Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शुरुआत (1) इकाई के रेखाखंड से होती है। इसी से पहला समकोण त्रिभुज बनाया जाता है। / The construction starts with a (1) unit line segment. The first right triangle is made from it.
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) होता है। पहला मुख्य कर्ण \(\sqrt{2}\) है। / By Pythagoras theorem the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). The first main hypotenuse is \(\sqrt{2}\).
हर चरण में नई लंब भुजा (1) इकाई रखी जाती है। इसी से अगला वर्गमूल बनता है। / At every step the new perpendicular side is kept (1) unit. This forms the next square root.
कर्ण ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाया जाता है। इसलिए समकोण त्रिभुज पहचानना जरूरी है। / Pythagoras theorem is used to find the hypotenuse. So recognizing the right triangle is important.
नया कर्ण (\sqrt{\(\sqrt{2}\)2+12}=\sqrt{3}) होगा। हर बार संख्या में (1) जुड़ता है। / The new hypotenuse is (\sqrt{\(\sqrt{2}\)2+12}=\sqrt{3}). Each time (1) is added to the number.
\(\sqrt{3}\) के साथ (1) इकाई लंब से नया कर्ण \(\sqrt{4}\) बनता है। क्रम में अगला वर्गमूल लें। / With \(\sqrt{3}\) and a (1) unit perpendicular the new hypotenuse is \(\sqrt{4}\). Take the next square root in sequence.
कर्ण क्रम से \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) आगे बढ़ते हैं। सर्पिल में संख्या एक-एक बढ़ती है। / The hypotenuses progress as \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) and so on. In the spiral the number increases by one.
नया कर्ण \(\sqrt{8+1}=\sqrt{9}\) होगा। यह वर्गमूल सर्पिल का सरल नियम है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{8+1}=\sqrt{9}\). This is the simple rule of the square root spiral.
\(\sqrt{11}\) पर (1) इकाई लंब जोड़ने से \(\sqrt{12}\) बनता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या का होता है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{11}\) gives \(\sqrt{12}\). The previous hypotenuse has one less number.
\(\sqrt{5}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। / \(\sqrt{5}\) is not the square root of a perfect square. Therefore it is irrational.
पाइथागोरस से नया कर्ण (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}) होता है। यही सामान्य नियम है। / By Pythagoras the new hypotenuse is (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}). This is the general rule.
हर चरण में अगला वर्गमूल आता है। इसलिए \(\sqrt{20}\) के बाद \(\sqrt{21}\) होगा। / At every step the next square root appears. Therefore \(\sqrt{21}\) comes after \(\sqrt{20}\).
कंपास से कर्ण की लंबाई संख्या रेखा पर स्थानांतरित की जाती है। इससे सही बिंदु मिलता है। / A compass transfers the hypotenuse length to the number line. This gives the correct point.
A. क्योंकि नया कर्ण वर्गों के योग से बनता है/Because the new hypotenuse is formed by the sum of squares
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में जोड़ सीधे लंबाइयों का नहीं, वर्गों का होता है। सही तर्क पाइथागोरस प्रमेय है। / In a square root spiral the addition is of squares, not direct lengths. The correct reasoning is Pythagoras theorem.
लगातार समकोण त्रिभुज दिशा बदलते हुए बनते हैं। इसलिए आकृति सर्पिल जैसी दिखती है। / Successive right triangles are formed while changing direction. Therefore the figure looks like a spiral.
A. वर्गमूल लंबाइयों का ज्यामितीय निर्माण करना/To geometrically construct square root lengths
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) जैसी लंबाइयाँ बनाता है। यह संख्या रेखा पर उपयोगी है। / A square root spiral constructs lengths like \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\). It is useful on the number line.
\(\sqrt{17}\) में (1) इकाई लंब जोड़कर \(\sqrt{18}\) मिलता है। पिछले कर्ण की संख्या एक कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{17}\) gives \(\sqrt{18}\). The previous hypotenuse has one less number.
अगले चरण में संख्या (1) बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{30}\) के बाद \(\sqrt{31}\) आता है। / In the next step the number increases by (1). Therefore \(\sqrt{31}\) comes after \(\sqrt{30}\).
A. समकोण त्रिभुज बनाने के लिए/To make a right triangle
Explanation
Simple Explanation
\(90^\circ\) से समकोण त्रिभुज बनता है। फिर पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण मिलता है। / A \(90^\circ\) angle makes a right triangle. Then Pythagoras theorem gives the new hypotenuse.
\(\sqrt{49}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{50}\) बनता है। पिछली संख्या (1) कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{49}\) gives \(\sqrt{50}\). The previous number is (1) less.
\(\sqrt{6}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने से \(\sqrt{7}\) बनता है। यह पाइथागोरस प्रमेय से आता है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{6}\) forms \(\sqrt{7}\). This follows from Pythagoras theorem.
\(\sqrt{2}\) किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। / \(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square. Therefore it is irrational.
\(\sqrt{14}\) के साथ (1) इकाई लंब से \(\sqrt{15}\) बनता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या का है। / With \(\sqrt{14}\) and a (1) unit perpendicular, \(\sqrt{15}\) is formed. The previous hypotenuse has one less number.
अगले चरण में \(\sqrt{24+1}=\sqrt{25}\) बनता है। संख्या क्रम में (1) बढ़ती है। / In the next step \(\sqrt{24+1}=\sqrt{25}\) is formed. The number increases by (1).
B. \(\sqrt{3}\) का कर्ण/Hypotenuse of \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
जिस वर्गमूल को अंकित करना है, उसी कर्ण की लंबाई कंपास में लेते हैं। इसलिए \(\sqrt{3}\) का कर्ण चाहिए। / The hypotenuse length of the required square root is taken in the compass. So the hypotenuse of \(\sqrt{3}\) is needed.
A. \(90^\circ\) का कोण बनाने के लिए/To make a \(90^\circ\) angle
Explanation
Simple Explanation
सेट स्क्वायर से समकोण आसानी से बनता है। सही समकोण से सही कर्ण मिलता है। / A set square helps make a right angle easily. A correct right angle gives the correct hypotenuse.
\(\sqrt{79}\) पर (1) इकाई लंब जोड़ने से \(\sqrt{80}\) बनता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या का होता है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{79}\) gives \(\sqrt{80}\). The previous hypotenuse has one less number.
A. \(\sqrt{2}\) के सिरे पर (1) इकाई लंब बनाना/Draw a (1) unit perpendicular at the end of \(\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के सिरे पर (1) इकाई लंब बनाकर अगला त्रिभुज बनाया जाता है। इससे \(\sqrt{3}\) मिलता है। / A (1) unit perpendicular is drawn at the end of \(\sqrt{2}\) to make the next triangle. This gives \(\sqrt{3}\).
\(\sqrt{5}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{5}\) is not the square root of a perfect square. Therefore it is irrational.
A. पिछले कर्ण और (1) इकाई लंब के वर्गों का योग लिया जाता है/The sum of squares of previous hypotenuse and (1) unit perpendicular is taken
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय में वर्गों का योग आता है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) बनता है। / Pythagoras theorem uses the sum of squares. Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\).
कंपास की नोक मूल बिंदु पर रखकर चाप खींचते हैं। इससे \(\sqrt{2}\) का स्थान मिलता है। / The compass point is kept at the origin and an arc is drawn. This locates \(\sqrt{2}\).
A. समकोण त्रिभुजों से क्रमिक वर्गमूल लंबाइयाँ बनाना/Making successive square root lengths using right triangles
Explanation
Simple Explanation
हर नया समकोण त्रिभुज अगला वर्गमूल देता है। यही वर्गमूल सर्पिल का मूल विचार है। / Each new right triangle gives the next square root. This is the basic idea of a square root spiral.
\(\sqrt{121}=11\) होता है। (121) पूर्ण वर्ग है, इसलिए उसका वर्गमूल पूर्ण संख्या है। / \(\sqrt{121}=11\). Since (121) is a perfect square, its square root is a whole number.
\(\sqrt{56}\) के साथ (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{57}\) बनता है। पिछले कर्ण की संख्या हमेशा (1) कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{56}\) forms \(\sqrt{57}\). The previous hypotenuse number is always (1) less.
हर नए चरण में (1) इकाई लंब जुड़ती है। इसलिए \(\sqrt{43}\) के बाद \(\sqrt{44}\) बनेगा। / At each new step, a (1) unit perpendicular is added. Therefore \(\sqrt{44}\) will be formed after \(\sqrt{43}\).
(1) इकाई की लंबाई सही लेने के लिए मापक पट्टी उपयोगी है। गलत माप से सर्पिल की लंबाइयाँ गलत हो सकती हैं। / A ruler is useful for taking the (1) unit length correctly. Wrong measurement can make the spiral lengths incorrect.
