Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(R\cap S\) हमेशा संक्रमण होगा/\(R\cap S\) is always transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में होंगे। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) संक्रमण हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा और इस कारण \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both are transitive, ((a,c)) is in both, hence in \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में दोनों संबंधों की शर्त साथ-साथ चलती है। / In intersection, both relation conditions work together.
अलग-अलग संबंधों में बनी श्रृंखलाएं संघ में मिलकर नई जरूरत बना सकती हैं। / Chains from different relations may combine inside the union.
Step 2
Why this answer is correct
हो सकता है ((a,b)) एक संबंध से आए और ((b,c)) दूसरे से, पर ((a,c)) संघ में न हो। / It is possible that ((a,b)) comes from one relation and ((b,c)) from another, but ((a,c)) is not in the union.
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए हमेशा अलग से जांच जरूरी है। / The union must be checked separately.
A. \(R^{-1}\) भी संक्रमण होगा/\(R^{-1}\) will also be transitive
Step 1
Concept
\(R^{-1}\) में ((a,b)) होने का अर्थ है कि (R) में ((b,a)) है। / \((a,b)\in R^{-1}\) means \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(R^{-1}\) में ((a,b)) और ((b,c)) हैं, तो (R) में ((b,a)) और ((c,b)) हैं; संक्रमण से (R) में ((c,a)) होगा, इसलिए \(R^{-1}\) में ((a,c)) होगा। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R); transitivity gives \((c,a)\in R\), hence \((a,c)\in R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है, पर संक्रमण बचा रहता है। / Inverse reverses order, but transitivity remains.
दिया गया (R) क्रम (1) से (2) से (3) तक बढ़ने जैसा है और इसमें जरूरी सीधी जोड़ियां हैं। / The given (R) acts like an increasing chain from (1) to (2) to (3) and includes the required direct pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण रहता है। / The inverse of a transitive relation is also transitive.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाते समय हर जोड़ी उलटेगी, पर श्रृंखला की शर्त बनी रहेगी। / While taking inverse, every pair reverses, but the chain condition remains valid.
यदि (a), (b) का गुणनखंड है और (b), (c) का गुणनखंड है, तो (a), (c) का भी गुणनखंड होगा। / If (a) is a factor of (b) and (b) is a factor of (c), then (a) is a factor of (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध संक्रमण है। / Therefore the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड और विभाज्यता की भाषा अलग हो सकती है, पर तर्क वही रहता है। / Factor and divisibility language may differ, but the logic is the same.
