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Mathematics Equivalence relation MCQ Questions for Class 12 General

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Equivalence relation Practice Questions

Showing 311-320 of 600 questions.

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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (4) या (6) से विभाज्य हो। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (4) or by (6). Why is this relation not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. संक्रमणता टूटती हैTransitivity fails

Step 1

Concept

(0-4=-4) (4) से विभाज्य है और (4-10=-6) (6) से विभाज्य है। / (0-4=-4) is divisible by (4), and (4-10=-6) is divisible by (6).

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (0-10=-10) न (4) से और न (6) से विभाज्य है। / But (0-10=-10) is divisible by neither (4) nor (6).

Step 3

Exam Tip

इसलिए दो जुड़े युग्म होने पर तीसरा जरूरी युग्म नहीं मिलता, अतः संक्रमणता टूटती है। / Thus transitivity fails.

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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\sin a=\sin b\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) holds when \(\sin a=\sin b\). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(\sin a=\sin a\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\sin a=\sin a\), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(\sin a=\sin b\), तो \(\sin b=\sin a\), इसलिए सममितता है। / If \(\sin a=\sin b\), then \(\sin b=\sin a\), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

समान फलन मान की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of function values is transitive, so this is an equivalence relation.

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वास्तविक संख्याओं पर \(\sin a=\sin b\) वाले संबंध में (0) के वर्ग का सही रूप कौन सा है?

For the relation \(\sin a=\sin b\) on real numbers, which is the correct form of the class of (0)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. \({n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)

Step 1

Concept

(0) के लिए \(\sin 0=0\) है। / For (0), \(\sin 0=0\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\sin x=0\) के हल \(x=n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। / The solutions of \(\sin x=0\) are \(x=n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलन वाले वर्गों में सभी समान फलन मान वाले कोण शामिल करें। / For trigonometric function classes, include all angles with the same function value.

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या समान हो। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same number of prime factors counted with repetition. Which is the equivalence class of (6)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. ({4,6,9})

Step 1

Concept

\(6=2\cdot3\), इसलिए इसमें दो अभाज्य गुणनखंड हैं। / \(6=2\cdot3\), so it has two prime factors with repetition.

Step 2

Why this answer is correct

\(4=2^2\) और \(9=3^2\) में भी दो अभाज्य गुणनखंड हैं। / \(4=2^2\) and \(9=3^2\) also have two prime factors.

Step 3

Exam Tip

गुणनखंडों की संख्या गिनते समय पुनरावृत्ति को भी गिनना है। / Count repeated prime factors when the condition says so.

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के (2) से भाग देने पर शेष और (3) से भाग देने पर शेष दोनों समान हों। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder modulo (2) and also the same remainder modulo (3). Which is the equivalence class of (5)?

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Correct Answer

A. ({5})

Step 1

Concept

दो संख्याओं के शेष (2) और (3) दोनों मापांकों पर समान होने चाहिए। / The two numbers must have the same remainders modulo (2) and modulo (3).

Step 2

Why this answer is correct

यह असल में (6) से समान शेष जैसा है। / This is the same as having the same remainder modulo (6).

Step 3

Exam Tip

दिए गए समुच्चय में (5) जैसा (6) से शेष (5) केवल (5) का है। / In the given set, only (5) has remainder (5) modulo (6).

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (10) से समान महत्तम समापवर्तक रखते हों। कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same greatest common divisor with (10). How many equivalence classes are formed?

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Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

(\gcd(a,10)) के संभावित मान (1,2,5,10) हैं। / The possible values of (\gcd(a,10)) are (1,2,5,10).

Step 2

Why this answer is correct

इन चार अलग मानों से चार अलग तुल्यता वर्ग बनते हैं। / These four distinct values create four equivalence classes.

Step 3

Exam Tip

समान फलन मानों की संख्या ही वर्गों की संख्या देती है। / The number of distinct function values gives the number of classes.

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (\gcd(a,10)=\gcd(b,10)) से बने संबंध में (8) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), for the relation (\gcd(a,10)=\gcd(b,10)), which is the equivalence class of (8)?

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Correct Answer

A. ({2,4,6,8})

Step 1

Concept

(\gcd(8,10)=2) है। / (\gcd(8,10)=2).

Step 2

Why this answer is correct

(2,4,6,8) सभी का (10) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है। / (2,4,6,8) all have greatest common divisor (2) with (10).

Step 3

Exam Tip

समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व ही उसी वर्ग में आएँगे। / Only elements with the same greatest common divisor belong to the class.

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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (aRb) तब है जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। (-1.2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\mathbb{R}\), (aRb) holds when \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\). Which is the equivalence class of (-1.2)?

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Correct Answer

A. ([-2,-1))

Step 1

Concept

\(\lfloor -1.2\rfloor=-2\) है। / \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\).

Step 2

Why this answer is correct

जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (-2) है, वे ([-2,-1)) में आती हैं। / Real numbers with floor value (-2) lie in ([-2,-1)).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक संख्याओं में पूर्णांक भाग निकालते समय बाएँ छोटे पूर्णांक पर ध्यान दें। / For negative numbers, be careful that the floor goes to the smaller integer.

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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), (bRc), (cRd) हैं, तो कौन सा निष्कर्ष अवश्य सही है?

If (R) is an equivalence relation and (aRb), (bRc), (cRd), which conclusion must be true?

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Correct Answer

A. (aRd)

Step 1

Concept

(aRb) और (bRc) से संक्रमणता द्वारा (aRc) मिलता है। / From (aRb) and (bRc), transitivity gives (aRc).

Step 2

Why this answer is correct

(aRc) और (cRd) से फिर संक्रमणता द्वारा (aRd) मिलता है। / From (aRc) and (cRd), transitivity gives (aRd).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में एक श्रृंखला के सभी तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, all elements connected in a chain lie in the same class.

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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\cap[c]\neq\varnothing\), तो कौन सा कथन सही है?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\cap[c]\neq\varnothing\), which statement is correct?

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Correct Answer

A. ([a]=[b]=[c])

Step 1

Concept

तीनों वर्गों में कोई एक समान तत्व है। / The three classes share at least one common element.

Step 2

Why this answer is correct

दो तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली न हो तो वे समान होते हैं। / If two equivalence classes have non-empty intersection, they are equal.

Step 3

Exam Tip

यही बात तीनों पर लागू होगी, इसलिए तीनों वर्ग समान हैं। / Applying this to all three classes gives ([a]=[b]=[c]).

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