / Here (d=9), so \(a_{21}=7+20\times9=187\). Up to the (21)st term, (20) differences are added.
(7)वाँ पद (2)रे पद से (5d) आगे है इसलिए (12+45=57)। दिए पद से आगे बढ़कर हल करें। / The (7)th term is (5d) after the (2)nd term, so (12+45=57). Solve by moving forward from the given term.
यहाँ (d=10) है इसलिए \(a_9=18+8\times10=98\)। (9)वें पद तक (8) अंतर जुड़ते हैं। / Here (d=10), so \(a_9=18+8\times10=98\). Up to the (9)th term, (8) differences are added.
यहाँ (d=3) है इसलिए \(a_{22}=31+21\times3=94\)। (22)वें पद में (21) अंतर जुड़ते हैं। / Here (d=3), so \(a_{22}=31+21\times3=94\). The (22)nd term includes (21) differences.
यहाँ \(d=\frac{1}{2}\) है इसलिए \(a_9=\frac{5}{4}+8\times\frac{1}{2}=\frac{21}{4}\)। भिन्न वाले अंतर को सरल रूप में लें। / Here \(d=\frac{1}{2}\), so \(a_9=\frac{5}{4}+8\times\frac{1}{2}=\frac{21}{4}\). Use the fractional difference carefully.
यहाँ (d=-10) है इसलिए (a_{16}=200+15(-10)=50)। बड़े पदों में भी चिह्न पर ध्यान दें। / Here (d=-10), so (a_{16}=200+15(-10)=50). Watch the sign even with large terms.
(10)वाँ पद (4)थे पद से (6d) आगे है इसलिए (21+36=57)। पद संख्या का अंतर सीधे उपयोग करें। / The (10)th term is (6d) after the (4)th term, so (21+36=57). Use the difference in term numbers directly.
यहाँ (d=-4) है इसलिए (a_{18}=64+17(-4)=-4)। (17) बार ऋणात्मक अंतर जोड़ें। / Here (d=-4), so (a_{18}=64+17(-4)=-4). Add the negative difference (17) times.
(13)वाँ पद (6)वें पद से (7d) आगे है इसलिए (38+35=73)। दिए पद से आगे का अंतर सही गिनें। / The (13)th term is (7d) after the (6)th term, so (38+35=73). Count the forward gap correctly.
यहाँ (a=1.5) और (d=1.5) है इसलिए \(a_8=12.0\)। दशमलव में भी वही सूत्र लागू होता है। / Here (a=1.5) and (d=1.5), so \(a_8=12.0\). The same formula applies to decimals too.
यहाँ (d=8) है इसलिए \(a_{19}=11+18\times8=155\)। (19)वें पद के लिए (18d) जोड़ें। / Here (d=8), so \(a_{19}=11+18\times8=155\). For the (19)th term, add (18d).
यहाँ (d=5) है इसलिए \(a_{15}=-20+14\times5=50\)। ऋणात्मक शुरुआत से भ्रमित न हों। / Here (d=5), so \(a_{15}=-20+14\times5=50\). Do not get confused by the negative start.
यहाँ (d=10) है इसलिए \(a_{12}=13+11\times10=123\)। (12)वें पद में (11) सार्व अंतर जुड़ते हैं। / Here (d=10), so \(a_{12}=13+11\times10=123\). The (12)th term includes (11) common differences.
(8)वाँ पद (3)रे पद से (5d) आगे है इसलिए (16+35=51)। पदों के बीच का अंतर गिनें। / The (8)th term is (5d) after the (3)rd term, so (16+35=51). Count the gap between terms.
यहाँ (d=-3) है इसलिए (a_{25}=100+24(-3)=28)। (25)वें पद तक (24) अंतर जुड़ते हैं। / Here (d=-3), so (a_{25}=100+24(-3)=28). Up to the (25)th term, (24) differences are added.
यहाँ (d=6) है इसलिए \(a_{10}=25+9\times6=79\)। (10)वें पद में (9) अंतर होते हैं। / Here (d=6), so \(a_{10}=25+9\times6=79\). The (10)th term has (9) differences.
यहाँ (d=9) है इसलिए \(a_{18}=2+17\times9=155\)। बड़ी पद संख्या में भी वही सूत्र लगाएं। / Here (d=9), so \(a_{18}=2+17\times9=155\). Use the same formula even for a large term number.
यहाँ (d=-8) है इसलिए (a_9=90+8(-8)=26)। सार्व अंतर का चिह्न सही रखें। / Here (d=-8), so (a_9=90+8(-8)=26). Keep the sign of the common difference correct.
(11)वाँ पद (5)वें पद से (6d) आगे है इसलिए (27+24=51)। दिए पद से आगे बढ़ना तेज तरीका है। / The (11)th term is (6d) after the (5)th term, so (27+24=51). Moving ahead from the given term is quick.
यहाँ \(a=\frac{1}{3}\) और \(d=\frac{1}{3}\) है इसलिए \(a_{12}=4\)। भिन्नों में हर समान रखें। / Here \(a=\frac{1}{3}\) and \(d=\frac{1}{3}\), so \(a_{12}=4\). Keep denominators common in fractions.
यहाँ (d=7) है इसलिए \(a_{17}=15+16\times7=127\)। (17)वें पद के लिए (16) अंतर जोड़ें। / Here (d=7), so \(a_{17}=15+16\times7=127\). For the (17)th term, add (16) differences.
यहाँ (d=6) है इसलिए \(a_{13}=-4+12\times6=68\)। ऋणात्मक प्रथम पद के साथ जोड़ सावधानी से करें। / Here (d=6), so \(a_{13}=-4+12\times6=68\). Add carefully when the first term is negative.
यहाँ (d=-4) है इसलिए (a_{10}=45+9(-4)=9)। घटती एपी में (d) ऋणात्मक लें। / Here (d=-4), so (a_{10}=45+9(-4)=9). In a decreasing AP, take (d) as negative.
यहाँ (a=3) और (d=5) है इसलिए \(a_9=3+8\times5=43\)। पहले सार्व अंतर पहचानें। / Here (a=3) and (d=5), so \(a_9=3+8\times5=43\). First identify the common difference.
(a_n=a+(n-1)d) से \(a_{11}=14+10\times3=44\)। परीक्षा में पहले (n-1) निकालें। / Using (a_n=a+(n-1)d), \(a_{11}=14+10\times3=44\). In exams, first find (n-1).
यहाँ (d=1) है इसलिए \(a_7=\frac{2}{3}+6=\frac{20}{3}\)। पूर्ण संख्या को भिन्न में बदलकर जोड़ें। / Here (d=1), so \(a_7=\frac{2}{3}+6=\frac{20}{3}\). Convert the whole number into a fraction before adding.
(6)वाँ पद (2)रे पद से (4d) आगे है इसलिए (10+16=26)। दिए पद से आगे बढ़कर हल करें। / The (6)th term is (4d) after the (2)nd term, so (10+16=26). Solve by moving forward from the given term.
यहाँ (d=7) है इसलिए \(a_{22}=1+21\times7=148\)। (22)वें पद के लिए (21d) जोड़ें। / Here (d=7), so \(a_{22}=1+21\times7=148\). For the (22)nd term, add (21d).
यहाँ (d=5) है इसलिए \(a_{11}=-8+10\times5=42\)। ऋणात्मक शुरुआत के बाद भी सूत्र वही रहता है। / Here (d=5), so \(a_{11}=-8+10\times5=42\). The formula remains the same even with a negative start.
यहाँ (d=7) है इसलिए \(a_6=17+5\times7=52\)। (6)वें पद में (5) अंतर होते हैं। / Here (d=7), so \(a_6=17+5\times7=52\). The (6)th term has (5) differences.
यहाँ (d=-3) है इसलिए (a_{19}=24+18(-3)=-30)। (19)वें पद के लिए (18d) जुड़ता है। / Here (d=-3), so (a_{19}=24+18(-3)=-30). For the (19)th term, (18d) is added.
(7)वाँ पद (3)रे पद से (4d) आगे है इसलिए (14+20=34)। बीच के पदों की संख्या सही गिनें। / The (7)th term is (4d) after the (3)rd term, so (14+20=34). Count the gap between terms correctly.
यहाँ \(a=\frac{3}{2}\) और (d=1) है इसलिए \(a_8=\frac{17}{2}\)। भिन्न वाले पदों में हर को ध्यान से देखें। / Here \(a=\frac{3}{2}\) and (d=1), so \(a_8=\frac{17}{2}\). Watch the denominator carefully in fractional terms.
(9)वाँ पद (4)वें पद से (5d) आगे है इसलिए (18+15=33)। दिए हुए पद से आगे बढ़ना तेज तरीका है। / The (9)th term is (5d) after the (4)th term, so (18+15=33). Moving forward from the given term is quick.
यहाँ (d=-2) है इसलिए (a_{16}=21+15(-2)=-9)। (16)वें पद तक (15) बार अंतर जुड़ता है। / Here (d=-2), so (a_{16}=21+15(-2)=-9). Up to the (16)th term, the difference is added (15) times.
यहाँ (a=5) और (d=5) है इसलिए \(a_{30}=5+29\times5=150\)। समान गुणकों वाली एपी में सूत्र जल्दी काम करता है। / Here (a=5) and (d=5), so \(a_{30}=5+29\times5=150\). The formula works quickly for APs with equal multiples.
यहाँ (d=-4) है इसलिए (a_{10}=16+9(-4)=-20)। घटते क्रम में उत्तर ऋणात्मक भी हो सकता है। / Here (d=-4), so (a_{10}=16+9(-4)=-20). In decreasing order, the answer can be negative.
यहाँ (d=7) है इसलिए \(a_{13}=2+12\times7=86\)। सही पद संख्या के लिए (12d) जोड़ें। / Here (d=7), so \(a_{13}=2+12\times7=86\). Add (12d) for the correct term number.
यहाँ (d=-4) है इसलिए (a_{15}=40+14(-4)=-16)। (14) बार सार्व अंतर जोड़ना है। / Here (d=-4), so (a_{15}=40+14(-4)=-16). The common difference is added (14) times.
(8)वाँ पद (5)वें पद से (3d) आगे है इसलिए (22+18=40)। पदों का अंतर गिनना आसान तरीका है। / The (8)th term is (3d) after the (5)th term, so (22+18=40). Counting the gap between terms is an easy method.
