Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (4) पर खाली गोला और दाईं ओर रेखा/Open circle at (4) and line to the right
Step 1
Concept
In (>), the boundary number is not included, so use an open circle. In exams, decide direction from the inequality sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4) पर खाली गोला और दाईं ओर रेखा / Open circle at (4) and line to the right. In (>), the boundary number is not included, so use an open circle. In exams, decide direction from the inequality sign.
Step 3
Exam Tip
(>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली गोला लगेगा। परीक्षा में दिशा चिन्ह से तय करें।
C. (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (-2) and ray to the right
Step 1
Concept
The sign \(\ge\) includes equality so the dot is closed. In exams always check the direction toward greater values.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा / Closed dot at (-2) and ray to the right. The sign \(\ge\) includes equality so the dot is closed. In exams always check the direction toward greater values.
Step 3
Exam Tip
चिह्न \(\ge\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए बंद बिंदु लगेगा। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़े मानों की ओर देखें।
B. (-3) पर भरा गोला और बाईं ओर रेखा/Closed circle at (-3) and line to the left
Step 1
Concept
In \(\le\), the boundary number is included and smaller numbers lie to the left. In exams, a closed circle means included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-3) पर भरा गोला और बाईं ओर रेखा / Closed circle at (-3) and line to the left. In \(\le\), the boundary number is included and smaller numbers lie to the left. In exams, a closed circle means included.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) में सीमा संख्या शामिल होती है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। परीक्षा में भरे गोले का अर्थ शामिल समझें।
B. (-4) पर खुला बिंदु और (1) पर बंद बिंदु/Open dot at (-4) and closed dot at (1)
Step 1
Concept
A round bracket endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. In exams remember (() means open and ([) means closed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-4) पर खुला बिंदु और (1) पर बंद बिंदु / Open dot at (-4) and closed dot at (1). A round bracket endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. In exams remember (() means open and ([) means closed.
Step 3
Exam Tip
गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता और वर्ग कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है। परीक्षा में (() को खुला और ([) को बंद याद रखें।
A. (2) पर खाली गोला (7) पर भरा गोला और बीच का भाग/Open circle at (2) closed circle at (7) and shaded between
Step 1
Concept
The bracket (() means not included and (]) means included. In exams, choose the circle type from the bracket.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2) पर खाली गोला (7) पर भरा गोला और बीच का भाग / Open circle at (2) closed circle at (7) and shaded between. The bracket (() means not included and (]) means included. In exams, choose the circle type from the bracket.
Step 3
Exam Tip
(() का अर्थ सीमा शामिल नहीं और (]) का अर्थ सीमा शामिल है। परीक्षा में कोष्ठक देखकर गोला चुनें।
The open dot shows that (3.5) is not included and the left direction shows smaller values. In exams write a strict inequality for an open dot.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (x<3.5). The open dot shows that (3.5) is not included and the left direction shows smaller values. In exams write a strict inequality for an open dot.
Step 3
Exam Tip
खुला बिंदु बताता है कि (3.5) शामिल नहीं है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में खुले बिंदु के लिए सख्त असमानता लिखें।
A. (5) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (5) and ray to the right
Step 1
Concept
Solving gives \(x\ge 5\) so (5) is included and the ray goes right. In exams simplify the inequality first then draw the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (5) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा / Closed dot at (5) and ray to the right. Solving gives \(x\ge 5\) so (5) is included and the ray goes right. In exams simplify the inequality first then draw the number line.
Step 3
Exam Tip
हल करने पर \(x\ge 5\) मिलता है इसलिए (5) शामिल है और रेखा दाईं ओर जाएगी। परीक्षा में पहले असमानता सरल करें फिर संख्या रेखा बनाएं।
B. (-4) पर भरा गोला और (2) पर खाली गोला/Closed circle at (-4) and open circle at (2)
Step 1
Concept
The number (-4) is included but (2) is not included. In exams, treat \(\le\) as closed and (<) as open.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-4) पर भरा गोला और (2) पर खाली गोला / Closed circle at (-4) and open circle at (2). The number (-4) is included but (2) is not included. In exams, treat \(\le\) as closed and (<) as open.
Step 3
Exam Tip
(-4) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। परीक्षा में \(\le\) को भरा और (<) को खाली गोला मानें।
A closed circle includes (6), and numbers to the right are greater. In exams, always use an open bracket with \(\infty\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \([6,\infty\)). A closed circle includes (6), and numbers to the right are greater. In exams, always use an open bracket with \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
भरा गोला (6) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। परीक्षा में \(\infty\) के साथ हमेशा खुला कोष्ठक रखें।
A. \(x\ge 3\) इसलिए (3) पर भरा गोला और दाईं ओर/\(x\ge 3\), so closed circle at (3) and right side
Step 1
Concept
Solving gives \(3x\ge 9\) and \(x\ge 3\). In exams, solve first and then draw the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge 3\) इसलिए (3) पर भरा गोला और दाईं ओर / \(x\ge 3\), so closed circle at (3) and right side. Solving gives \(3x\ge 9\) and \(x\ge 3\). In exams, solve first and then draw the number line.
Step 3
Exam Tip
हल करने पर \(3x\ge 9\) और \(x\ge 3\) मिलता है। परीक्षा में पहले हल करें फिर संख्या रेखा बनाएं।
A. (x<4) इसलिए (4) पर खाली गोला और बाईं ओर/(x<4), so open circle at (4) and left side
Step 1
Concept
The solution is (2x<8), so (x<4). In exams, use an open circle for a strict inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x<4) इसलिए (4) पर खाली गोला और बाईं ओर / (x<4), so open circle at (4) and left side. The solution is (2x<8), so (x<4). In exams, use an open circle for a strict inequality.
Step 3
Exam Tip
हल (2x<8) से (x<4) है। परीक्षा में कठोर असमानता के लिए खाली गोला लगाएँ।
Dividing all parts by (2) gives \(-3\le x\le 5\). In exams, apply the same operation to every part of a compound inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ([-3,5]). Dividing all parts by (2) gives \(-3\le x\le 5\). In exams, apply the same operation to every part of a compound inequality.
Step 3
Exam Tip
सभी भागों को (2) से भाग देने पर \(-3\le x\le 5\) मिलता है। परीक्षा में संयुक्त असमानता में हर भाग पर वही क्रिया करें।
A closed circle includes (7), and the left side contains numbers less than (7). In exams, add equality when you see a closed circle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x\le 7\). A closed circle includes (7), and the left side contains numbers less than (7). In exams, add equality when you see a closed circle.
Step 3
Exam Tip
भरा गोला (7) को शामिल करता है और बाईं ओर (7) से छोटी संख्याएँ हैं। परीक्षा में भरा गोला देखकर बराबरी का चिन्ह जोड़ें।
C. इसमें (-2) शामिल नहीं है पर (4) शामिल है/It does not include (-2) but includes (4)
Step 1
Concept
The bracket (() means (-2) is out and (]) means (4) is in. In exams, check left and right brackets separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. इसमें (-2) शामिल नहीं है पर (4) शामिल है / It does not include (-2) but includes (4). The bracket (() means (-2) is out and (]) means (4) is in. In exams, check left and right brackets separately.
Step 3
Exam Tip
(() का अर्थ (-2) बाहर और (]) का अर्थ (4) अंदर है। परीक्षा में बाएँ और दाएँ कोष्ठक अलग-अलग जाँचें।
The first part is less than (-1), and the second part is (3) and greater. In exams, read \(\cup\) as or.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x<-1) या \(x\ge 3\) / (x<-1) or \(x\ge 3\). The first part is less than (-1), and the second part is (3) and greater. In exams, read \(\cup\) as or.
Step 3
Exam Tip
पहला भाग (-1) से छोटा है और दूसरा भाग (3) सहित उससे बड़ा है। परीक्षा में \(\cup\) को या के रूप में पढ़ें।
\([3,\infty\)) extends endlessly to the right, so it has no final right endpoint. In exams, do not treat \(\infty\) as an actual point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \([3,\infty\)). \([3,\infty\)) extends endlessly to the right, so it has no final right endpoint. In exams, do not treat \(\infty\) as an actual point.
Step 3
Exam Tip
\([3,\infty\)) दाईं ओर अनंत तक जाता है इसलिए अंतिम दायाँ बिंदु नहीं है। परीक्षा में \(\infty\) को वास्तविक बिंदु न मानें।
D. सभी (0) से छोटी वास्तविक संख्याएँ/All real numbers less than (0)
Step 1
Concept
(\(-\infty,0\)) excludes (0) and contains all real numbers less than it. In exams, pay attention to the open bracket.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. सभी (0) से छोटी वास्तविक संख्याएँ / All real numbers less than (0). (\(-\infty,0\)) excludes (0) and contains all real numbers less than it. In exams, pay attention to the open bracket.
Step 3
Exam Tip
(\(-\infty,0\)) में (0) शामिल नहीं है और उससे छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। परीक्षा में खुले कोष्ठक का ध्यान रखें।
Only separate integer points are filled, so \(x\in\mathbb{Z}\). In exams, distinguish a shaded line segment from separate points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({x\in\mathbb{Z}:-3\le x\le 1}\). Only separate integer points are filled, so \(x\in\mathbb{Z}\). In exams, distinguish a shaded line segment from separate points.
Step 3
Exam Tip
केवल अलग-अलग पूर्णांक बिंदु भरे हैं इसलिए \(x\in\mathbb{Z}\) होगा। परीक्षा में रेखा और अलग बिंदुओं में अंतर पहचानें।
Solving gives \(-2x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 2\). In exams, reversing the sign is essential.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x\ge 2\). Solving gives \(-2x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 2\). In exams, reversing the sign is essential.
Step 3
Exam Tip
हल करने पर \(-2x\le -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 2\) मिलता है। परीक्षा में चिन्ह पलटना जरूरी है।
Subtracting (1) from all parts gives \(3<x\le 7\). In exams, change both boundaries together in a compound inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((3,7]). Subtracting (1) from all parts gives \(3<x\le 7\). In exams, change both boundaries together in a compound inequality.
Step 3
Exam Tip
सभी भागों में (1) घटाने पर \(3<x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएँ साथ बदलें।
B. केवल (2) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (2)
Step 1
Concept
([2,2]) contains only (2). In exams, treat a closed interval with equal endpoints as a single point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. केवल (2) पर भरा बिंदु / Only a closed point at (2). ([2,2]) contains only (2). In exams, treat a closed interval with equal endpoints as a single point.
Step 3
Exam Tip
([2,2]) में केवल (2) शामिल होता है। परीक्षा में समान सीमाओं वाले बंद अंतराल को एक बिंदु मानें।
No number can be greater than (3) and less than (3) at the same time. In exams, an open interval with equal endpoints is empty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. रिक्त समुच्चय / Empty set. No number can be greater than (3) and less than (3) at the same time. In exams, an open interval with equal endpoints is empty.
Step 3
Exam Tip
कोई संख्या (3) से बड़ी और (3) से छोटी साथ-साथ नहीं हो सकती। परीक्षा में समान सीमाओं वाले खुले अंतराल को रिक्त मानें।
A. पूरी संख्या रेखा पर रेखा और (2) पर खाली गोला/Whole number line shaded with an open circle at (2)
Step 1
Concept
In \(x\neq 2\), all real numbers except (2) are included. In exams, show the excluded point with an open circle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूरी संख्या रेखा पर रेखा और (2) पर खाली गोला / Whole number line shaded with an open circle at (2). In \(x\neq 2\), all real numbers except (2) are included. In exams, show the excluded point with an open circle.
Step 3
Exam Tip
\(x\neq 2\) में (2) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में हटाए गए बिंदु को खाली गोले से दिखाएँ।
For any real (x), \(x^2\) is never negative. In exams, represent an always true inequality by the whole line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूरी संख्या रेखा / Entire number line. For any real (x), \(x^2\) is never negative. In exams, represent an always true inequality by the whole line.
Step 3
Exam Tip
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2\) ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा में सार्वत्रिक सत्य असमानता को पूरी रेखा से दिखाएँ।
The square of a real number is never less than (0). In exams, write an impossible condition as the empty set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. रिक्त समुच्चय / Empty set. The square of a real number is never less than (0). In exams, write an impossible condition as the empty set.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्या का वर्ग कभी (0) से छोटा नहीं होता। परीक्षा में असंभव शर्त को रिक्त समुच्चय लिखें।
\(|x|\ge 4\) means the distance from (0) is at least (4). In exams, when distance is greater, take the outside parts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\(-\infty,-4]\cup[4,\infty\)). \(|x|\ge 4\) means the distance from (0) is at least (4). In exams, when distance is greater, take the outside parts.
Step 3
Exam Tip
\(|x|\ge 4\) का अर्थ (0) से दूरी कम से कम (4) है। परीक्षा में दूरी अधिक हो तो बाहरी भाग लें।
B. पूरी संख्या रेखा पर (1) को छोड़कर/Entire number line except (1)
Step 1
Concept
The two parts take all values less than and greater than (1), but not (1). In exams, combine both parts for union.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पूरी संख्या रेखा पर (1) को छोड़कर / Entire number line except (1). The two parts take all values less than and greater than (1), but not (1). In exams, combine both parts for union.
Step 3
Exam Tip
दोनों भाग (1) से छोटे और बड़े सभी मान लेते हैं पर (1) नहीं लेते। परीक्षा में संघ में दोनों भाग जोड़ें।
The first part is open up to (2), and the second starts at (2) included, so no gap remains. In exams, merge connected intervals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-3,5]). The first part is open up to (2), and the second starts at (2) included, so no gap remains. In exams, merge connected intervals.
Step 3
Exam Tip
पहला भाग (2) तक खुला है और दूसरा (2) से शुरू होकर शामिल है इसलिए बीच में अंतर नहीं रहता। परीक्षा में जुड़े हुए अंतराल को मिलाकर लिखें।
A. (x>7) इसलिए (7) पर खाली गोला और दाईं ओर/(x>7), so open circle at (7) and right side
Step 1
Concept
Multiplying both sides by (3) gives (x-1>6), so (x>7). In exams, find the boundary first and then choose circle and direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x>7) इसलिए (7) पर खाली गोला और दाईं ओर / (x>7), so open circle at (7) and right side. Multiplying both sides by (3) gives (x-1>6), so (x>7). In exams, find the boundary first and then choose circle and direction.
Step 3
Exam Tip
दोनों ओर (3) से गुणा कर (x-1>6) और (x>7) मिलता है। परीक्षा में पहले सीमा मान निकालें फिर गोला और दिशा तय करें।
