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नया कर्ण \(\sqrt{80+1}=\sqrt{81}\) होगा। \(\sqrt{81}=9\), इसलिए पूर्ण वर्ग पर सटीक मान लिखें। / The new hypotenuse is \(\sqrt{80+1}=\sqrt{81}\). Since \(\sqrt{81}=9\), write the exact value at a perfect square.
B. \(\sqrt{48}\) (6) और (7) के बीच है, \(\sqrt{50}\) (7) और (8) के बीच है/\(\sqrt{48}\) lies between (6) and (7), \(\sqrt{50}\) lies between (7) and (8)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(6^2<48<7^2\) और \(7^2<50<8^2\) है। अंतराल तय करते समय निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / Because \(6^2<48<7^2\) and \(7^2<50<8^2\). Check nearest perfect squares while deciding intervals.
C. (\sqrt{\(\sqrt{12}\)2+12}=\sqrt{13}) लिखना चाहिए/We should write (\sqrt{\(\sqrt{12}\)2+12}=\sqrt{13})
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में सीधे लंबाइयाँ नहीं जोड़ी जातीं। सही विधि पाइथागोरस प्रमेय से वर्गों का योग लेना है। / Lengths are not added directly in a square root spiral. The correct method is to add squares using Pythagoras theorem.
D. \(\sqrt{144}\), ठीक (12) पर/\(\sqrt{144}\), exactly at (12)
Explanation
Simple Explanation
नया कर्ण \(\sqrt{144}\) है। क्योंकि \(\sqrt{144}=12\), यह किसी अंतराल में नहीं बल्कि ठीक (12) पर है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{144}\). Since \(\sqrt{144}=12\), it is not in an interval but exactly at (12).
(\(\sqrt{34}\)2+12=35) होता है। इसलिए \(\sqrt{35}\) के लिए पिछला कर्ण \(\sqrt{34}\) होगा। / Since (\(\sqrt{34}\)2+12=35). Therefore the previous hypotenuse for \(\sqrt{35}\) is \(\sqrt{34}\).
B. \(\sqrt{99}\) (9) और (10) के बीच है/\(\sqrt{99}\) lies between (9) and (10)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(9^2<99<10^2\) है। \(\sqrt{100}=10\) है, इसलिए \(\sqrt{99}\) उससे थोड़ा कम है। / Because \(9^2<99<10^2\). Since \(\sqrt{100}=10\), \(\sqrt{99}\) is slightly less than it.
पाइथागोरस से (\(\sqrt{n}\)2+52=n+25) होगा। इसलिए सामान्य \(\sqrt{n+1}\) क्रम टूट जाएगा। / By Pythagoras, (\(\sqrt{n}\)2+52=n+25). So the usual \(\sqrt{n+1}\) sequence will break.
B. \(\sqrt{225}\), (15) और (16) के बीच/\(\sqrt{225}\), between (15) and (16)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{226}\) से पहले \(\sqrt{225}\) था। क्योंकि \(15^2<226<16^2\), नया मान (15) और (16) के बीच है। / Before \(\sqrt{226}\), the previous hypotenuse was \(\sqrt{225}\). Since \(15^2<226<16^2\), the new value lies between (15) and (16).
नया कर्ण सीधे \(\sqrt{3}+1\) से नहीं मिलता। सही आधार भुजाओं के वर्गों का योग है। / The new hypotenuse is not obtained directly from \(\sqrt{3}+1\). The correct basis is the sum of squares of sides.
A. \(\sqrt{169}\) बनता है और (169) पूर्ण वर्ग है/\(\sqrt{169}\) is formed and (169) is a perfect square
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{168}\) के बाद \(\sqrt{169}\) बनता है। \(169=13^2\) होने से कर्ण का मान (13) है। / After \(\sqrt{168}\), \(\sqrt{169}\) is formed. Since \(169=13^2\), the hypotenuse value is (13).
B. \(\sqrt{242}\) (15) और (16) के बीच है, \(\sqrt{256}=16\) है/\(\sqrt{242}\) is between (15) and (16), \(\sqrt{256}=16\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(15^2<242<16^2\) और \(256=16^2\) है। इसलिए \(\sqrt{242}\) (16) से कम है। / Because \(15^2<242<16^2\) and \(256=16^2\). Therefore \(\sqrt{242}\) is less than (16).
C. नया कर्ण \(\sqrt{16}\) है और (4) के बराबर है/The new hypotenuse is \(\sqrt{16}\) and equals (4)
Explanation
Simple Explanation
नया कर्ण \(\sqrt{15+1}=\sqrt{16}\) होगा। \(\sqrt{16}=4\), इसलिए यह पूर्ण संख्या है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{15+1}=\sqrt{16}\). Since \(\sqrt{16}=4\), it is a whole number.
पाइथागोरस प्रमेय से भुजाओं के वर्ग जुड़ते हैं। इसलिए \(\sqrt{7}\) और (1) से कर्ण \(\sqrt{8}\) बनता है। / By Pythagoras theorem, the squares of sides are added. Therefore \(\sqrt{7}\) and (1) form hypotenuse \(\sqrt{8}\).
A. अगला कर्ण \(\sqrt{64}=8\) है और \(\sqrt{65}\) (8) और (9) के बीच है/The next hypotenuse is \(\sqrt{64}=8\), and \(\sqrt{65}\) is between (8) and (9)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{63}\) के बाद \(\sqrt{64}=8\) बनता है। \(8^2<65<9^2\), इसलिए \(\sqrt{65}\) (8) और (9) के बीच है। / After \(\sqrt{63}\), \(\sqrt{64}=8\) is formed. Since \(8^2<65<9^2\), \(\sqrt{65}\) lies between (8) and (9).
अगला कर्ण \(\sqrt{m+1}\) होगा। यदि (m+1) पूर्ण वर्ग है, तो उसका वर्गमूल पूर्ण संख्या होगा। / The next hypotenuse is \(\sqrt{m+1}\). If (m+1) is a perfect square, its square root is a whole number.
क्योंकि \(16^2=256\) और \(17^2=289\) हैं। (288) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{288}\) (16) और (17) के बीच है। / Because \(16^2=256\) and \(17^2=289\). The number (288) lies between them, so \(\sqrt{288}\) lies between (16) and (17).
A. क्योंकि सामान्य नियम में नई लंब (1) इकाई होती है और पिछला कर्ण \(\sqrt{47}\) होना चाहिए/Because in the usual rule the new perpendicular is (1) unit and the previous hypotenuse should be \(\sqrt{47}\)
Explanation
Simple Explanation
सामान्य वर्गमूल सर्पिल में हर बार (1) इकाई लंब जोड़ी जाती है। \(\sqrt{48}\) के लिए पिछला कर्ण \(\sqrt{47}\) होता है। / In the usual square root spiral, a (1) unit perpendicular is added every time. For \(\sqrt{48}\), the previous hypotenuse is \(\sqrt{47}\).
B. \(\sqrt{300}\) (17) और (18) के बीच है, \(\sqrt{324}=18\) है/\(\sqrt{300}\) is between (17) and (18), \(\sqrt{324}=18\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(17^2<300<18^2\) और \(324=18^2\) है। इसलिए \(\sqrt{324}\) ठीक (18) है। / Because \(17^2<300<18^2\) and \(324=18^2\). Therefore \(\sqrt{324}\) is exactly (18).
नया कर्ण \(12=\sqrt{144}\) है, इसलिए (n+1=144)। अतः पिछला कर्ण \(\sqrt{143}\) था। / The new hypotenuse is \(12=\sqrt{144}\), so (n+1=144). Therefore the previous hypotenuse was \(\sqrt{143}\).
A. \(\sqrt{8}\rightarrow\sqrt{9}\rightarrow\sqrt{10}\)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में कर्ण क्रम से बढ़ते हैं। \(\sqrt{10}\) से ठीक पहले \(\sqrt{9}\) और उससे पहले \(\sqrt{8}\) आता है। / The hypotenuses increase in order in the spiral. Just before \(\sqrt{10}\) comes \(\sqrt{9}\), and before that \(\sqrt{8}\).
B. \(\sqrt{195}\) को (14) और (15) के बीच रखने की गलती/Mistakenly placing \(\sqrt{195}\) between (14) and (15)
Explanation
Simple Explanation
वास्तव में \(13^2=169\) और \(14^2=196\) हैं। इसलिए \(\sqrt{195}\) (13) और (14) के बीच है, (14) से कम। / Actually \(13^2=169\) and \(14^2=196\). Therefore \(\sqrt{195}\) lies between (13) and (14), less than (14).
C. क्योंकि (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)/Because (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय में कर्ण का वर्ग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। यही सामान्य नियम है। / In Pythagoras theorem, the square of the hypotenuse equals the sum of squares of the sides. This is the general rule.
अगला कर्ण \(\sqrt{255+1}=\sqrt{256}\) है। \(\sqrt{256}=16\), इसलिए यह ठीक (16) पर है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{255+1}=\sqrt{256}\). Since \(\sqrt{256}=16\), it lies exactly at (16).
B. \(\sqrt{50}\) (7) और (8) के बीच है, \(\sqrt{63}\) (7) और (8) के बीच है/\(\sqrt{50}\) lies between (7) and (8), \(\sqrt{63}\) lies between (7) and (8)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(7^2<50<8^2\) और \(7^2<63<8^2\) है। दोनों (7) और (8) के बीच हैं। / Because \(7^2<50<8^2\) and \(7^2<63<8^2\). Both lie between (7) and (8).
A. वह \(\sqrt{121}=11\) है/It is \(\sqrt{121}=11\)
Explanation
Simple Explanation
अगला कर्ण \(\sqrt{121}\) है। \(121=11^2\), इसलिए कर्ण का सटीक मान (11) है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{121}\). Since \(121=11^2\), the exact value of the hypotenuse is (11).
B. \(\sqrt{223}\), (14) और (15) के बीच/\(\sqrt{223}\), between (14) and (15)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{223}\) से \(\sqrt{224}\) बनता है। क्योंकि \(14^2<224<15^2\), यह (14) और (15) के बीच होगा। / \(\sqrt{224}\) is formed from \(\sqrt{223}\). Since \(14^2<224<15^2\), it lies between (14) and (15).
अगला कर्ण \(\sqrt{399+1}=\sqrt{400}\) है। \(\sqrt{400}=20\), इसलिए यह पूर्ण संख्या है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{399+1}=\sqrt{400}\). Since \(\sqrt{400}=20\), it is a whole number.
B. कंपास में \(\sqrt{2}\) कर्ण की लंबाई लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{2}\) hypotenuse length in compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
कंपास में वही लंबाई ली जाती है जिसे संख्या रेखा पर अंकित करना है। मूल बिंदु से चाप खींचना सही स्थान देता है। / The same length to be marked is taken in the compass. Drawing an arc from the origin gives the correct position.
B. \(\sqrt{150}\) (12) और (13) के बीच है, \(\sqrt{169}=13\) है/\(\sqrt{150}\) lies between (12) and (13), \(\sqrt{169}=13\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(12^2<150<13^2\) और \(169=13^2\) है। इसलिए \(\sqrt{150}\) (13) से कम है। / Because \(12^2<150<13^2\) and \(169=13^2\). Therefore \(\sqrt{150}\) is less than (13).
A. क्योंकि (\(\sqrt{4}\)2+12=5)/Because (\(\sqrt{4}\)2+12=5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{4}\) पिछले कर्ण की लंबाई है और (1) नई लंब है। पाइथागोरस से नया कर्ण \(\sqrt{5}\) मिलता है। / \(\sqrt{4}\) is the previous hypotenuse and (1) is the new perpendicular. Pythagoras gives the new hypotenuse \(\sqrt{5}\).
क्योंकि \(20^2<440<21^2\) है। इसलिए \(\sqrt{440}\) (20) और (21) के बीच होगा। / Because \(20^2<440<21^2\). Therefore \(\sqrt{440}\) lies between (20) and (21).
यदि (k)वाँ कर्ण \(\sqrt{k}\) है, तो \(\sqrt{25}\) (25)वाँ कर्ण है। \(\sqrt{25}=5\) होता है। / If the (k)-th hypotenuse is \(\sqrt{k}\), then \(\sqrt{25}\) is the (25)-th hypotenuse. Also, \(\sqrt{25}=5\).
अगला कर्ण \(\sqrt{35+1}=\sqrt{36}\) है। \(\sqrt{36}=6\), इसलिए सटीक मान (6) है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{35+1}=\sqrt{36}\). Since \(\sqrt{36}=6\), the exact value is (6).
B. हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण और (1) इकाई लंब से बनने वाला समकोण त्रिभुज है/Each new triangle is a right triangle made from the previous hypotenuse and a (1) unit perpendicular
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल का सही आधार समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय है। सीधे लंबाइयों को जोड़ना गलत तरीका है। / The correct basis of a square root spiral is a right triangle and Pythagoras theorem. Directly adding lengths is wrong.
B. \(\sqrt{27}\) (5) और (6) के बीच है, \(\sqrt{32}\) (5) और (6) के बीच है/\(\sqrt{27}\) lies between (5) and (6), \(\sqrt{32}\) lies between (5) and (6)
Explanation
Simple Explanation
\(5^2<27<6^2\) और \(5^2<32<6^2\) दोनों सही हैं। इसलिए दोनों (5) और (6) के बीच हैं। / Both \(5^2<27<6^2\) and \(5^2<32<6^2\) are true. Therefore both lie between (5) and (6).
क्योंकि \(24^2=576\) और \(25^2=625\) हैं। (624) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{624}\) (24) और (25) के बीच है। / Because \(24^2=576\) and \(25^2=625\). The number (624) lies between them, so \(\sqrt{624}\) lies between (24) and (25).
A. (n+1) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n+1) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। पूर्ण वर्ग न हो तो वर्गमूल अपरिमेय होता है। / The square root of a positive integer is a whole number only when it is a perfect square. If it is not a perfect square, the square root is irrational.
पाइथागोरस प्रमेय में वर्गों का योग लिया जाता है। इसलिए \(\sqrt{20}\) और (1) से कर्ण \(\sqrt{21}\) बनता है। / Pythagoras theorem uses the sum of squares. Therefore \(\sqrt{20}\) and (1) form hypotenuse \(\sqrt{21}\).
अगला कर्ण \(\sqrt{900}\) है। क्योंकि \(900=30^2\), इसका सटीक मान (30) है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{900}\). Since \(900=30^2\), its exact value is (30).
C. \(\sqrt{168}\) (13) और (14) के बीच है, \(\sqrt{170}\) (13) और (14) के बीच है/\(\sqrt{168}\) lies between (13) and (14), \(\sqrt{170}\) lies between (13) and (14)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(13^2=169\) है। (168) थोड़ा कम है इसलिए (12) और (13) के बीच, जबकि (170) (13) और (14) के बीच है। / Because \(13^2=169\). The number (168) is slightly less, so it is between (12) and (13), while (170) is between (13) and (14).
पिछला कर्ण \(\sqrt{48}\) है, इसलिए (n=48)। नया कर्ण \(\sqrt{48+1}=\sqrt{49}\) होगा। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{48}\), so (n=48). The new hypotenuse is \(\sqrt{48+1}=\sqrt{49}\).
क्योंकि \(28^2=784\) और \(29^2=841\) हैं। (840) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{840}\) (28) और (29) के बीच है। / Because \(28^2=784\) and \(29^2=841\). The number (840) lies between them, so \(\sqrt{840}\) lies between (28) and (29).
A. नया कर्ण (5) है और \(\sqrt{24}\) (4) और (5) के बीच है/The new hypotenuse is (5), and \(\sqrt{24}\) lies between (4) and (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{24}\) के बाद \(\sqrt{25}=5\) बनता है। साथ ही \(4^2<24<5^2\), इसलिए \(\sqrt{24}\) (4) और (5) के बीच है। / After \(\sqrt{24}\), \(\sqrt{25}=5\) is formed. Also \(4^2<24<5^2\), so \(\sqrt{24}\) lies between (4) and (5).
B. निकटतम पूर्ण वर्गों (a-2<n<(a+1)2) की पहचान करना/Identify nearest perfect squares (a-2<n<(a+1)2)
Explanation
Simple Explanation
निकटतम पूर्ण वर्गों से सही अंतराल मिलता है। इसके बाद सर्पिल की लंबाई कंपास से अंकित करें। / Nearest perfect squares give the correct interval. Then mark the spiral length using a compass.
A. \(\sqrt{440}\) (20) और (21) के बीच है, \(\sqrt{441}=21\) है/\(\sqrt{440}\) lies between (20) and (21), \(\sqrt{441}=21\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(20^2<440<21^2\) और \(441=21^2\) है। इसलिए \(\sqrt{441}\) ठीक (21) है। / Because \(20^2<440<21^2\), and \(441=21^2\). Therefore \(\sqrt{441}\) is exactly (21).
D. नया कर्ण \(\sqrt{n}+1\) होगा/The new hypotenuse will be \(\sqrt{n}+1\)
Explanation
Simple Explanation
नया कर्ण सीधे \(\sqrt{n}+1\) नहीं होता। वह (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}) होता है। / The new hypotenuse is not directly \(\sqrt{n}+1\). It is (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}).
क्योंकि \(30^2=900\) और \(31^2=961\) हैं। (960) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{960}\) (30) और (31) के बीच है। / Because \(30^2=900\) and \(31^2=961\). The number (960) lies between them, so \(\sqrt{960}\) lies between (30) and (31).
B. यह समकोण त्रिभुजों की क्रमिक रचना है जिसमें (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) से अगला कर्ण बनता है/It is a successive construction of right triangles where the next hypotenuse is formed by (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित है। पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब मिलकर अगला वर्गमूल बनाते हैं। / A square root spiral is based on Pythagoras theorem. The previous hypotenuse and (1) unit perpendicular form the next square root.
