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समान्तर श्रेणी में सार्व अंतर लगातार दो पदों का अंतर होता है। यहाँ दूसरा पद और पहला पद लेने पर \(5-2=3\) मिलता है। इसी प्रकार \(8-5=3\) और \(11-8=3\) भी हैं, इसलिए सार्व अंतर 3 है। 2 पहला पद है, सार्व अंतर नहीं। परीक्षा में दो क्रमागत पदों में बाद वाले पद में से पहले वाले पद को घटाएँ। / In an arithmetic progression, the common difference is found by subtracting a term from the next term. Here, \(5-2=3\). Also, \(8-5=3\) and \(11-8=3\), so the common difference is 3. The number 2 is the first term, not the common difference. Exam tip: subtract an earlier term from the following consecutive term.
हर बार (5) जोड़ा जा रहा है, इसलिए अगला पद (22+5=27) है। परीक्षा में पहले सार्व अंतर पहचानें। / (5) is added each time, so the next term is (22+5=27). In exams, first identify the common difference.
समांतर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पाने के लिए पिछले पद में सार्व अंतर जोड़ा जाता है। अतः दूसरा पद = पहला पद + सार्व अंतर = \(4+6=10\)। इसलिए सही उत्तर 10 है। 12 अगला पद नहीं है; वह \(4+2\times6\) के बराबर तीसरा पद होगा। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी में \(a_2=a_1+d\) का प्रयोग करें। / In an arithmetic progression, the common difference is added to a term to obtain the next term. Thus, second term = first term + common difference = \(4+6=10\). Therefore, 10 is correct. 12 is not the second term; it is the third term, \(4+2\times6\). Exam tip: use \(a_2=a_1+d\) for the second term of an AP.
हर पद में (4) घट रहा है, इसलिए सार्व अंतर (-4) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में अंतर ऋणात्मक होता है। / Each term decreases by (4), so the common difference is (-4). In exams, a decreasing sequence has a negative difference.
A. हाँ, सार्व अंतर (3) है/Yes, common difference is (3)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अंतर (3) है। परीक्षा में समांतर श्रेणी के लिए समान अंतर जाँचें। / All consecutive terms have difference (3). In exams, check equal differences for an arithmetic progression.
C. क्रमागत पदों के अंतर समान नहीं हैं/The differences between consecutive terms are not equal
Explanation
Simple Explanation
इस अनुक्रम में क्रमागत अंतरों का मान है: \(4-1=3\), \(9-4=5\) और \(16-9=7\)। क्योंकि ये अंतर समान नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। पहला पद शून्य होना या सभी पदों का धनात्मक होना समांतर श्रेणी के लिए आवश्यक शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के लगातार दो पदों का अंतर निकालकर जाँचें; यदि हर अंतर समान हो, तभी वह समांतर श्रेणी है। / The consecutive differences in this sequence are \(4-1=3\), \(9-4=5\), and \(16-9=7\). Since these differences are not equal, the sequence is not an arithmetic progression. An arithmetic progression need not begin with zero, and its terms do not all have to be positive. Exam tip: subtract each term from the next one; the sequence is an AP only when every consecutive difference is the same.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (9) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (9). In exams, take the first term (a) directly from the sequence.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। तीसरे पद के लिए \(n=3\), इसलिए \(a_3=5+(3-1)\times2=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। 7 केवल दूसरा पद है, क्योंकि उसमें अंतर \(d\) केवल एक बार जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: तीसरे पद तक पहुँचने के लिए प्रथम पद में अंतर दो बार जोड़ें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). For the third term, \(n=3\), so \(a_3=5+(3-1)\times2=9\). Therefore, 9 is correct. 7 is only the second term because the common difference has been added once. Exam tip: to find the third term, add the common difference twice to the first term.
सार्व अंतर (-2) है, इसलिए अगला पद (14-2=12) है। परीक्षा में घटते पदों में अंतर घटाकर लगाएँ। / The common difference is (-2), so the next term is (14-2=12). In exams, apply the negative difference for decreasing terms.
सार्व अंतर (4) है, इसलिए पाँचवाँ पद (18+4=22) है। परीक्षा में पदों को क्रम से आगे बढ़ाएँ। / The common difference is (4), so the fifth term is (18+4=22). In exams, extend the terms in order.
(8) और (11) का अंतर (3) है, इसलिए रिक्त पद (2+3=5) है। परीक्षा में पास के ज्ञात पदों से अंतर पहचानें। / The difference between (8) and (11) is (3), so the blank term is (2+3=5). In exams, identify the difference from nearby known terms.
यह (4) के गुणजों की श्रेणी है, इसलिए \(a_n=4n\) है। परीक्षा में गुणजों वाली श्रेणी को (kn) से पहचानें। / This is a sequence of multiples of (4), so \(a_n=4n\). In exams, identify multiple-based progressions as (kn).
चौथा पद ज्ञात करने के लिए सूत्र में n के स्थान पर 4 रखें: \(a_4=3\times4+1=12+1=13\)। इसलिए सही उत्तर 13 है। 12 केवल \(3\times4\) है; इसमें सूत्र का +1 अभी जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: किसी भी \(a_n\) में आवश्यक पद संख्या को n के स्थान पर सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / To find the fourth term, substitute 4 for n in the formula: \(a_4=3\times4+1=12+1=13\). Therefore, the correct answer is 13. Option 12 is only \(3\times4\); the +1 in the formula has not been added. Exam tip: In any \(a_n\) formula, carefully substitute the required term number for n.
इस समांतर श्रेणी में पहला पद \(a=5\) और सार्वांतर \(d=9-5=4\) है। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1\) होगा। \(a_n=4n-1\) में \(n=1\) रखने पर पहला पद 3 मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में \(n=1\) रखकर पहले पद से मिलान अवश्य करें। / Here, the first term is \(a=5\) and the common difference is \(d=9-5=4\). Thus, \(a_n=a+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1\). In \(a_n=4n-1\), putting \(n=1\) gives 3 as the first term, so it is not correct. Exam tip: always substitute \(n=1\) in a general term to verify the first term.
समांतर श्रेणी में दूसरा पद = पहला पद + सार्व अंतर होता है। अतः दूसरा पद = \(10+(-3)=7\)। विकल्प 13 तब मिलता यदि अंतर \(+3\) होता, जबकि यहाँ अंतर ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या जोड़ते समय उसे घटाने के रूप में लिखकर चिह्न सावधानी से देखें। / In an arithmetic progression, the second term equals the first term plus the common difference. Thus, \(10+(-3)=7\). Option 13 would result if the common difference were \(+3\), but here it is negative. Exam tip: When adding a negative number, rewrite it as subtraction and check the sign carefully.
C. क्योंकि लगातार अंतर समान नहीं हैं/Because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
अंतर (2,4,8) हैं, जो समान नहीं हैं। परीक्षा में समांतर श्रेणी के लिए समान अंतर आवश्यक है। / The differences are (2,4,8), which are not equal. In exams, equal difference is necessary for an arithmetic progression.
समांतर श्रेणी में सार्वांतर d = दूसरा पद − पहला पद होता है। यहाँ d = 7 − 3 = 4 है। 11 − 7 भी 4 आता है, इसलिए अंतर समान है। 3 पहला पद है, सार्वांतर नहीं। परीक्षा टिप: d ज्ञात करने के लिए लगातार दो पदों का अंतर लें। / In an arithmetic progression, the common difference d equals the second term minus the first term. Here, d = 7 − 3 = 4. Also, 11 − 7 = 4, confirming that the difference is constant. The number 3 is the first term, not the common difference. Exam tip: subtract any term from the next consecutive term to find d.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः चौथा पद \(a_4=12+(4-1)\times5=12+15=27\) होगा। 24 तब मिलता यदि अंतर को केवल दो बार जोड़ा जाता, इसलिए वह तीसरा पद है। परीक्षा टिप: चौथे पद के लिए \(a+3d\) का प्रयोग करें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_4=12+(4-1)\times5=12+15=27\). The value 24 is the third term because it is obtained by adding the common difference only twice. Exam tip: for the fourth term, use \(a+3d\).
अंतर (-5) है, इसलिए पद (30,25,20,15,10,5) हैं। परीक्षा में पद संख्या गिनते समय पहला पद भी गिनें। / The difference is (-5), so the terms are (30,25,20,15,10,5). In exams, include the first term while counting.
पद (1,6,11,16,21) हैं, इसलिए (21) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में क्रम से पद लिखकर जल्दी जाँचें। / The terms are (1,6,11,16,21), so (21) is the fifth term. In exams, list terms in order for a quick check.
(n=1,2,3) रखने पर (7,9,11) मिलते हैं। परीक्षा में पहले तीन पदों के लिए छोटे (n) मान रखें। / Putting (n=1,2,3) gives (7,9,11). In exams, use small (n) values for the first three terms.
पहला पद (8) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n+3\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (8) and the difference is (5), so \(a_n=5n+3\). In exams, find the constant part from the first term.
सार्व अंतर (6) है, इसलिए अगला पद (16+6=22) है। परीक्षा में रिक्त पद के लिए समान अंतर जारी रखें। / The common difference is (6), so the next term is (16+6=22). In exams, continue the same difference for the blank term.
लगातार पदों का अंतर (8-11=-3) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में अंतर ऋणात्मक लिखें। / The difference of consecutive terms is (8-11=-3). In exams, write the difference as negative for a decreasing sequence.
(a=13) और (d=5), इसलिए \(a_8=13+7\times5=48\) है। परीक्षा में (n)वें पद के लिए (a+(n-1)d) लगाएँ। / (a=13) and (d=5), so \(a_8=13+7\times5=48\). In exams, use (a+(n-1)d) for the (n)th term.
A. हाँ, सार्व अंतर (10) है/Yes, common difference is (10)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अंतर (10) है। परीक्षा में समान अंतर दिखे तो समांतर श्रेणी मानें। / Each consecutive term differs by (10). In exams, if equal difference appears, treat it as an arithmetic progression.
समांतर श्रेणी में पहला पद 3 है और प्रत्येक अगला पद पाने के लिए 7 जोड़ा जाता है: 3, 3+7=10, 10+7=17, 17+7=24। इसलिए सही क्रम (3, 10, 17, 24) है। विकल्प C में पहला पद ही 7 कर दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले पद के बाद हर बार समान अंतर जोड़कर पद लिखें। / In an arithmetic progression, the first term is 3 and 7 is added to obtain each next term: 3, 3+7=10, 10+7=17, 17+7=24. Therefore, the correct sequence is (3, 10, 17, 24). In option C, the first term has incorrectly been changed to 7. Exam tip: write the first term first, then add the common difference successively.
(n=1) पर (25) और (n=2) पर (20) मिलता है, इसलिए \(a_n=30-5n\) है। परीक्षा में घटते नियम को पहले पद से जाँचें। / At (n=1) it gives (25), and at (n=2) it gives (20), so \(a_n=30-5n\). In exams, check a decreasing rule with the first term.
दिया है \(a_n=30-5n\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=30-5(4)=30-20=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 10 है। 15 प्राप्त करना गलत होगा, क्योंकि \(5\times4=20\) होता है, 15 नहीं। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए \(n\) का मान सूत्र में सावधानी से रखें। / Given \(a_n=30-5n\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=30-5(4)=30-20=10\). Therefore, 10 is the correct option. Getting 15 would be incorrect because \(5\times4=20\), not 15. Exam tip: To find a particular term, substitute the given value of \(n\) carefully in the formula.
समांतर श्रेणी में पहला पद \(a\) कहलाता है, इसलिए \(a=2\)। सार्वांतर \(d\) लगातार दो पदों का अंतर होता है: \(d=9-2=7\)। अतः सही विकल्प \(a=2,\ d=7\) है। विकल्प \(a=7,\ d=2\) में पहले पद और सार्वांतर को आपस में बदल दिया गया है। परीक्षा टिप: \(d\) जाँचने के लिए किसी भी दो क्रमागत पदों का बाद वाला पद − पहले वाला पद करें। / In an arithmetic progression, the first term is denoted by \(a\), so \(a=2\). The common difference \(d\) is the difference between consecutive terms: \(d=9-2=7\). Therefore, \(a=2,\ d=7\) is correct. In \(a=7,\ d=2\), the first term and common difference have been interchanged. Exam tip: find \(d\) by subtracting an earlier term from the next consecutive term.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_5=6+(5-1)\times4=6+16=22\)। इसलिए सही उत्तर 22 है। 20 चौथा पद होगा, क्योंकि \(a_4=6+3\times4=18\) नहीं; क्रम के पद 6, 10, 14, 18, 22 हैं। परीक्षा टिप: पाँचवें पद के लिए अंतर को चार बार जोड़ें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_5=6+(5-1)\times4=6+16=22\). Therefore, 22 is correct. The terms are 6, 10, 14, 18, 22, so 18 is the fourth term, not the fifth. Exam tip: To find the fifth term, add the common difference four times to the first term.
पद (4,7,10,13,16,19) हैं, इसलिए (19) छठा पद है। परीक्षा में पदों को गिनते समय पहला पद शामिल करें। / The terms are (4,7,10,13,16,19), so (19) is the sixth term. In exams, include the first term while counting.
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर क्रमागत पदों का अंतर होता है। अतः \(d=a_2-a_1=14-8=6\)। इसलिए सही विकल्प 6 है। 5 लेने पर दूसरे पद से पहला पद घटाने का सही परिणाम नहीं मिलता। परीक्षा टिप: जब पहले दो पद दिए हों, तो \(d=a_2-a_1\) का प्रयोग करें। / In an arithmetic progression, the common difference is the difference between consecutive terms. Thus, \(d=a_2-a_1=14-8=6\). Therefore, 6 is the correct option. Choosing 5 does not give the correct subtraction of the first term from the second term. Exam tip: When the first two terms are given, use \(d=a_2-a_1\).
सार्व अंतर (4) है, इसलिए अगला पद (29+4=33) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अंतर जोड़ें। / The common difference is (4), so the next term is (29+4=33). In exams, add the difference to the last known term.
(5,10,15,20) में लगातार अंतर (5) है। परीक्षा में विकल्पों में समान अंतर खोजें। / In (5,10,15,20), the consecutive difference is (5). In exams, look for equal differences in the options.
सार्व अंतर (-10) है, इसलिए पाँचवाँ पद (60) है। परीक्षा में घटते पदों में सही दिशा में गिनें। / The common difference is (-10), so the fifth term is (60). In exams, count in the correct direction for decreasing terms.
दूसरे पद और पहले पद का अंतर ((x+4)-x=4) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी घटाव करें। / The difference between the second and first terms is ((x+4)-x=4). In exams, subtract even with algebraic terms.
लगातार पद समान हैं, इसलिए अंतर (3-3=0) है। परीक्षा में स्थिर श्रेणी भी समांतर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal, so the difference is (3-3=0). In exams, a constant sequence can also be an arithmetic progression.
सार्व अंतर (0) होने पर सभी पद (9) रहेंगे। परीक्षा में (d=0) का मतलब स्थिर श्रेणी है। / When the common difference is (0), all terms remain (9). In exams, (d=0) means a constant sequence.
(10) और (14) का अंतर (4) है, इसलिए रिक्त पद (10-4=6) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सार्व अंतर लगाएँ। / The difference between (10) and (14) is (4), so the missing term is (10-4=6). In exams, apply the common difference backward too.
रैखिक नियम \(a_n=5n-2\) में (n) का गुणांक (5) ही अंतर है। परीक्षा में (kn+c) में (k) को (d) मानें। / In the linear rule \(a_n=5n-2\), the coefficient of (n) is the difference (5). In exams, take (k) as (d) in (kn+c).
यहाँ प्रथम पद \(a=12\) तथा सार्वांतर \(d=15-12=3\) है। समांतर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_6=12+(6-1)\times3=27\)। विकल्प 30 तब मिलता है जब \(n-1\) के स्थान पर गलती से \(n\) लिया जाए। परीक्षा टिप: पदों को गिनते समय पहला पद \(a_1\) होता है, इसलिए सूत्र में \(n-1\) आता है। / Here, the first term is \(a=12\) and the common difference is \(d=15-12=3\). The \(n\)th term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_6=12+(6-1)\times3=27\). Option 30 results from incorrectly using \(n\) instead of \(n-1\). Exam tip: Since the first term is \(a_1\), the formula contains \(n-1\).
विकल्प A में प्रत्येक क्रमागत पद का अंतर \(5-2=3\), \(8-5=3\) और \(11-8=3\) है, इसलिए यह AP है। विकल्प D में अंतर बदलते हैं। परीक्षा टिप: समान अंतर जाँचें। / In option A, consecutive differences are \(5-2=3\), \(8-5=3\), and \(11-8=3\), so it is an AP. In option D, the differences change. Exam tip: always check consecutive differences.
अनुक्रम (10, 8, 6, 4) में प्रत्येक पद से अगला पद पाने के लिए 2 घटाया जाता है: 8 - 10 = -2, 6 - 8 = -2 और 4 - 6 = -2। इसलिए इसका सार्व अंतर -2 है। विकल्प A और C में अंतर धनात्मक है, जबकि विकल्प D का सार्व अंतर 0 है। परीक्षा टिप: सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए हमेशा अगला पद − पिछला पद करें। / In the sequence (10, 8, 6, 4), 2 is subtracted to get each next term: 8 - 10 = -2, 6 - 8 = -2, and 4 - 6 = -2. Hence, its common difference is -2. Options A and C have positive common differences, while option D has common difference 0. Exam tip: Find the common difference by calculating next term − previous term.
यह (7) के गुणजों की श्रेणी है, इसलिए दसवाँ पद (70) है। परीक्षा में गुणजों को जल्दी पहचानें। / This is a sequence of multiples of (7), so the tenth term is (70). In exams, identify multiples quickly.
दिया है कि \(a_n=11-2n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=11-2(3)=11-6=5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(7\) तब मिलता यदि \(2n\) के स्थान पर केवल \(n\) घटाया जाता, जो दिए गए नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=11-2n\). Substituting \(n=3\), we get \(a_3=11-2(3)=11-6=5\). Therefore, option B is correct. The value \(7\) would result from subtracting only \(n\) instead of \(2n\), which does not follow the given rule. Exam tip: Substitute the value of \(n\) first, then perform multiplication and subtraction.
(n=1) पर (9) और (n=2) पर (7) मिलता है, इसलिए \(a_n=11-2n\) है। परीक्षा में पहला पद जाँचकर नियम चुनें। / At (n=1) it gives (9), and at (n=2) it gives (7), so \(a_n=11-2n\). In exams, choose the rule after checking the first term.
बीच का पद (5) और (15) का औसत है, इसलिए \(x=\frac{5+15}{2}=10\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली श्रेणी में मध्य पद का औसत लें। / The middle term is the average of (5) and (15), so \(x=\frac{5+15}{2}=10\). In exams, take the average for the middle term in three-term progressions.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=18\) और सार्वांतर \(d=24-18=6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_7=18+(7-1)\times6=18+36=54\)। इसलिए सही उत्तर 54 है। 48 छठा पद होगा, क्योंकि उसमें अंतर केवल पाँच बार जोड़ा जाता है। परीक्षा टिप: पद संख्या \(n\) के लिए हमेशा \((n-1)\) का प्रयोग करें, \(n\) का नहीं। / In this arithmetic progression, the first term is \(a=18\) and the common difference is \(d=24-18=6\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_7=18+(7-1)\times6=18+36=54\). Hence, 54 is correct. The value 48 is the sixth term because the common difference is added only five times. Exam tip: for the \(n\)th term, use \((n-1)\), not \(n\).
पहला पद (6) है और हर बार (4) जुड़ रहा है। परीक्षा में पहला पद और अंतर दोनों मिलाएँ। / The first term is (6), and (4) is added each time. In exams, match both the first term and the difference.
