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ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है।
\(-0.07\), \(-0.7\) की अपेक्षा शून्य के अधिक निकट है; संख्या रेखा पर यह \(-0.7\) के दाईं ओर स्थित होगा। इसलिए \(-0.07\) बड़ा है। \(-0.7=-0.70\) लिखने पर तुलना और स्पष्ट हो जाती है: \(-0.07>-0.70\)। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना में पहले दशमलव स्थानों को समान बनाकर तुलना करें। / For negative numbers, the number closer to zero is greater.
\(-0.07\) is closer to zero than \(-0.7\), so it lies to the right of \(-0.7\) on the number line. Hence, \(-0.07\) is greater. Writing \(-0.7\) as \(-0.70\) makes the comparison clear: \(-0.07>-0.70\). Exam tip: While comparing negative decimals, first write them with the same number of decimal places.
-0.06, -0.6 से बड़ा है, क्योंकि संख्या रेखा पर -0.06 शून्य के अधिक निकट और दाईं ओर स्थित है। वास्तव में, -0.6 = -0.60 होता है और -0.06 > -0.60। विकल्प A में संख्या अधिक ऋणात्मक है, इसलिए वह छोटी है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय जो संख्या शून्य के अधिक निकट हो, वह बड़ी होती है। / -0.06 is greater than -0.6 because it lies closer to zero and to the right on the number line. In fact, -0.6 = -0.60, and -0.06 > -0.60. Option A is more negative, so it is smaller. Exam tip: when comparing negative decimals, the number closer to zero is greater.
B. उनके बीच अपरिमित परिमेय और अपरिमित अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers between them
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं की संख्या रेखा सघन होती है। यदि \(x<y\) हो, तो \(x\) और \(y\) के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा में ‘दो संख्याओं के बीच’ देखकर सघनता का गुण याद रखें। / The real number line is dense. If \(x<y\), there are infinitely many rational as well as infinitely many irrational numbers between \(x\) and \(y\). Exam tip: the phrase “between two real numbers” often tests density.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-3+8}{2}=\frac{5}{2}\)। इसलिए सही उत्तर \(\frac{5}{2}\) है। \(3\) जोड़ का आधा नहीं है, क्योंकि दोनों संख्याओं का योग 5 है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय पहले दोनों संख्याएँ जोड़ें, फिर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-3+8}{2}=\frac{5}{2}\). Hence, \(\frac{5}{2}\) is correct. The option 3 is not correct because the sum of the two numbers is 5, not 6. Exam tip: add the two endpoints first and then divide by 2.
किसी बिंदु की मूलबिंदु से दूरी \(|x|\) होती है। यहाँ \(|x|=\sqrt{2}\) है और बिंदु धनात्मक दिशा में है, इसलिए \(x=\sqrt{2}\)। \(-\sqrt{2}\) उतनी ही दूरी पर, पर बाईं ओर होगा। परीक्षा टिप: दिशा देखकर चिन्ह तय करें। / The distance from the origin is \(|x|\). Here \(|x|=\sqrt{2}\), and the point lies in the positive direction, so \(x=\sqrt{2}\). \(-\sqrt{2}\) is equally far from the origin but lies to the left. Exam tip: use the direction to choose the sign.
A. किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच कम-से-कम एक अपरिमेय संख्या होती है।/Between any two rational numbers, there is at least one irrational number.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(r<s\) परिमेय हों, तो \(r+\frac{s-r}{\sqrt2}\) अपरिमेय होकर दोनों के बीच रहता है। अतः A सही है, B नहीं। टिप: संख्या रेखा पर परिमेय और अपरिमेय दोनों सघन हैं। / For rational \(r<s\), \(r+\frac{s-r}{\sqrt2}\) is irrational and lies between them, so A is correct and B is false. Exam tip: rational and irrational numbers are both dense on the number line.
\(\sqrt{5}\) अपरिमेय है, क्योंकि 5 पूर्ण वर्ग नहीं है; इसलिए इसे \(p/q\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। \(1/n\) के समान चरण केवल \(k/n\) जैसे परिमेय बिंदु देते हैं। परीक्षा में समाप्य या आवर्ती दशमलव को परिमेय पहचानें। / Since 5 is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is irrational and cannot be written as \(p/q\). Steps of \(1/n\) reach only rational points of the form \(k/n\). Exam tip: terminating and repeating decimals are rational.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-4+15}{2}=\frac{11}{2}=5.5\)। इसलिए सही उत्तर \(5.5\) है। \(4.5\) जोड़ का आधा नहीं है, इसलिए वह मध्य बिंदु नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं के चिह्नों सहित जोड़ करें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-4+15}{2}=\frac{11}{2}=5.5\). Therefore, \(5.5\) is correct. \(4.5\) is not half of the sum, so it cannot be the midpoint. Exam tip: while finding a midpoint, add the numbers with their signs before dividing by 2.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-2+(-10)}{2}=\frac{-12}{2}=-6\)। इसलिए सही उत्तर \(-6\) है। \(-5\) मध्य बिंदु नहीं है, क्योंकि वह \(-2\) और \(-10\) से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-2+(-10)}{2}=\frac{-12}{2}=-6\). Therefore, \(-6\) is correct. \(-5\) is not the midpoint because it is not equally distant from \(-2\) and \(-10\). Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है।
-0.009 = -9/1000 और -0.01 = -10/1000, इसलिए -9/1000 > -10/1000। अतः -0.009 बड़ा है। “दोनों बराबर” गलत है क्योंकि इनके दशमलव मान अलग हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय पहले उन्हें समान दशमलव स्थानों तक लिखें। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. Here, -0.009 = -9/1000 and -0.01 = -10/1000; therefore, -9/1000 > -10/1000. Hence, -0.009 is greater. “Both are equal” is incorrect because the decimal values are different. Exam tip: Write negative decimals to the same number of decimal places before comparing them.
मध्यबिंदु का निर्देशांक \(\frac{a+b}{2}\) होता है। इसके मूलबिंदु \(0\) होने पर \(\frac{a+b}{2}=0\), अतः \(a+b=0\)। \(a-b=0\) दोनों बिंदुओं को एक ही स्थान पर रखता है। परीक्षा टिप: मध्यबिंदु के लिए निर्देशांकों का औसत लें। / The midpoint coordinate is \(\frac{a+b}{2}\). For it to be the origin, \(\frac{a+b}{2}=0\), so \(a+b=0\). In contrast, \(a-b=0\) gives the same coordinate for both points. Exam tip: use the average of coordinates for a midpoint.
एक विद्यार्थी ने संख्या रेखा पर बिंदु P के लिए शर्तें लिखीं: \(P^2=2\) और \(1<P<2\)। वह कहता है कि P परिमेय होगा, क्योंकि वह 1 और 2 के बीच है। उसके तर्क में त्रुटि बताने वाला सही कथन कौन-सा है?
B. P, \(\sqrt{2}\) है और अपरिमेय है; संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्याएँ भी दर्शाई जाती हैं/P is \(\sqrt{2}\) and is irrational; irrational numbers are also represented on the number line
Explanation
Simple Explanation
\(P^2=2\) तथा \(P>0\) से \(P=\sqrt{2}\) मिलता है। इसका दशमलव प्रसार \(1.414\ldots\) अनावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय है। संख्या रेखा पर हर वास्तविक संख्या का बिंदु होता है। परीक्षा टिप: केवल दो पूर्णांकों के बीच होने से संख्या परिमेय नहीं बनती। / Since \(P^2=2\) and \(P>0\), \(P=\sqrt{2}\). Its decimal expansion \(1.414\ldots\) is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Every real number has a point on the number line. Exam tip: being between two integers does not make a number rational.
संख्या रेखा पर \(\sqrt{10}\) को चिह्नित करने के लिए रिया ने 3 इकाई और 2 इकाई भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज बनाया तथा उसके कर्ण को त्रिज्या मानकर बिंदु अंकित किया। उसके कार्य में त्रुटि क्या है?
A. कर्ण की लंबाई \(\sqrt{13}\) है, \(\sqrt{10}\) नहीं।/The hypotenuse has length \(\sqrt{13}\), not \(\sqrt{10}\).
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण² = \(3^2+2^2=13\), इसलिए कर्ण \(\sqrt{13}\) होगा। \(\sqrt{10}\) के लिए 3 और 1 इकाई की लम्बवत भुजाएँ लें। परीक्षा में भुजाओं के वर्गों का योग जाँचें। / By Pythagoras’ theorem, hypotenuse² = \(3^2+2^2=13\), so the length obtained is \(\sqrt{13}\). For \(\sqrt{10}\), use perpendicular sides 3 and 1. Exam tip: always add the squares of the two legs first.
सही उत्तर -0.405 है। तुलना के लिए -0.45 को -0.450 लिख सकते हैं। चूँकि -0.405, -0.450 से शून्य के अधिक निकट है, इसलिए -0.405 बड़ा है। -0.45 छोटा है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में जिसका परिमाण अधिक होता है, वह संख्या छोटी होती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय उन्हें समान दशमलव स्थानों तक लिखें। / The correct answer is -0.405. Write -0.45 as -0.450 for comparison. Since -0.405 is closer to zero than -0.450, -0.405 is greater. -0.45 is smaller because among negative numbers, the number with the greater magnitude is smaller. Exam tip: Write negative decimals to the same number of decimal places before comparing them.
दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच कम-से-कम एक परिमेय संख्या अवश्य होती है; वास्तव में ऐसी अनंत परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। पूर्णांक होना आवश्यक नहीं, जैसे 0.2 और 0.3 के बीच कोई पूर्णांक नहीं है। परीक्षा टिप: दो संख्याओं का औसत अक्सर बीच की संख्या देता है। / Between any two distinct real numbers, there is at least one rational number; in fact, infinitely many exist. An integer is not necessary: there is no integer between 0.2 and 0.3. Exam tip: the average of two numbers often gives a number between them.
A. किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कम-से-कम एक अपरिमेय संख्या होती है।/Between any two distinct rational numbers, there is at least one irrational number.
Explanation
Simple Explanation
यदि परिमेय संख्याएँ \(a<b\) हों, तो \(a+\frac{b-a}{\sqrt2}\) उनके बीच स्थित अपरिमेय संख्या है, क्योंकि \(0<\frac1{\sqrt2}<1\) है। परीक्षा टिप: हर अंतराल में परिमेय और अपरिमेय दोनों मिलते हैं। / For rational numbers \(a<b\), \(a+\frac{b-a}{\sqrt2}\) is an irrational number between them since \(0<\frac1{\sqrt2}<1\). Exam tip: every interval on the number line contains both rational and irrational numbers.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-10+7}{2}=\frac{-3}{2}=-1.5\)। इसलिए सही उत्तर \(-1.5\) है। \(-2\) निकट है, पर वह दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए दोनों संख्याओं का योग करके 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-10+7}{2}=\frac{-3}{2}=-1.5\). Therefore, \(-1.5\) is correct. Although \(-2\) is close, it is not equally distant from both numbers. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
( -0.00009 ) शून्य के अधिक निकट है, जबकि ( -0.0009 ) शून्य से अधिक दूर ऋणात्मक संख्या है। संख्या रेखा पर जो ऋणात्मक संख्या दाईं ओर होती है, वही बड़ी होती है; इसलिए ( -0.00009 ) बड़ा है। ( -0.0009 ) को बड़ा मानना सामान्य गलती है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में अधिक परिमाण वाली संख्या छोटी होती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय पहले देखें कि कौन-सी संख्या शून्य के निकट है। / ( -0.00009 ) is closer to zero, whereas ( -0.0009 ) is a negative number farther from zero. On the number line, the negative number farther to the right is greater; therefore, ( -0.00009 ) is greater. Choosing ( -0.0009 ) is a common mistake because, among negative numbers, the one with the larger magnitude is smaller. Exam tip: When comparing negative decimals, first identify which number is closer to zero.
-3.6 को -3.60 लिख सकते हैं। तुलना करने पर -3.60, -3.06 से अधिक ऋणात्मक है और संख्या रेखा पर बाईं ओर स्थित होता है, इसलिए यह छोटा है। निकटतम भ्रामक विकल्प -3.06 है, पर उसमें ऋणात्मक मान कम है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय पहले दशमलव स्थानों की संख्या बराबर करें। / We can write -3.6 as -3.60. Since -3.60 is more negative than -3.06, it lies farther to the left on the number line and is therefore smaller. The close distractor, -3.06, has a smaller negative magnitude. Exam tip: while comparing negative decimals, first write them with the same number of decimal places.
A. कम-से-कम एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या होती है/There is at least one rational and one irrational number
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। इसलिए केवल परिमेय या केवल अपरिमेय वाला कथन गलत है। परीक्षा में ‘सदैव’ शब्द पर विशेष ध्यान दें। / Every interval between two distinct real numbers contains infinitely many rational as well as irrational numbers. Thus, the “only rational” and “only irrational” statements are false. Exam tip: pay close attention to the word “always”.
धनात्मक संख्या रेखा पर 3 इकाई वाले बिंदु पर 2 इकाई का लंब खींचा गया। बने समकोण त्रिभुज के कर्ण को मूलबिंदु से उसी दिशा में संख्या रेखा पर स्थानांतरित करके बिंदु P चिह्नित किया गया। P के बारे में कौन-सा कथन सही है?
A. P, 3 और 4 के बीच है, क्योंकि कर्ण की लंबाई \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\) है।/P lies between 3 and 4 because the hypotenuse has length \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\).
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\) है। चूँकि \(9<13<16\), इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\)। 3 और 2 को जोड़ना गलत है। परीक्षा टिप: वर्गों के बीच संख्या रखकर वर्गमूल का स्थान जाँचें। / By the Pythagorean theorem, the hypotenuse is \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\). Since \(9<13<16\), we get \(3<\sqrt{13}<4\). Adding 3 and 2 is incorrect. Exam tip: bracket the number between perfect squares to locate its square root.
A. यह 2 और 3 के बीच है तथा अपरिमेय है/It lies between 2 and 3 and is irrational
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(2^2<5<3^2\), इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\)। 5 पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है; इसे 2.5 मानना गलत है। परीक्षा में पहले निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / Since \(2^2<5<3^2\), we get \(2<\sqrt{5}<3\). As 5 is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is irrational; it is not 2.5. Exam tip: compare with nearby perfect squares first.
संख्या रेखा पर जो संख्या अधिक बाईं ओर होती है, वह छोटी होती है।
\(-0.333\), \(-0.3=-0.300\) से अधिक ऋणात्मक है, इसलिए \(-0.333 < -0.300\)। अतः सही उत्तर \((-0.333)\) है। \(-0.3\) निकटतम विकल्प है, पर वह शून्य के अधिक पास होने के कारण बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय दशमलव स्थान पूरे करने के बाद अधिक परिमाण वाली संख्या छोटी होती है। / On a number line, the number farther to the left is smaller. Here, \(-0.3=-0.300\), and \(-0.333\) is more negative; therefore, \(-0.333 < -0.300\). Hence, \((-0.333)\) is the correct answer. Although \(-0.3\) is close, it is nearer to zero and is therefore greater. Exam tip: While comparing negative decimals, write equal decimal places; the number with the greater magnitude is smaller.
एक विद्यार्थी संख्या रेखा पर \(\sqrt{7}\) को 2 और 3 के बीच रखता है तथा कहता है कि यह 3 के अधिक निकट है, क्योंकि 7, 9 के 4 से अधिक निकट है। उसका निष्कर्ष क्या है?
A. विद्यार्थी का निष्कर्ष सही है; \(\sqrt{7}\), 2 और 3 के बीच 3 के अधिक निकट है।/The student's conclusion is correct; \(\sqrt{7}\) lies between 2 and 3 and is closer to 3.
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(2^2=4\) और \(3^2=9\), इसलिए \(\sqrt{7}\) 2 और 3 के बीच है। \(\sqrt{7}\approx2.646\), अतः 3 से दूरी लगभग 0.354 है और 2 से 0.646। इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में वर्गों की तुलना करके मूल का स्थान तय करें। / Since \(2^2=4\) and \(3^2=9\), \(\sqrt{7}\) lies between 2 and 3. Also, \(\sqrt{7}\approx2.646\), so its distance from 3 is about 0.354, less than 0.646 from 2. Thus option B is wrong. Exam tip: compare nearby perfect squares first.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-6+(-18)}{2}=\frac{-24}{2}=-12\)। अतः सही उत्तर \(-12\) है। \(-11\) केवल एक संख्या के निकट लग सकता है, पर वह दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं के चिह्नों सहित जोड़ करें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-6+(-18)}{2}=\frac{-24}{2}=-12\). Therefore, the correct answer is \(-12\). Although \(-11\) may seem close, it is not equally distant from both numbers. Exam tip: include the signs of negative numbers while adding them for a midpoint.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। यहाँ
\(-0.00201 > -0.00210\), क्योंकि \(-0.00201\) शून्य के अधिक निकट है। \(-0.0021\) को \(-0.00210\) लिखने पर तुलना आसान हो जाती है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना के लिए आवश्यकतानुसार अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थानों की संख्या समान करें। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. Here, \(-0.00201 > -0.00210\) because \(-0.00201\) is closer to zero. Writing \(-0.0021\) as \(-0.00210\) makes the comparison clear. Exam tip: Add trailing zeros when needed to compare the same number of decimal places.
\(-0.56=-0.560\) लिखने पर तुलना आसान हो जाती है। अब \(-0.506\), \(-0.560\) से बड़ा है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वही बड़ी होती है। इसलिए सही उत्तर \(-0.506\) है। \(-0.56\) को \(-0.560\) मानना न भूलें। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करने से पहले उनके दशमलव स्थान बराबर कर लें। / Write \(-0.56\) as \(-0.560\) to compare the decimals easily. Since \(-0.506\) is closer to zero than \(-0.560\), it is greater; among negative numbers, the number closer to zero is greater. Therefore, \(-0.506\) is the correct answer. Exam tip: Make the number of decimal places equal before comparing decimals.
तुलना करने के लिए
-0.71 को -0.710 लिखें। अब -0.710 और -0.701 में -0.710 अधिक ऋणात्मक है, इसलिए यह संख्या रेखा पर अधिक बाईं ओर होगी और छोटी होगी। अतः -0.71 सही उत्तर है। -0.701 बड़ी है क्योंकि वह शून्य के अधिक निकट है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों में जिसका परिमाण अधिक होता है, वह संख्या छोटी होती है। / For comparison, write -0.71 as -0.710. Between -0.710 and -0.701, -0.710 is more negative, so it lies further left on the number line and is smaller. Therefore, -0.71 is correct. -0.701 is greater because it is closer to zero. Exam tip: Among negative decimals, the number with the greater magnitude is smaller.
B. अनंत परिमेय संख्याएँ/Infinitely many rational numbers
Explanation
Simple Explanation
सही उत्तर अनंत परिमेय संख्याएँ है। \(a\) और \(b\) के बीच \(\frac{a+b}{2}\) एक परिमेय संख्या होती है। फिर इसी प्रकार नए मध्य मान लेते रहने पर अनंत परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा टिप: ‘दो परिमेय संख्याओं के बीच’ हमेशा अनंत परिमेय संख्याएँ याद रखें। / The correct answer is infinitely many rational numbers. The midpoint \(\frac{a+b}{2}\) is rational and lies between \(a\) and \(b\). Repeatedly taking midpoints produces endlessly many rational numbers. Exam tip: between any two distinct rational numbers, rationals are always infinite.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। \(-1\), \(-1.1\) की तुलना में शून्य के अधिक निकट है, इसलिए \(-1 > -1.1\)। विकल्प \(-1.1\) छोटा है क्योंकि वह संख्या रेखा पर अधिक बाईं ओर स्थित है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में दशमलव का मान बढ़ने पर संख्या छोटी हो सकती है। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. Since \(-1\) is closer to zero than \(-1.1\), \(-1 > -1.1\). Option \(-1.1\) is smaller because it lies further left on the number line. Exam tip: While comparing negative decimals, remember that a larger magnitude means a smaller number.
