B. नहीं क्योंकि \((-1)*(-1) \notin A\)/No because \((-1)*(-1) \notin A\)
Step 1
Concept
A binary operation needs closure for every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
((-1)*(-1)=-1-1-1=-3), and \(-3 \notin A\).
Step 3
Exam Tip
If closure fails even once, the operation is not binary on the set. चरण 1: द्विआधारी संक्रिया के लिए हर जोड़ी का परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: ((-1)*(-1)=-1-1-1=-3), और \(-3 \notin A\)। चरण 3: संवृतता टूटते ही संक्रिया द्विआधारी नहीं रहती।
For closure, the result must again lie in \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
In (a+b+ab), sums and products of integers remain integers.
Step 3
Exam Tip
In closure questions, focus only on the set of the result. चरण 1: बंदता के लिए परिणाम फिर \(\mathbb{Z}\) में होना चाहिए। चरण 2: (a+b+ab) में योग और गुणनफल दोनों पूर्णांक रहते हैं। चरण 3: बंदता जाँचते समय केवल परिणाम के समुच्चय पर ध्यान दें।
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है/Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+ab=b+a+ba), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
Since (1+(a*b)=(1+a)(1+b)), regrouping three elements behaves like ordinary multiplication.
Step 3
Exam Tip
For harder associativity checks, a smart transformation saves time. चरण 1: (a+b+ab=b+a+ba), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। चरण 2: (1+(a*b)=(1+a)(1+b)), इसलिए तीन अवयवों के समूह बदलने पर गुणन का क्रम नहीं बदलता। चरण 3: कठिन सहचारीता में ऐसा रूपांतरण समय बचाता है।
In identity questions, (a) may be any value, so (e) must be fixed. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। चरण 2: (a+e+4=a) से (e=-4) मिलता है। चरण 3: तत्समक में (a) सभी मान ले सकता है, इसलिए (e) स्थिर होना चाहिए।
When (a=-1), (1+a=0), so no inverse exists. चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+ab=0), यानी (b(1+a)=-a) मिलता है। चरण 3: (a=-1) पर (1+a=0) हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम नहीं मिलेगा।
This gives (x=-14), so always find identity before inverse. चरण 1: पहले तत्समक निकालें, (a+e+4=a) से (e=-4)। चरण 2: (6) के प्रतिलोम (x) के लिए (6+x+4=-4)। चरण 3: इससे (x=-14) आता है, इसलिए प्रतिलोम निकालने से पहले तत्समक अवश्य निकालें।
Hence \(b=\frac{3}{5}\). Always equate the operation result to the identity. चरण 1: (a*e=a) से (e=0) मिलता है। चरण 2: प्रतिलोम (b) के लिए (3+b-6b=0), इसलिए (3-5b=0)। चरण 3: \(b=\frac{3}{5}\), इसलिए प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक के बराबर रखें।
This gives (e(1-a)=0), which is satisfied for all (a) by (e=0).
Step 3
Exam Tip
Subtracting (a) from both sides is a quick simplification. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a+e-ae=a) लिखें। चरण 2: इससे (e(1-a)=0) मिलता है, जो सभी (a) के लिए (e=0) से पूरा होता है। चरण 3: दोनों ओर से (a) घटाकर सरल करना तेज तरीका है।
For \(a=\frac{1}{2}\), (1-2a=0), so an inverse is not possible. चरण 1: तत्समक (0) है। चरण 2: (a+b-2ab=0) से (b(1-2a)=-a) मिलता है। चरण 3: \(a=\frac{1}{2}\) पर (1-2a=0), इसलिए प्रतिलोम संभव नहीं है।
Hence \(x=\frac{4}{3}\); be careful with negative signs. चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: (4*x=0) से (4+x-4x=0), अतः (4-3x=0)। चरण 3: इसलिए \(x=\frac{4}{3}\); ऋण चिह्न लगाते समय सावधानी रखें।
Since (2) and \(-\frac{1}{2}\) are inverses, (2-\frac{1}{2}+k\cdot2\cdot\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
This gives \(\frac{3}{2}-k=0\), so \(k=\frac{3}{2}\); hence none of the listed options would be correct. चरण 1: इस रूप में तत्समक (0) है। चरण 2: (2) और \(-\frac{1}{2}\) प्रतिलोम हैं, इसलिए (2-\frac{1}{2}+k\cdot2\cdot\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0)। चरण 3: \(\frac{3}{2}-k=0\) नहीं, सही सरलीकरण \(2-\frac{1}{2}-k=0\) देता है, अतः \(k=\frac{3}{2}\); इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं होता।
Hence (e=0); always read the set condition carefully. चरण 1: (a*e=a) से (a+e+ae=a) मिलता है। चरण 2: (e(1+a)=0) होगा और \(a\neq -1\) है। चरण 3: इसलिए (e=0); दिए गए समुच्चय की शर्त को हमेशा पढ़ें।
Hence \(x=-\frac{2}{3}\), and it also belongs to (A). चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: (2*x=0) से (2+x+2x=0), अतः (3x=-2)। चरण 3: इसलिए \(x=-\frac{2}{3}\); उत्तर समुच्चय (A) में भी है।
From (a*x=0), (a+x+ax=0), so \(x=\frac{-a}{1+a}\).
Step 3
Exam Tip
At (a=-1), the denominator is zero, so inverse does not exist. चरण 1: तत्समक (0) है। चरण 2: (a*x=0) से (a+x+ax=0), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+a}\)। चरण 3: (a=-1) पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम नहीं है।
In fraction-based operations, clear the denominator first. चरण 1: तत्समक (e) के लिए \(\frac{ae}{5}=a\) होना चाहिए। चरण 2: \(a\neq0\), इसलिए दोनों ओर (a) से भाग देने पर (e=5)। चरण 3: भिन्न वाली संक्रिया में पहले हर को साफ करें।
Hence \(x=\frac{5}{2}\); find inverse by equating to the identity. चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक (5) है। चरण 2: (10*x=5) से \(\frac{10x}{5}=5\), अतः (2x=5)। चरण 3: इसलिए \(x=\frac{5}{2}\); प्रतिलोम को तत्समक के बराबर रखकर निकालें।
For identity (e), (\max(a,e)=a) for all \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
This happens only when (e) is the smallest element.
Step 3
Exam Tip
The smallest element of this set is (2). चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। चरण 2: ऐसा तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो। चरण 3: इस समुच्चय में सबसे छोटा अवयव (2) है।
For identity (e), (\min(a,e)=a) for all \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
This is possible only when (e) is the greatest element.
Step 3
Exam Tip
Hence the identity here is (8). चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। चरण 2: यह तभी संभव है जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। चरण 3: इसलिए यहाँ तत्समक (8) है।
For identity (e), (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
This means every (a) must divide (e).
Step 3
Exam Tip
(6) is a multiple of all given elements, so (e=6). चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। चरण 2: इसका अर्थ है कि हर (a), (e) को भाग दे। चरण 3: (6) सभी दिए अवयवों का गुणज है, इसलिए (e=6)।
(1) divides all elements, so it is the identity. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) चाहिए। चरण 2: इसके लिए (e) हर (a) को भाग देना चाहिए। चरण 3: (1) सभी अवयवों को भाग देता है, इसलिए वही तत्समक है।
A. यह बंद है पर क्रमविनिमेय नहीं/It is closed but not commutative
Step 1
Concept
Difference of two integers is an integer, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(5-2\neq2-5\), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
Do not accept identity only from (a*0=a); also check (0*a=a). चरण 1: दो पूर्णांकों का अंतर पूर्णांक होता है, इसलिए बंदता है। चरण 2: \(5-2\neq2-5\), इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं है। चरण 3: केवल (a*0=a) देखकर तत्समक न मानें, (0*a=a) भी जाँचें।
A. क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता/Because the result is not always an integer
Step 1
Concept
For a binary operation, the result must remain in \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(1*2=\frac{3}{2}\), which is not an integer.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to disprove closure. चरण 1: द्विआधारी संक्रिया के लिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) में रहना चाहिए। चरण 2: \(1*2=\frac{3}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है। चरण 3: बंदता गलत सिद्ध करने के लिए एक विरोधी उदाहरण पर्याप्त है।
A. यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं/It is commutative but not associative
Step 1
Concept
Since \(a^2+b^2=b^2+a^2\), it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*1)*2=8), while (1*(1*2)=26), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
Small values are very useful for testing associativity. चरण 1: \(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: ((1*1)*2=8), जबकि (1*(1*2)=26), इसलिए साहचर्य नहीं है। चरण 3: साहचर्य जाँचने में छोटे मान बहुत उपयोगी होते हैं।
This holds for all values only when (k=1). चरण 1: क्रमविनिमेयता के लिए (ka+b=kb+a) सभी (a,b) के लिए चाहिए। चरण 2: इसे ((k-1)a=(k-1)b) की तरह देखें। चरण 3: सभी मानों के लिए यह तभी सही होगा जब (k=1)।
Hence it is associative for every real (k). चरण 1: ((a*b)*c) का विस्तार करने पर \(a+b+c+kab+kbc+kca+k^2abc\) मिलता है। चरण 2: (a*(b*c)) का विस्तार भी यही आता है। चरण 3: इसलिए यह हर वास्तविक (k) के लिए साहचर्य है।
Hence (x=-p-2c), the inverse of (p). चरण 1: पहले तत्समक (e) निकालें: (a+e+c=a), इसलिए (e=-c)। चरण 2: (p*x=e) से (p+x+c=-c)। चरण 3: इसलिए (x=-p-2c), यही (p) का प्रतिलोम है।
In usual multiplication, (1) is identity, but it must also belong to the given set. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (ae=a) होना चाहिए। चरण 2: (a>0), इसलिए (e=1)। चरण 3: सामान्य गुणन में (1) तत्समक होता है, लेकिन समुच्चय में उसका होना भी जरूरी है।
A. यह द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं/It is binary but not commutative
Step 1
Concept
Dividing a positive number by a positive number gives a positive number, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}\) is generally not equal to \(\frac{b}{a}\).
Step 3
Exam Tip
In division operations, check left and right sides separately. चरण 1: धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से भाग देने पर धनात्मक संख्या मिलती है, इसलिए बंदता है। चरण 2: \(\frac{a}{b}\) सामान्यतः \(\frac{b}{a}\) के बराबर नहीं होता। चरण 3: भाग वाली संक्रिया में बाएँ और दाएँ पक्ष अलग-अलग जाँचें।
Hence (x=-7); always connect inverse with identity. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), इसलिए (e=-1)। चरण 2: (5*x=-1) से (5+x+1=-1)। चरण 3: अतः (x=-7); प्रतिलोम को हमेशा तत्समक से जोड़कर देखें।
When a fixed number is added or subtracted, identity balances that fixed number. चरण 1: (a*e=a) लिखें। चरण 2: (a+e-2=a) से (e=2) मिलता है। चरण 3: स्थिर संख्या घट या जुड़ रही हो, तो तत्समक उसी को संतुलित करता है।
With negative numbers, write every term clearly. चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक (2) है। चरण 2: (-3*x=2) से (-3+x-2=2), अतः (x=7)। चरण 3: ऋणात्मक संख्या के साथ समीकरण बनाते समय हर पद साफ लिखें।
For small sets, check both directions. चरण 1: (a*0=|a-0|=a) क्योंकि (a) केवल (0) या (1) है। चरण 2: (0*a=|0-a|=a) भी सही है। चरण 3: छोटे समुच्चय में दोनों दिशा जाँचना जरूरी है।
Identity is the element that does not change an element from either side. चरण 1: गुणन में \(a\cdot1=a\) होता है। चरण 2: \(1\cdot a=a\) भी सभी \(a\in A\) के लिए सही है। चरण 3: तत्समक वही है जो दोनों ओर से अवयव को नहीं बदलता।
First evaluate inside the bracket: (3*4=3+4-12=-5).
Step 2
Why this answer is correct
Now (2*(-5)=2+(-5)-2(-5)=7).
Step 3
Exam Tip
In binary operation questions, follow the bracket order carefully. चरण 1: पहले कोष्ठक के अंदर (3*4) निकालें: (3+4-12=-5)। चरण 2: अब (2*(-5)=2+(-5)-2(-5)=7)। चरण 3: द्विआधारी संक्रिया में कोष्ठक का क्रम बहुत ध्यान से मानें।
For absorbing element (z), (a*z=z) and (z*a=z) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
(a*1=a+1-a=1) and (1*a=1+a-a=1).
Step 3
Exam Tip
Hence (1) is absorbing; do not confuse it with identity. चरण 1: अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) और (z*a=z) चाहिए। चरण 2: (a*1=a+1-a=1) और (1*a=1+a-a=1)। चरण 3: इसलिए (1) अवशोषक है; इसे तत्समक से अलग पहचानें।
Hence (-1) is absorbing; it also becomes the element without inverse. चरण 1: अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) चाहिए। चरण 2: (a*(-1)=a-1-a=-1) और ((-1)*a=-1+a-a=-1)। चरण 3: इसलिए (-1) अवशोषक है; यह प्रतिलोम न होने वाला अवयव भी बनता है।
This equals ((1-a)(1-b)), which helps in understanding associativity. चरण 1: (1-(a*b)=1-(a+b-ab)) लिखें। चरण 2: सरल करने पर (1-a-b+ab) मिलता है। चरण 3: यह ((1-a)(1-b)) है, जो साहचर्य समझने में बहुत मदद करता है।
A. क्योंकि (1-(a*b)=(1-a)(1-b)\neq0)/Because (1-(a*b)=(1-a)(1-b)\neq0)
Step 1
Concept
Since \(a,b\in A\), \(a\neq1\) and \(b\neq1\).
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), which is not zero.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(a*b\neq1\), so the result again lies in (A). चरण 1: \(a,b\in A\) होने से \(a\neq1\) और \(b\neq1\)। चरण 2: (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), जो शून्य नहीं है। चरण 3: इसलिए \(a*b\neq1\), अतः परिणाम फिर (A) में है।
A. यह साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है/It is both associative and commutative
Step 1
Concept
The formula (a+b-ab) is unchanged when (a,b) are interchanged, so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), associativity follows like multiplication.
Step 3
Exam Tip
In hard operations, look for such simpler forms. चरण 1: सूत्र (a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए गुणन की तरह साहचर्य भी मिलता है। चरण 3: कठिन संक्रिया में ऐसा सरल रूप खोजें।
The two values are different, so the operation is not associative. चरण 1: ((8*4)*2=\(\frac{8}{4}\)*2=1)। चरण 2: (8*(4*2)=8*(2)=4)। चरण 3: दोनों मान अलग हैं, इसलिए साहचर्य नहीं है।
For identity (e), \(\sqrt{a^2+e^2}=a\) must hold for every real (a), which fails when (a<0).
Step 2
Why this answer is correct
Even (a*0=|a|), not (a) for negative (a).
Step 3
Exam Tip
Therefore there is actually no identity on \(\mathbb{R}\); avoid the tempting option (0). चरण 1: तत्समक (e) के लिए \(\sqrt{a^2+e^2}=a\) सभी वास्तविक (a) के लिए नहीं चल सकता यदि (a<0) हो। चरण 2: लेकिन (a*0=|a|), इसलिए ऋणात्मक (a) पर (a) नहीं मिलता। चरण 3: इसलिए वास्तव में \(\mathbb{R}\) पर कोई तत्समक नहीं है; दिए विकल्पों में भ्रम से बचें।
Dividing (a+0) by (4) gives the same remainder (a).
Step 3
Exam Tip
Hence (0) is the identity; in remainder operations, understand the basic addition first. चरण 1: यहाँ संक्रिया (4) के शेष पर आधारित जोड़ है। चरण 2: (a+0) को (4) से भाग देने पर वही शेष (a) मिलता है। चरण 3: इसलिए (0) तत्समक है; शेषफल वाली संक्रिया में पहले मूल जोड़ समझें।
For inverse (x) of (3), the remainder of (3+x) on division by (7) must be (0).
Step 3
Exam Tip
Since (3+4=7), the inverse is (4). चरण 1: इस संक्रिया में तत्समक (0) है। चरण 2: (3) के प्रतिलोम (x) के लिए (3+x) का (7) से शेष (0) होना चाहिए। चरण 3: (3+4=7), इसलिए प्रतिलोम (4) है।
In multiplication with remainders, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
For inverse (x) of (2), the remainder of (2x) on division by (5) must be (1).
Step 3
Exam Tip
\(2\cdot3=6\), whose remainder is (1), so the answer is (3). चरण 1: गुणन के शेष में तत्समक (1) है। चरण 2: (2) के प्रतिलोम (x) के लिए (2x) का (5) से शेष (1) होना चाहिए। चरण 3: \(2\cdot3=6\) और (6) का शेष (1) है, इसलिए उत्तर (3) है।
Do not change the bracket order; evaluate the inner operation first. चरण 1: पहले (2*3=2+3-6=-1)। चरण 2: अब ((-1)*4=-1+4-(-1)(4)=7)। चरण 3: कोष्ठक का क्रम न बदलें, पहले अंदर की संक्रिया करें।
A. तत्समक अवयव अस्तित्व में नहीं है/Identity element does not exist
Step 1
Concept
From (a*e=a), \(\frac{a+e}{2}=a\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (e=a), which is not a fixed element.
Step 3
Exam Tip
Identity must be the same for every (a), so it does not exist here. चरण 1: (a*e=a) से \(\frac{a+e}{2}=a\) मिलता है। चरण 2: इससे (e=a) आता है, जो स्थिर अवयव नहीं है। चरण 3: तत्समक सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए, इसलिए यहाँ नहीं है।
Hence (x=3); apply the definition directly in such calculations. चरण 1: दिए सूत्र में (a=x) और (b=3) रखें। चरण 2: (x*3=x+3+1=7), इसलिए (x+4=7)। चरण 3: अतः (x=3); ऐसी गणना में परिभाषा को सीधे लगाएँ।
This gives (x=5); first apply the operation, then solve the simple equation. चरण 1: (x*2) में (a=x) और (b=2) रखें। चरण 2: (2x+3(2)=16), इसलिए (2x+6=16)। चरण 3: इससे (x=5) मिलता है; पहले संक्रिया लगाएँ, फिर सरल समीकरण हल करें।
First find the identity. From (a+e-2ae=a), we get (e=0).
Step 2
Why this answer is correct
For inverse (x) of (3), (3+x-6x=0), so (3-5x=0).
Step 3
Exam Tip
Hence \(x=\frac{3}{5}\); while finding inverse, equate the result to the identity. चरण 1: पहले तत्समक निकालें। (a+e-2ae=a) से (e=0) मिलता है। चरण 2: (3) के प्रतिलोम (x) के लिए (3+x-6x=0), इसलिए (3-5x=0)। चरण 3: अतः \(x=\frac{3}{5}\); प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक के बराबर रखें।
For absorbing element (z), both (a*z=z) and (z*a=z) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
From (a*z=a+z-2az=z), we get (a(1-2z)=0).
Step 3
Exam Tip
This holds for every (a) only when \(z=\frac{1}{2}\); hence the absorbing element is \(\frac{1}{2}\). चरण 1: अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) और (z*a=z) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (a*z=a+z-2az=z) से (a(1-2z)=0) मिलता है। चरण 3: सभी (a) के लिए यह तभी सही है जब \(z=\frac{1}{2}\); इसलिए अवशोषक अवयव \(\frac{1}{2}\) है।
