समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) के लिए सही कथन चुनिए।
For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), choose the correct statement.
#reflexive transitive
#not symmetric
#relations
A यह स्वसम और संक्रमणीय है / It is reflexive and transitive
B यह सममित है / It is symmetric
C यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
D यह स्वसम नहीं है / It is not reflexive
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Correct Answer
A. यह स्वसम और संक्रमणीय है / It is reflexive and transitive
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) या ((1,3)) से कोई ऐसा नया जुड़ा युग्म नहीं बनता जो गायब हो। / ((1,2)) or ((1,3)) does not create any missing linked conclusion.
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए यह सममित नहीं, पर संक्रमणीय हो सकता है। / Reverse pairs are absent, so it is not symmetric, but it can be transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) आंशिक क्रम है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) a partial order?
#partial order
#small relation
#types of relations
A हाँ / Yes
B नहीं, क्योंकि स्वसमता नहीं है / No, because reflexivity is absent
C नहीं, क्योंकि विरोधी सममितता नहीं है / No, because antisymmetry is absent
D नहीं, क्योंकि कोई अपना युग्म नहीं है / No, because no self-pair is present
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म होने से स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। / No reverse pair for unequal elements appears, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
जुड़े युग्मों से कोई जरूरी युग्म गायब नहीं, इसलिए संक्रमणीयता भी है। / No required linked pair is missing, so it is also transitive.
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कौन-सा संबंध न स्वसम है, न सममित है, पर विरोधी सममित और संक्रमणीय है?
Which relation is neither reflexive nor symmetric, but antisymmetric and transitive?
#less than relation
#antisymmetric transitive
#relations
A वास्तविक संख्याओं पर (<) / (<) on real numbers
B वास्तविक संख्याओं पर (=) / (=) on real numbers
C सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
D समान शेष संबंध / Same remainder relation
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Correct Answer
A. वास्तविक संख्याओं पर (<) / (<) on real numbers
Step 1
Concept
(a<a) असत्य है, इसलिए (<) स्वसम नहीं है।
Step 2
Why this answer is correct
(a<b) होने पर (b<a) नहीं होता, इसलिए सममितता नहीं है और विरोधी सममितता नहीं टूटती। / If (a<b), then (b<a) is false, so symmetry fails and antisymmetry is not violated.
Step 3
Exam Tip
(a<b) और (b<c) से (a<c), इसलिए संक्रमणीयता है।
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कौन-सा संबंध स्वसम, सममित, विरोधी सममित और संक्रमणीय चारों हो सकता है?
Which relation can be reflexive, symmetric, antisymmetric and transitive all together?
#identity relation
#all properties
#relations
A तत्समक संबंध / Identity relation
B सार्वत्रिक संबंध दो अवयवों पर / Universal relation on two elements
C समान शेष संबंध जिसमें अलग अवयव जुड़े हों / Same remainder relation with different elements related
D केवल (<) संबंध / Only (<) relation
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Correct Answer
A. तत्समक संबंध / Identity relation
Step 1
Concept
तत्समक संबंध में हर अपने युग्म होता है, इसलिए स्वसमता है। / Identity relation has every self-pair, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अपने युग्म अपने ही उल्टे हैं, इसलिए सममितता है। / Self-pairs are their own reverses, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
असमान उल्टे युग्म नहीं होते और संक्रमणीयता भी पूरी रहती है। / There are no reverse pairs for unequal elements and transitivity also holds.
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यदि (R) केवल अपने युग्मों से बना है, तो (R) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) consists only of self-pairs, which statement about (R) is correct?
#self pairs
#symmetric antisymmetric
#identity type
A यह सममित और विरोधी सममित दोनों होगा / It will be both symmetric and antisymmetric
B यह कभी सममित नहीं होगा / It will never be symmetric
C यह हमेशा सार्वत्रिक होगा / It will always be universal
D यह कभी संक्रमणीय नहीं होगा / It will never be transitive
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Correct Answer
A. यह सममित और विरोधी सममित दोनों होगा / It will be both symmetric and antisymmetric
Step 1
Concept
अपने युग्म का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए सममितता पूरी होती है। / The reverse of a self-pair is the same pair, so symmetry holds.
Step 2
Why this answer is correct
असमान अवयवों के दोनों दिशाओं वाले युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / There are no two-way pairs between unequal elements, so antisymmetry also holds.
Step 3
Exam Tip
केवल अपने युग्मों वाले संबंधों में दोनों गुण साथ मिल सकते हैं। / Relations with only self-pairs can satisfy both properties.
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यदि (R) सममित है और (R) में ((1,2),(2,3)) हैं, तो सममितता से कौन-से युग्म अवश्य मिलेंगे?
If (R) is symmetric and contains ((1,2),(2,3)), which pairs must be present by symmetry?
#symmetric relation
#reverse pair
#exam mcq
A ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
B ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
C ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
D ((3,3)) और ((1,1)) / ((3,3)) and ((1,1))
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Correct Answer
A. ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
Step 1
Concept
सममितता प्रत्येक युग्म का उल्टा युग्म देती है। / Symmetry gives the reverse of each pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलेगा। / ((1,2)) gives ((2,1)), and ((2,3)) gives ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
((1,3)) संक्रमणीयता से आ सकता है, सममितता से नहीं। / ((1,3)) may come from transitivity, not symmetry.
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यदि (R) संक्रमणीय है और (R) में ((1,2),(2,3),(3,4)) हैं, तो कौन-सा युग्म अवश्य होगा?
If (R) is transitive and contains ((1,2),(2,3),(3,4)), which pair must be present?
#transitive relation
#chain property
#ordered pairs
A ((1,4))
B ((4,1))
C ((2,1))
D ((3,1))
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Correct Answer
A. ((1,4))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलेगा। / From ((1,2)) and ((2,3)), we get ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मिलेगा। / Then from ((1,3)) and ((3,4)), we get ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
लंबी कड़ी में संक्रमणीयता को क्रम से लगाएँ। / Apply transitivity step by step in a chain.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (a) का वर्ग ({a,b,c}) है, तो (b) का वर्ग क्या होगा?
If (R) is an equivalence relation and the class of (a) is ({a,b,c}), what is the class of (b)?
#equivalence class
#partition property
#relations
A ({a,b,c})
B ({b})
C ({a,c})
D कह नहीं सकते / Cannot say
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Correct Answer
A. ({a,b,c})
Step 1
Concept
तुल्यता वर्गों में एक ही वर्ग के सभी अवयव समान समूह साझा करते हैं। / In equivalence classes, all elements of the same class share the same group.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b), (a) के वर्ग में है, तो (b) का वर्ग भी वही होगा। / Since (b) is in the class of (a), the class of (b) is the same.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या बिल्कुल अलग होते हैं। / Equivalence classes are either identical or disjoint.
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तुल्यता संबंध से बने दो तुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about two equivalence classes formed by an equivalence relation?
#equivalence classes
#partition
#concept mcq
A वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे / They are either identical or disjoint
B वे हमेशा आंशिक रूप से मिलेंगे / They always partially overlap
C वे कभी समान नहीं हो सकते / They can never be identical
D वे हमेशा रिक्त होंगे / They are always empty
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Correct Answer
A. वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे / They are either identical or disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into separate classes.
Step 2
Why this answer is correct
किसी अवयव को दो अलग वर्गों में आधा-आधा नहीं रखा जा सकता। / An element cannot belong partly to two different classes.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दो वर्ग या तो एक जैसे होंगे या बिल्कुल अलग होंगे। / Hence two classes are either identical or disjoint.
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यदि किसी संबंध से समुच्चय (A) का विभाजन बनता है, तो वह संबंध सामान्यतः किस प्रकार से जुड़ा होता है?
If a relation creates a partition of set (A), it is generally connected with which type of relation?
#partition
#equivalence relation
#relations concept
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल रिक्त संबंध / Only empty relation
C केवल सार्वत्रिक संबंध / Only universal relation
D केवल असममित संबंध / Only asymmetric relation
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को तुल्यता वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
ये वर्ग मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं और आपस में अलग रहते हैं। / These classes together cover the set and remain disjoint.
Step 3
Exam Tip
विभाजन दिखे तो तुल्यता संबंध का विचार करें। / When you see a partition, think of an equivalence relation.
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