Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
D. न तो समांतर और न ही गुणोत्तर श्रेणी/Neither arithmetic nor geometric progression
Explanation
Simple Explanation
इसके पद \(3,5,9,17,\ldots\) हैं। क्रमागत अंतर \(2,4,8\) समान नहीं हैं और अनुपात \(5/3,9/5\) भी समान नहीं हैं। अतः यह न AP है, न GP। परीक्षा टिप: AP में अंतर और GP में अनुपात जाँचें। / Its terms are \(3,5,9,17,\ldots\). The consecutive differences \(2,4,8\) are not equal, and the ratios \(5/3,9/5\) are also not equal. Hence it is neither an AP nor a GP. Exam tip: check differences for AP and ratios for GP.
दिया है कि \(a_n=2n!+1\)। अतः \(a_5=2\times 5!+1\)। क्योंकि \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\), इसलिए \(a_5=2\times120+1=241\)। विकल्प 121 केवल \(5!+1\) लेने पर मिलता है, जिसमें 2 से गुणा करना छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल का मान पहले निकालें, फिर शेष संक्रियाएँ करें। / Given \(a_n=2n!+1\), we get \(a_5=2\times5!+1\). Since \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\), \(a_5=2\times120+1=241\). The value 121 would result from using \(5!+1\) and incorrectly omitting the multiplication by 2. Exam tip: evaluate the factorial before carrying out the remaining operations.
\(a_8=384\) और \(a_9=768\) है इसलिए पहला बड़ा पद (9)वाँ है। सीमा के दोनों ओर के पद जाँचें। / \(a_8=384\) and \(a_9=768\), so the first greater term is the (9)th. Exam tip: check terms on both sides of the boundary.
समान अंतर वाले अनुक्रम में लगातार पदों के बीच का अंतर बराबर होता है। अतः
\((2x+3)-(x-1)=(4x+1)-(2x+3)\)।
बाएँ पक्ष से \(x+4\) और दाएँ पक्ष से \(2x-2\) मिलता है। इसलिए \(x+4=2x-2\), जिससे \(x=6\)। विकल्प 5 लेने पर दोनों अंतर बराबर नहीं होंगे। परीक्षा टिप: तीन लगातार पदों के लिए हमेशा दूसरा पद − पहला पद = तीसरा पद − दूसरा पद लिखें। / In a sequence with equal differences, the differences between consecutive terms are equal. Therefore,
\((2x+3)-(x-1)=(4x+1)-(2x+3)\).
The left side simplifies to \(x+4\), while the right side simplifies to \(2x-2\). Hence, \(x+4=2x-2\), giving \(x=6\). If 5 is used, the two differences are not equal. Exam tip: For three consecutive terms, set second term − first term equal to third term − second term.
\(a_n=5n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), जो स्थिर है। इसलिए यह समांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में दो क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant. Hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the difference changes. Exam tip: check consecutive differences.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का दोगुना है। पहले पाँच पद \(8,16,32,64,128\) हैं। इनका योग \(8+16+32+64+128=248\) है, इसलिए औसत \(\frac{248}{5}=49.6\) होगा। अतः सही उत्तर 49.6 है। 48 जैसा विकल्प गलत है क्योंकि औसत निकालने के लिए योग 248 को 5 से विभाजित करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले माँगे गए पदों की संख्या तक अनुक्रम लिखें, फिर योग को पदों की संख्या से भाग दें। / This is a geometric sequence in which each term is twice the preceding term. Its first five terms are \(8,16,32,64,128\). Their sum is \(8+16+32+64+128=248\), so the average is \(\frac{248}{5}=49.6\). Therefore, 49.6 is correct. The option 48 is incorrect because the total 248 must be divided by 5 to find the mean. Exam tip: Write all the required terms first, then divide their sum by the number of terms.
AP में हर दो क्रमागत पदों का अंतर स्थिर होता है, अर्थात \(a_{n+1}-a_n=d\)। समान अनुपात वाली श्रेणी GP होती है। परीक्षा में दो लगातार अंतर लिखकर उनकी समानता जाँचें। / In an AP, the difference between consecutive terms is constant: \(a_{n+1}-a_n=d\). A constant ratio identifies a GP, not an AP. Exam tip: write two successive differences and compare them.
\(5\times2^{10}=5120\) है इसलिए यह (11)वाँ पद है। पहले पद से गिनते समय घात (n-1) होती है। / \(5\times2^{10}=5120\), so it is the (11)th term. Exam tip: from the first term, the exponent is (n-1).
दिया गया नियम है: अगला पद = (पिछला पद × 3) + 3। अंतिम दिया गया पद 282 है, इसलिए अगला पद \((282\times3)+3=846+3=849\) होगा। 846 केवल 282 का तीन गुना है; उसमें आवश्यक 3 जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में अंतिम पद पर दिया गया पुनरावर्ती नियम क्रम से लागू करें। / The rule is: next term = (previous term × 3) + 3. The last given term is 282, so the next term is \((282\times3)+3=846+3=849\). Option 846 is only three times 282 and misses the required addition of 3. Exam tip: apply the stated recurrence rule step by step to the last term.
दिया है \(a_n=2n^3-n\)। अतः \(a_6=2(6)^3-6=432-6=426\) और \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\)। इसलिए \(a_6-a_4=426-124=302\)। विकल्प 304 प्राप्त करने में घटाव या घन की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में पहले प्रत्येक पद का मान अलग-अलग निकालकर फिर अंतर ज्ञात करें। / Given \(a_n=2n^3-n\), \(a_6=2(6)^3-6=432-6=426\) and \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\). Therefore, \(a_6-a_4=426-124=302\). The value 304 may result from an error in subtraction or in evaluating a cube. In an exam, calculate each term separately before finding their difference.
