Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
इस अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का दोगुना करके 1 जोड़ने पर मिलता है। इसका nवाँ पद \(a_n=2^n-1\) है। \(2^7-1=128-1=127\), इसलिए 127 सातवाँ पद है। छठा पद \(2^6-1=63\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रम में पदों में 1 जोड़कर 2 की घातों को पहचानें। / Each term in this sequence is obtained by doubling the previous term and adding 1. Its nth term is \(a_n=2^n-1\). Since \(2^7-1=128-1=127\), 127 is the seventh term. The sixth term is \(2^6-1=63\), so it is not correct. Exam tip: add 1 to the terms to identify powers of 2 in such sequences.
क्रमागत पदों के अंतर 5, 9, 13 और 17 हैं। चूँकि 12 के बाद का अंतर 9 है, इसलिए x = 12 + 9 = 21। जाँच करें: 21 + 13 = 34 और 34 + 17 = 51, अतः क्रम सही है। 20 लेने पर अगला अंतर 14 होगा, जो दिए गए 13 से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: रिक्त पद वाले अनुक्रम में उसके पहले और बाद के अंतर, दोनों की जाँच करें। / The consecutive differences are 5, 9, 13, and 17. Since the difference after 12 is 9, x = 12 + 9 = 21. Check: 21 + 13 = 34 and 34 + 17 = 51, so the sequence is consistent. If 20 were chosen, the next difference would be 14, not the given 13. Exam tip: for a missing term in a sequence, verify the differences on both sides of the term.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद \(a=2\) और सार्व अनुपात \(r=3\) है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_8=2\times3^{8-1}=2\times3^7=4374\)। विकल्प 2187, \(3^7\) है, पर इसमें प्रथम पद 2 से गुणा करना छूट जाता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर अनुक्रम में \(n\)वाँ पद निकालते समय घात हमेशा \(n-1\) लें। / This is a geometric sequence with first term \(a=2\) and common ratio \(r=3\). Its \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_8=2\times3^{8-1}=2\times3^7=4374\). Option 2187 is \(3^7\), but it misses multiplication by the first term, 2. Exam tip: for a geometric sequence, use exponent \(n-1\) for the \(n\)th term.
\(1,4,9,16,\ldots\) के क्रमागत अंतर \(3,5,7,\ldots\) समान नहीं हैं और क्रमागत अनुपात भी स्थिर नहीं है। इसलिए यह न समांतर श्रेणी है, न गुणोत्तर श्रेणी। परीक्षा टिप: अंतर और अनुपात दोनों जाँचें। / In \(1,4,9,16,\ldots\), the consecutive differences are \(3,5,7,\ldots\), so they are not constant; the ratios are not constant either. Hence it is neither AP nor GP. Exam tip: check both differences and ratios.
द्वितीय अंतर स्थिर होने पर अनुक्रम का सामान्य पद सामान्यतः द्विघात रूप, जैसे \(an^2+bn+c\), का होता है। समांतर श्रेणी में प्रथम अंतर स्थिर होता है। परीक्षा टिप: अंतर-सारणी बनाकर क्रम पहचानें। / Constant non-zero second differences indicate a quadratic sequence, typically with a term of the form \(an^2+bn+c\). An arithmetic progression has constant first differences instead. Exam tip: use a difference table to classify sequences.
A में क्रमिक अंतर \(5, 7, 9\) हैं और इनके द्वितीय अंतर \(2, 2\) हैं, जो समान व शून्येतर हैं। B में प्रथम अंतर ही स्थिर है, इसलिए वह समांतर अनुक्रम है। परीक्षा में दो स्तरों के अंतर जाँचें। / In A, the first differences are \(5, 7, 9\), giving equal non-zero second differences \(2, 2\). In B, the first difference itself is constant, so it is an arithmetic sequence. Exam tip: check differences twice.
क्रमागत पदों के अंतर 3, 4, 7, 12 हैं। इन अंतरों के अंतर क्रमशः 1, 3, 5 हैं, इसलिए अगला अंतर 7 होगा। अतः अगला प्रथम अंतर 12+7=19 और अगला पद 28+19=47 होगा। 45 लेने पर अंतर केवल 17 होगा, जो अपेक्षित 19 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले प्रथम अंतर, फिर द्वितीय अंतर लिखकर पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are 3, 4, 7, and 12. Their second differences are 1, 3, and 5, so the next second difference is 7. Hence, the next first difference is 12+7=19, and the next term is 28+19=47. If 45 were chosen, the difference would be only 17, not the required 19. Exam tip: For such sequences, list first differences and then second differences to identify the pattern.
पुनरावर्ती नियम में हर बार वर्तमान पद के लिए सही मान का n रखना आवश्यक है। n=1 पर a_2=2a_1+1=2×2+1=5। फिर n=2 पर a_3=3a_2+2=3×5+2=17 और n=3 पर a_4=4a_3+3=4×17+3=71। इसलिए सही उत्तर 71 है। 68 जैसा उत्तर अंतिम चरण में जोड़ने वाले पद को गलत लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को क्रमशः n=1, 2 और 3 पर लागू करें। / In a recursive rule, substitute the correct value of n at each step. For n=1, a_2=2a_1+1=2×2+1=5. Then, for n=2, a_3=3a_2+2=3×5+2=17, and for n=3, a_4=4a_3+3=4×17+3=71. Therefore, the correct answer is 71. A value such as 68 can result from using the added term incorrectly in the final step. Exam tip: to find a_4, apply the rule successively for n=1, 2, and 3.
