Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. सार्वत्रिक संबंध और तुल्यता संबंध/Universal relation and equivalence relation
Step 1
Concept
समुच्चय के सभी तत्व (4) से बड़े नहीं हैं। / Every element of the set is not greater than (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर \(a,b\in A\) के लिए ((a,b)) संबंध में होगा। / Hence every ((a,b)) with \(a,b\in A\) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
जब सभी युग्म मौजूद हों, तो संबंध सार्वत्रिक और साथ ही तुल्यता संबंध होता है। / When all pairs are present, the relation is universal and also an equivalence relation.
(a=a) होने से हर संख्या अपने आप से संबंधित है, इसलिए परावर्ती है। / Since (a=a), every number is related to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=b) या (a=-b), तो उल्टा संबंध भी वही शर्त पूरी करता है, इसलिए सममितता है। / If (a=b) or (a=-b), the reverse relation satisfies the same condition, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह समान निरपेक्ष मान वाले तत्वों का संबंध है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / This is the relation of equal absolute values, so transitivity also holds.
हर तत्व अपने ही (3) से विभाज्यता प्रकार में आता है, इसलिए परावर्तन है। / Every element belongs to the same divisibility-by-(3) type as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान प्रकार का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The same type condition is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की श्रृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / A chain within the same type remains in that type, so transitivity holds.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs for ((1,2)) and ((2,4)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is required but missing, so it is not transitive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
((3,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / ((3,3)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म मौजूद हैं और (3) से कोई श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए संक्रामकता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and no chain involves (3), so transitivity holds.
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई संख्या अपने आप से (2) कम नहीं हो सकती, इसलिए परावर्ती नहीं है। / No number can be at least (2) less than itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a), (b) से कम है, तो उल्टा सही नहीं होगा, इसलिए सममित नहीं। / If (a) is less than (b), the reverse cannot hold, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\le b-2\) और \(b\le c-2\), तो \(a\le c-4\), इसलिए (a) (c) से कम से कम (2) कम है। / If \(a\le b-2\) and \(b\le c-2\), then \(a\le c-4\), so (a) is at least (2) less than (c).
तुल्यता संबंध में सममितता हमेशा होती है। / Every equivalence relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) होने पर सममितता से (bRa) अनिवार्य रूप से मिलेगा। / If (aRb), symmetry necessarily gives (bRa).
Step 3
Exam Tip
किसी तीसरे तत्व (c) से जुड़ा निष्कर्ष बिना अतिरिक्त सूचना के नहीं निकाला जाता। / No statement involving an arbitrary third element (c) follows without more information.
