Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह बंद है और (1) तत्समक है/It is closed and (1) is identity
Step 1
Concept
दिए गए अवयवों के गुणनफल का (6) से शेष फिर (1,2,4,5) में ही आता है; जैसे (2*4=2), (5*5=1)। / Products of the given elements modulo (6) again lie in (1,2,4,5); for example, (2*4=2), (5*5=1).
Step 2
Why this answer is correct
(1*a=a) और (a*1=a), इसलिए (1) तत्समक है। / (1*a=a) and (a*1=a), so (1) is the identity.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में कुछ नमूना गुणन देखकर बंदता का ढाँचा समझें। / For a finite set, sample products reveal the closure pattern.
तत्समक (0) है क्योंकि (a+0-0=a)। / The identity is (0) because (a+0-0=a).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-2ax=0), अतः (x(1-2a)=-a)। / For inverse (x), (a+x-2ax=0), so (x(1-2a)=-a).
Step 3
Exam Tip
\(a=\frac{1}{2}\) पर गुणक शून्य हो जाता है और समीकरण असंभव बनता है, इसलिए इसका प्रतिलोम नहीं। / At \(a=\frac{1}{2}\), the coefficient becomes zero and the equation is impossible, so it has no inverse.
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0) से (a+x-2ax=0) मिलता है। / From (a*x=0), (a+x-2ax=0).
Step 3
Exam Tip
(x(1-2a)=-a), अतः \(x=\frac{-a}{1-2a}\); हटाया गया अवयव हर को शून्य होने से बचाता है। / Thus (x(1-2a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1-2a}\); the excluded element prevents a zero denominator.
द्विआधारी क्रिया \(A\times A\) से (A) में फलन होती है। / A binary operation is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) विकल्प हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) possible outputs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) है; इसे याद रखने के बजाय फलन की गिनती से समझें। / Therefore the total number is \(n^{n^2}\); understand it through function counting, not rote memory.
क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। / In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी। / Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
