Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। \(a_2=3(4)+1=13\), \(a_3=3(13)+2=41\), और \(a_4=3(41)+3=126\)। इसलिए सही उत्तर 126 है। 122 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में \(+3\) जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: हर चरण में \(n\) का वही मान लें जो पिछले पद के उपसूचक में है। / In a recursive rule, each new term is calculated from the preceding term. \(a_2=3(4)+1=13\), \(a_3=3(13)+2=41\), and \(a_4=3(41)+3=126\). Therefore, the correct answer is 126. A value such as 122 can result from forgetting to add \(+3\) in the final step. Exam tip: at each step, use the value of \(n\) from the subscript of the preceding term.
पहले \(a_2=7\), फिर \(a_3=15\) और अंत में \(a_4=31\) मिलता है। परीक्षा में पुनरावर्ती नियम को क्रम से लागू करें। / First \(a_2=7\), then \(a_3=15\), and finally \(a_4=31\). In exams, apply the recursive rule step by step.
पहले पुनरावर्ती नियम में \(n=3\) रखने पर \(a_3=3\times3-1+3=11\) मिलता है। फिर \(n=4\) रखने पर \(a_4=3\times11-3+4=34\) होगा। इसलिए सही उत्तर 34 है। 33 विकल्प तब मिलता है जब अंतिम \(+4\) को छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में \(n\) का वर्तमान मान अलग से लिखकर प्रतिस्थापित करें। / First, substitute \(n=3\) in the recurrence: \(a_3=3\times3-1+3=11\). Then, for \(n=4\), \(a_4=3\times11-3+4=34\). Therefore, the correct answer is 34. The distractor 33 results from omitting the final \(+4\). Exam tip: write the current value of \(n\) separately at each step before substituting.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3,4 रखने पर जोड़े जाने वाले मान 3, 8, 17 और 32 मिलते हैं। अतः a_2=9, a_3=17, a_4=34 और a_5=34+32=66। इसलिए सही उत्तर 66 है। 69 अंतिम चरण में गलत जोड़ करने से मिल सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में पहले 2^n और n-2 अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / Using n=1, 2, 3 and 4 in the recursive rule, the added values are 3, 8, 17 and 32 respectively. Thus, a_2=9, a_3=17, a_4=34, and a_5=34+32=66. Therefore, the correct answer is 66. The value 69 can result from an incorrect addition in the final step. Exam tip: calculate 2^n and n-2 separately at each step before adding them.
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a_2=4a_1-(1+1)=4×3-2=10 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a_3=4a_2-(2+1)=4×10-3=37। इसलिए सही विकल्प 37 है। 39 तब मिलता यदि दूसरे चरण में 3 घटाने के बजाय 1 घटा दिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का वर्तमान मान अलग से लिखकर ही प्रतिस्थापित करें। / Using n=1 in the recursive rule, a_2=4a_1-(1+1)=4×3-2=10. Then, using n=2, a_3=4a_2-(2+1)=4×10-3=37. Hence, 37 is the correct option. The value 39 would result from incorrectly subtracting 1 instead of 3 in the second step. Exam tip: write the current value of n before substituting it at each step.
पहले n=3 रखने पर a_3=6+2(2)+32=19 मिलता है। फिर n=4 रखने पर a_4=19+2(6)+42=19+12+16=47 होगा। इसलिए सही विकल्प 47 है। केवल पिछले पद को लेने पर उत्तर गलत होगा, क्योंकि नियम में a_{n-2} का दोगुना और n-2 दोनों भी जोड़ने होते हैं। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में n का सही मान रखकर सभी पद अलग-अलग लिखें। / First, put n=3: a_3=6+2(2)+32=19. Then, for n=4, a_4=19+2(6)+42=19+12+16=47. Therefore, 47 is correct. Using only the previous term gives an incorrect result because the rule also includes twice a_{n-2} and n-2. Exam tip: substitute the correct value of n at each step and write every term separately.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3 रखें। a_2=8+1(1+2)+21=13, a_3=13+2(2+2)+22=25 और a_4=25+3(3+2)+23=48। इसलिए सही उत्तर 48 है। 45 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में 23=8 को गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को a_1 से शुरू करके तीन बार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3. We get a_2=8+1(1+2)+21=13, a_3=13+2(2+2)+22=25, and a_4=25+3(3+2)+23=48. Hence, 48 is correct. A value such as 45 may result from incorrectly evaluating 23 in the final step. Exam tip: to find a_4 from a_1, apply the rule exactly three times.
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखकर \(a_2\) निकालते हैं: \(a_2=\frac{30}{3}+2(1)^2=10+2=12\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=\frac{12}{3}+2(2)^2=4+8=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। 14 प्राप्त हो सकता है यदि \(2n^2\) पद की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक अगला पद निकालते समय नियम में \(n\) का सही क्रमांक रखें। / Use the recursive rule first with \(n=1\) to find \(a_2\): \(a_2=\frac{30}{3}+2(1)^2=10+2=12\). Then use \(n=2\): \(a_3=\frac{12}{3}+2(2)^2=4+8=12\). Therefore, the correct answer is 12. A value such as 14 can result from evaluating the \(2n^2\) term incorrectly. Exam tip: substitute the correct value of \(n\) at every step of a recursive sequence.
पहले n=1 रखने पर a_2=5+3(5)+12=21 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a_3=21+3(5)+22=40। इसलिए सही उत्तर 40 है। 3a_1 का मान हर चरण में 15 ही रहता है; केवल n-2 का मान बदलता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में वांछित पद तक एक-एक करके पिछले पद का उपयोग करें। / First, put n=1: a_2=5+3(5)+12=21. Then put n=2: a_3=21+3(5)+22=40. Therefore, the correct answer is 40. The term 3a_1 remains 15 at every step; only n-2 changes. Exam tip: In a recursive rule, calculate each preceding term step by step until the required term is reached.
पुनरावर्ती नियम में पहले a_1=3 रखें: a_2=32-2(3)+4=9-6+4=7। अब a_2=7 रखने पर a_3=72-2(7)+4=49-14+4=39। इसलिए सही उत्तर 39 है। 42 जैसे विकल्प में गणना की त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: a_3 ज्ञात करने के लिए नियम को क्रमशः पहले a_1 और फिर a_2 पर लागू करें। / Apply the recursive rule first to a_1=3: a_2=32-2(3)+4=9-6+4=7. Then use a_2=7: a_3=72-2(7)+4=49-14+4=39. Therefore, the correct answer is 39. A value such as 42 results from an arithmetic error. Exam tip: to find a_3, apply the rule successively to a_1 and then to a_2.
पुनरावर्ती नियम में हर नया पद पिछले दो पदों के योग में 7 जोड़कर मिलता है। इसलिए \(a_3=3+9+7=19\), \(a_4=9+19+7=35\), और \(a_5=19+35+7=61\)। अतः सही उत्तर 61 है। 54 केवल \(19+35\) है; इसमें नियम का \(+7\) छूट गया है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय पिछले दो पद और स्थिर संख्या 7, तीनों को अवश्य जोड़ें। / The recursive rule adds the previous two terms and 7. Thus, \(a_3=3+9+7=19\), \(a_4=9+19+7=35\), and \(a_5=19+35+7=61\). Therefore, the correct answer is 61. The option 54 is only \(19+35\), so it misses the required \(+7\). Exam tip: at every step, include both previous terms and the constant 7.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। पहले, \(a_2=7\times2-4=10\)। फिर \(a_3=7\times10-4=66\)। इसलिए सही उत्तर 66 है। 62 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब अंतिम चरण में गलत गुणा या घटाव किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने से पहले \(a_2\) अवश्य लिखें। / In a recursive rule, each new term is found from the preceding term. First, \(a_2=7\times2-4=10\). Then, \(a_3=7\times10-4=66\). Therefore, the correct answer is 66. A value such as 62 can result from an incorrect multiplication or subtraction in the final step. Exam tip: always write \(a_2\) before finding \(a_3\).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान पद में \(9n-4\) जोड़ा जाता है। \(n=1\) पर \(a_2=6+5=11\), \(n=2\) पर \(a_3=11+14=25\), और \(n=3\) पर \(a_4=25+23=48\)। इसलिए सही उत्तर 48 है। 45 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब बढ़ते हुए \(n\) के मानों का सही उपयोग न किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखें। / The recursive rule adds \(9n-4\) to the current term at each step. For \(n=1\), \(a_2=6+5=11\); for \(n=2\), \(a_3=11+14=25\); and for \(n=3\), \(a_4=25+23=48\). Hence, 48 is correct. A choice such as 45 may result from not using the successive values of \(n\) correctly. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively with \(n=1,2,3\).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखने पर घटाए जाने वाले मान \(13,20,27\) मिलते हैं। अतः \(a_2=210-13=197\), \(a_3=197-20=177\) और \(a_4=177-27=150\) होगा। इसलिए विकल्प A सही है। \(153\) जैसा निकट विकल्प किसी चरण में \(7n+6\) का गलत मान लेने से आ सकता है। परीक्षा टिप: \(a_4\) तक पहुँचने के लिए नियम को तीन बार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for \(n=1,2,3\). The amounts subtracted are \(13,20,27\), so \(a_2=210-13=197\), \(a_3=197-20=177\), and \(a_4=177-27=150\). Hence, option A is correct. A nearby value such as \(153\) can result from calculating \(7n+6\) incorrectly in one step. Exam tip: to find \(a_4\) from \(a_1\), apply the rule three times.
पुनरावर्ती नियम से पहले तीसरा पद निकालें: \(a_3=5(3)-4(2)+3=10\)। अब \(a_4=5(10)-4(3)+3=50-12+3=41\)। इसलिए सही उत्तर 41 है। 44 निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(-4a_{n-2}\) पद को सही ढंग से घटाने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए दोनों पिछले पदों के स्थान पर उनके सही मान लिखकर गणना करें। / First find the third term using the recursive rule: \(a_3=5(3)-4(2)+3=10\). Then, \(a_4=5(10)-4(3)+3=50-12+3=41\). Therefore, 41 is correct. The nearby distractor 44 can result from not subtracting the \(4a_{n-2}\) term correctly. Exam tip: substitute both previous terms carefully before simplifying.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान सूचकांक n का प्रयोग होता है। अतः \(a_2=1\times4+5=9\), \(a_3=2\times9+5=23\) और \(a_4=3\times23+5=74\)। इसलिए सही उत्तर 74 है। 71 जैसे उत्तर में अंतिम चरण में गुणा या जोड़ की गणना गलत होती है। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम को क्रमशः \(n=1,2,3\) पर लागू करें। / In the recursive rule, use the current index n at each step. Thus, \(a_2=1\times4+5=9\), \(a_3=2\times9+5=23\), and \(a_4=3\times23+5=74\). Therefore, 74 is correct. An answer such as 71 results from an error in the multiplication or addition in the final step. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively for \(n=1,2,3\).
इस अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना करके उसमें 2 जोड़ने से मिलता है: \(3\times4+2=14\), \(3\times14+2=44\), तथा \(3\times44+2=134\)। साथ ही पहला पद \(a_1=4\) है। इसलिए सही पुनरावर्ती नियम \(a_1=4,\ a_{n+1}=3a_n+2\) है। विकल्प D में पहला अगला पद \(3\times4-2=10\) आएगा, जो 14 नहीं है। परीक्षा टिप: नियम को कम-से-कम दो क्रमागत पदों पर जाँचें। / Each term is obtained by multiplying the preceding term by 3 and then adding 2: \(3\times4+2=14\), \(3\times14+2=44\), and \(3\times44+2=134\). Also, the first term is \(a_1=4\). Therefore, the correct recursive rule is \(a_1=4,\ a_{n+1}=3a_n+2\). Under option D, the next term would be \(3\times4-2=10\), not 14. Exam tip: test a recursive rule using at least two consecutive terms.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखने पर \(a_2=2(4)-3=5\), \(a_3=2(5)+5=15\), और \(a_4=2(15)-7=23\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर \(23\) है। \(25\) जैसा निकट विकल्प तब आ सकता है जब \((-1)^3=-1\) के कारण घटने वाले \(7\) के चिह्न पर ध्यान न दिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में पहले \((-1)^n\) का चिह्न निर्धारित करें, फिर मान प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(n=1,2,3\) in the recursive rule gives \(a_2=2(4)-3=5\), \(a_3=2(5)+5=15\), and \(a_4=2(15)-7=23\). Therefore, the correct answer is \(23\). A nearby choice such as \(25\) can result from missing that \((-1)^3=-1\), so \(7\) must be subtracted. Exam tip: determine the sign of \((-1)^n\) before substituting each value of \(n\).
पुनरावर्ती नियम में हर चरण पर स्थिर मान \(a_1=6\) जोड़ा जाता है। \(n=1\) पर \(a_2=6+6+1(2)=14\), \(n=2\) पर \(a_3=14+6+2(3)=26\), और \(n=3\) पर \(a_4=26+6+3(4)=44\)। अतः सही उत्तर 44 है। 47 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(n(n+1)\) की गणना या पदों का क्रम गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखें। / The recurrence adds the fixed first term \(a_1=6\) at every step. For \(n=1\), \(a_2=6+6+1(2)=14\); for \(n=2\), \(a_3=14+6+2(3)=26\); and for \(n=3\), \(a_4=26+6+3(4)=44\). Therefore, the correct answer is 44. A value such as 47 can result from incorrectly evaluating \(n(n+1)\) or using the wrong step number. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively with \(n=1,2,3\).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखने पर वृद्धि \(3^2=9\), \(5^2=25\) और \(7^2=49\) मिलती है। अतः \(a_2=3+9=12\), \(a_3=12+25=37\) तथा \(a_4=37+49=86\)। इसलिए सही उत्तर 86 है। 83 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि गलत ली जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) ज्ञात करने के लिए \(a_1\) से तीन बार नियम लागू करें। / Substitute \(n=1,2,3\) in the recursive rule. The successive increments are \(3^2=9\), \(5^2=25\), and \(7^2=49\). Thus, \(a_2=3+9=12\), \(a_3=12+25=37\), and \(a_4=37+49=86\). Hence, 86 is correct. The value 83 would result from using an incorrect final increment. Exam tip: to find \(a_4\) from \(a_1\), apply the rule three times.
पुनरावर्ती नियम में पहले a₃ ज्ञात करें: a₃ = a₂ + 3a₁ + 3 = 6 + 3×4 + 3 = 21। फिर a₄ = a₃ + 3a₂ + 4 = 21 + 3×6 + 4 = 43। इसलिए सही उत्तर 43 है। 46 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब पिछले पदों या n के मान को गलत रखा जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का वर्तमान मान ही जोड़ें। / Apply the recursive rule first for a₃: a₃ = a₂ + 3a₁ + 3 = 6 + 3×4 + 3 = 21. Then, a₄ = a₃ + 3a₂ + 4 = 21 + 3×6 + 4 = 43. Therefore, 43 is correct. A value such as 46 can result from using an incorrect previous term or index value. Exam tip: add the current value of n at every step.
