Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पुनरावर्ती संबंध को क्रमशः लागू करें: \(a_2=3(2)-1=5\), \(a_3=3(5)-1=14\), \(a_4=3(14)-1=41\)। इसलिए \(a_5=3(41)-1=122\) होगा। विकल्प 116 तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में गुणा या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद पिछले पद से ही निकालें और बीच के पद लिखते चलें। / Apply the recurrence step by step: \(a_2=3(2)-1=5\), \(a_3=3(5)-1=14\), and \(a_4=3(14)-1=41\). Therefore, \(a_5=3(41)-1=122\). The value 116 can result from an error in multiplication or subtraction in the final step. Exam tip: write each intermediate term before finding the required term.
सामान्य पद (3(-2)^{n-1}) है इसलिए (a_9=3(-2)8=768) है। सम घात पर चिह्न धनात्मक होता है। / The general term is (3(-2)^{n-1}), so (a_9=3(-2)8=768). Exam tip: an even power gives a positive sign.
विकल्प B में \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\) हर \(n\) पर स्थिर है, अतः यह समान्तर श्रेणी है। \(n^2+1\) का अंतर बदलता है। टिप: दो क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / In B, \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\) for every \(n\), so it is an AP. For \(n^2+1\), the difference changes. Exam tip: compare consecutive differences.
दिया है कि \(a_n=n^2+kn\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^2+3k=30\), अर्थात \(9+3k=30\)। इसलिए \(k=7\)। अब \(n=6\) रखने पर \(a_6=6^2+6(7)=36+42=78\)। अतः सही विकल्प C है। \(84\) तब मिलता यदि \(6^2+7\times 6\) के बजाय गणना में त्रुटि की जाए। परीक्षा टिप: पहले दी गई पद-शर्त से अज्ञात नियतांक ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(n\) का मान रखें। / Given \(a_n=n^2+kn\). Substituting \(n=3\), \(a_3=3^2+3k=30\), so \(9+3k=30\). Hence, \(k=7\). Now, for \(n=6\), \(a_6=6^2+6(7)=36+42=78\). Therefore, option C is correct. The value \(84\) would result from an incorrect calculation. Exam tip: first use the given term to find the unknown constant, then substitute the required value of \(n\).
विकल्प C में क्रमागत अंतर \(3,5,7\) हैं, जो समान नहीं हैं; अनुपात भी स्थिर नहीं है। इसलिए यह न AP है, न GP। विकल्प D स्थिर अनुक्रम है और AP तथा GP दोनों है। परीक्षा टिप: पहले अंतर, फिर अनुपात जाँचें। / In option C, the consecutive differences are \(3,5,7\), so they are not constant; the ratios are not constant either. Hence it is neither AP nor GP. Option D is constant and is both AP and GP. Exam tip: check differences first, then ratios.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=75\) और सार्वांतर \(d=-7\) है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=75-7(n-1)\) होगा। धनात्मक पद के लिए \(75-7(n-1)>0\), अर्थात \(n<\frac{82}{7}\approx11.71\)। इसलिए \(n\) का सबसे बड़ा पूर्णांक मान 11 है, अतः 11 पद धनात्मक हैं। \(12\)वाँ पद \(75-7\times11=-2\) है, इसलिए 12 पद नहीं हो सकते। परीक्षा टिप: धनात्मक पदों की संख्या ज्ञात करते समय असमता में \(>0\) लगाकर सबसे बड़ा पूर्णांक \(n\) चुनें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=75\) and common difference \(d=-7\). Its \(n\)th term is \(a_n=75-7(n-1)\). For a term to be positive, \(75-7(n-1)>0\), which gives \(n<\frac{82}{7}\approx11.71\). Hence, the greatest integral value of \(n\) is 11, so 11 terms are positive. The 12th term is \(75-7\times11=-2\), so 12 terms cannot be positive. Exam tip: To count positive terms, use \(a_n>0\) and take the greatest integer value satisfying the inequality.
पहले चार पद 3, 9, 27 और 81 हैं। अतः उनका योग \(3+9+27+81=120\) होगा। यह एक गुणोत्तर अनुक्रम भी है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है। विकल्प 114 सही नहीं है क्योंकि वह इन चारों पदों के वास्तविक योग से कम है। परीक्षा टिप: कम पद दिए हों तो उन्हें लिखकर सीधे जोड़ना सबसे तेज़ और विश्वसनीय तरीका है। / The first four terms are 3, 9, 27, and 81. Therefore, their sum is \(3+9+27+81=120\). This is also a geometric sequence, since each term is 3 times the previous term. Option 114 is incorrect because it is less than the actual total of the four given terms. Exam tip: when only a few terms are given, list them and add directly to avoid mistakes.
पहले (6) पदों का योग (126) है और औसत \(\frac{126}{6}=21\) है। औसत में योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The sum of the first (6) terms is (126), and the average is \(\frac{126}{6}=21\). Exam tip: divide the sum by the number of terms.
