Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\le\) स्वसम है क्योंकि \(a\le a\)। / \(\le\) is reflexive because \(a\le a\).
Step 2
Why this answer is correct
यह विरोधी सममित और संक्रमणीय भी है। / It is also antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में हर दो संख्याओं की तुलना \(\le\) से हो सकती है, इसलिए यह पूर्ण क्रम है। / Any two natural numbers are comparable under \(\le\), so it is a total order.
\(f(3)\) ज्ञात करने के लिए फलन में \(x=3\) रखें: \(f(3)=3k+2\)। दिए गए मान के अनुसार \(3k+2=14\), इसलिए \(3k=12\) और \(k=4\)। विकल्प 3 में विद्यार्थी प्रायः \(12\) को 3 से भाग देने के बजाय गलत अंकगणित करते हैं, जबकि 6 और 12 क्रमशः समीकरण को ठीक से हल न करने के परिणाम हो सकते हैं। परीक्षा सुझाव: पहले दिए गए \(x\) का प्रतिस्थापन करें, फिर अज्ञात राशि को अलग करें। / To evaluate \(f(3)\), substitute \(x=3\) into the function: \(f(3)=3k+2\). Since \(f(3)=14\), we have \(3k+2=14\), so \(3k=12\) and \(k=4\). The value 3 usually results from an arithmetic error while solving \(3k=12\); 6 and 12 do not satisfy the original equation. Exam tip: substitute the given input first, isolate the unknown, and verify the result in the original function.
दिए गए फलन में \(x=2\) रखने पर \(f(2)=2^2+k=4+k\) प्राप्त होता है। चूँकि \(f(2)=9\), इसलिए \(4+k=9\), जिससे \(k=5\) मिलता है। विकल्प B (4) गलत है, क्योंकि उसके लिए \(f(2)=4+4=8\) होता। परीक्षा-सुझाव: फलन का मान दिया हो, तो संबंधित \(x\)-मान को पहले फलन में प्रतिस्थापित करके अज्ञात नियतांक ज्ञात करें। / Substitute \(x=2\) into the given function: \(f(2)=2^2+k=4+k\). Since \(f(2)=9\), we get \(4+k=9\), so \(k=5\). Option B (4) is incorrect because it would give \(f(2)=4+4=8\), not 9. Exam tip: when a function value is given, substitute the corresponding input first and then solve for the unknown constant.
दिए गए फलन में (x=2 ) रखने पर (f(2)=22+2k=4+2k ) प्राप्त होता है। क्योंकि (f(2)=12 ), इसलिए 4+2k=12 , जिससे 2k=8 और (k=4 ) मिलता है। अतः सही विकल्प A है। विकल्प B में (2k ) को सही ढंग से अलग नहीं किया गया है, जबकि विकल्प C और D समीकरण हल करने में होने वाली जोड़ या भाग की त्रुटियों से प्राप्त हो सकते हैं। परीक्षा-सुझाव: फलन का मान ज्ञात करते समय दिए गए (x ) के मान को हर स्थान पर सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substituting (x=2 ) into the function gives (f(2)=22+2k=4+2k ). Since (f(2)=12 ), we have 4+2k=12 ), so 2k=8 ) and hence (k=4 ). Therefore, option A is correct. Option B results from failing to isolate (2k ) correctly, while options C and D can result from arithmetic or division errors. Exam tip: substitute the given input into every occurrence of (x ) before simplifying.
संयुक्त फलन \((h\circ g\circ f)(2)\) में फलनों का मान अंदर से बाहर की ओर निकालते हैं। पहले \(f(2)=2-1=1\), फिर \(g(1)=3\times1=3\), और अंत में \(h(3)=3^2+1=10\)। अतः सही उत्तर 10 है। विकल्प B (9) चुनने पर \(h(x)\) में दिए गए \(+1\) को छोड़ दिया जाता है। परीक्षा टिप: \(h\circ g\circ f\) में सबसे पहले \(f\), फिर \(g\), और अंत में \(h\) लगाया जाता है। / In the composite function \((h\circ g\circ f)(2)\), evaluate the functions from the inside outward. First, \(f(2)=2-1=1\); then \(g(1)=3\times1=3\); finally, \(h(3)=3^2+1=10\). Therefore, the correct answer is 10. Option B, 9, results from omitting the \(+1\) in \(h(x)\). Exam tip: in \(h\circ g\circ f\), apply \(f\) first, followed by \(g\), and then \(h\).
A. परावर्ती और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या अपने आप को विभाजित करती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) (b) को और (b) (c) को विभाजित करे तो (a) (c) को विभाजित करता है, इसलिए यह संक्रामक है। / If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सममितता के लिए उल्टा युग्म जरूर जांचें, क्योंकि (1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं। / For symmetry, always check the reverse pair; (1) divides (2) but (2) does not divide (1).
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / ((1,2)) and ((2,1)) both exist, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
जरूरी संयोजन जांचने पर संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Checking all needed chains shows transitivity is not broken, so it is an equivalence relation.
