None of them is divisible by (2), so they are odd natural numbers.
Step 3
Exam Tip
To describe a set, identify the common property of all elements. चरण 1: दिए गए अवयव (1,3,5,7) हैं। चरण 2: ये सभी (2) से विभाजित नहीं होते, इसलिए विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 3: समुच्चय का वर्णन करते समय सभी अवयवों की साझा विशेषता पहचानें।
In (x<5), do not include (5). चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (5) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 3: (x<5) में (5) को शामिल न करें।
In roster form, elements are written directly inside braces.
Step 2
Why this answer is correct
Here (0,1,2,3) are listed separately, so it is roster form.
Step 3
Exam Tip
In exams, directly listed elements help you identify roster form quickly. चरण 1: सूची रूप में अवयवों को सीधे घुमावदार कोष्ठक में लिखा जाता है। चरण 2: यहाँ (0,1,2,3) अलग-अलग लिखे हैं, इसलिए यह सूची रूप है। चरण 3: परीक्षा में सीधे लिखे अवयव देखकर सूची रूप जल्दी पहचानें।
A. (20) से छोटी सम प्राकृतिक संख्याओं का संग्रह/Collection of even natural numbers less than (20)
Step 1
Concept
A set must be clearly defined.
Step 2
Why this answer is correct
Even natural numbers less than (20) can be identified definitely.
Step 3
Exam Tip
Words like good, beautiful, or difficult may depend on opinion. चरण 1: समुच्चय बनने के लिए संग्रह स्पष्ट होना चाहिए। चरण 2: (20) से छोटी सम प्राकृतिक संख्याएँ निश्चित रूप से पहचानी जा सकती हैं। चरण 3: अच्छे, सुंदर या कठिन जैसे शब्द मत पर निर्भर हो सकते हैं।
C. मनपसंद रंगों का संग्रह/Collection of favourite colors
Step 1
Concept
Membership in a set must be clear.
Step 2
Why this answer is correct
Favourite colors may change from person to person, so the collection is not definite.
Step 3
Exam Tip
Be careful with collections based on opinion or preference. चरण 1: समुच्चय में सदस्यता स्पष्ट होनी चाहिए। चरण 2: मनपसंद रंग अलग-अलग लोगों के लिए बदल सकते हैं, इसलिए यह निश्चित संग्रह नहीं है। चरण 3: मत या पसंद पर आधारित संग्रहों को समुच्चय मानने में सावधानी रखें।
In digit questions, do not treat (10) as a digit. चरण 1: अंक (0) से (9) तक होते हैं। चरण 2: (6) से बड़े अंक (7,8,9) हैं। चरण 3: अंक वाले प्रश्नों में (10) को अंक न मानें।
A. (20) से छोटी (2) की घातें/Powers of (2) less than (20)
Step 1
Concept
(2,4,8,16) can be written as \(2^1,2^2,2^3,2^4\).
Step 2
Why this answer is correct
These are powers of (2) less than (20).
Step 3
Exam Tip
While choosing a description, check the rule that fits all elements. चरण 1: (2,4,8,16) को \(2^1,2^2,2^3,2^4\) लिखा जा सकता है। चरण 2: ये सभी (20) से छोटी (2) की घातें हैं। चरण 3: वर्णन चुनते समय सभी अवयवों पर लागू होने वाला नियम देखें।
A set with exactly one element is called a singleton set.
Step 2
Why this answer is correct
(G) contains only (5), so it is a singleton set.
Step 3
Exam Tip
Understand that ({5}) and \(\varnothing\) are different. चरण 1: जिस समुच्चय में केवल एक अवयव हो, उसे एकल समुच्चय कहते हैं। चरण 2: (G) में केवल (5) है, इसलिए यह एकल समुच्चय है। चरण 3: ({5}) और \(\varnothing\) को अलग समझें।
(5<x<9) means numbers greater than (5) and less than (9).
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers are (6,7,8).
Step 3
Exam Tip
With the (<) symbol, endpoints are not included. चरण 1: (5<x<9) का अर्थ है (5) से बड़ी और (9) से छोटी संख्या। चरण 2: ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ (6,7,8) हैं। चरण 3: (<) चिह्न में किनारे शामिल नहीं होते।
Forgetting (0) in whole numbers is a common mistake. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। चरण 2: (3) तक की पूर्ण संख्याएँ (0,1,2,3) हैं। चरण 3: पूर्ण संख्या में (0) को भूलना आम गलती है।
A. \((J={x:x\) 3 का गुणज है और \(3\leq x\leq 12})\)/\((J={x:x\) is a multiple of 3 and \(3\leq x\leq 12})\)
Step 1
Concept
(3,6,9,12) are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
They lie from (3) to (12), so the given rule fits completely.
Step 3
Exam Tip
Choose options after understanding the difference between multiples and factors. चरण 1: (3,6,9,12) सभी (3) के गुणज हैं। चरण 2: ये (3) से (12) तक आते हैं, इसलिए दिया गया नियम पूरा बैठता है। चरण 3: गुणज और गुणनखंड में अंतर समझकर विकल्प चुनें।
A. (30) से छोटी पूर्ण वर्ग संख्याएँ/Perfect squares less than (30)
Step 1
Concept
(1,4,9,16,25) are \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
They are perfect squares less than (30).
Step 3
Exam Tip
For square-based sets, identify the squares of natural numbers. चरण 1: (1,4,9,16,25) क्रमशः \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। चरण 2: ये सभी (30) से छोटे पूर्ण वर्ग हैं। चरण 3: वर्ग वाले समुच्चय में मूल संख्याओं के वर्ग पहचानें।
Use the membership symbol from an element to a set. चरण 1: (b) समुच्चय (L) में लिखा हुआ अवयव है। चरण 2: इसलिए \(b \in L\) सत्य है। चरण 3: सदस्यता चिह्न का प्रयोग अवयव से समुच्चय की ओर करें।
(6) is not one of these elements, so \(6 \in M\) is false.
Step 3
Exam Tip
For a false statement, compare each membership statement with the list. चरण 1: (M) में (2,5,8) हैं। चरण 2: (6) इन अवयवों में नहीं है, इसलिए \(6 \in M\) असत्य है। चरण 3: असत्य कथन में हर सदस्यता कथन को सूची से मिलाएँ।
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements here are only (4) and (6).
Step 3
Exam Tip
In writing a set, writing each element once is enough. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयव अलग से नहीं माने जाते। चरण 2: यहाँ अलग अवयव केवल (4) और (6) हैं। चरण 3: समुच्चय लिखते समय हर अवयव एक बार ही लिखना पर्याप्त है।
For equality, compare elements, not their order. चरण 1: समुच्चय में अवयवों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। चरण 2: दोनों समुच्चयों में (1,2,3) ही हैं। चरण 3: समानता में क्रम नहीं, अवयवों की समानता देखें।
\(\varnothing\) is the correct symbol for the empty set.
Step 3
Exam Tip
({0}) contains (0), so it is not empty. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: \(\varnothing\) रिक्त समुच्चय का सही चिह्न है। चरण 3: ({0}) में (0) अवयव है, इसलिए वह रिक्त नहीं है।
There is no natural number less than (1), so (Q) has no element.
Step 3
Exam Tip
When no element satisfies the condition, the set is empty. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (1) से छोटी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए (Q) में कोई अवयव नहीं है। चरण 3: जब कोई अवयव शर्त पूरी न करे, समुच्चय रिक्त होता है।
An empty set has no element, so the number is (0).
Step 3
Exam Tip
Always write the cardinality of \(\varnothing\) as (0). चरण 1: (n(R)) का अर्थ है (R) में अवयवों की संख्या। चरण 2: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए संख्या (0) है। चरण 3: \(\varnothing\) की अवयव संख्या हमेशा (0) लिखें।
The letter (O) appears twice in the word, but it is written once in the set.
Step 3
Exam Tip
For sets of letters, remove repetitions before listing. चरण 1: समुच्चय में केवल अलग-अलग अक्षर लिखे जाते हैं। चरण 2: शब्द में (O) दो बार है, पर समुच्चय में एक बार लिखा जाएगा। चरण 3: अक्षरों के समुच्चय में दोहराव हटाकर सूची बनाइए।
Integers include negative numbers, (0), and positive numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Integers from (-1) to (3) are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Include both endpoints when \(\leq\) is used. चरण 1: पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ, (0), और धनात्मक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: (-1) से (3) तक के पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: \(\leq\) होने पर दोनों किनारे शामिल करें।
C. ( {x:x वर्ष का महीना है} )/Set of months of a year
Step 1
Concept
A finite set has a limited number of elements.
Step 2
Why this answer is correct
A year has (12) months, so this set is finite.
Step 3
Exam Tip
Collections whose counting ends are finite. चरण 1: परिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या सीमित होती है। चरण 2: वर्ष के महीनों की संख्या (12) है, इसलिए यह परिमित है। चरण 3: जिन संग्रहों की गिनती समाप्त हो जाए, उन्हें परिमित समझें।
C. ( {x:x एक प्राकृतिक संख्या है} )/Set of natural numbers
Step 1
Concept
Counting an infinite set never ends.
Step 2
Why this answer is correct
Natural numbers \(1,2,3,\dots\) continue without end.
Step 3
Exam Tip
If there is no last element, think of an infinite set. चरण 1: अपरिमित समुच्चय की गिनती कभी समाप्त नहीं होती। चरण 2: प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,\dots\) बिना अंत के चलती हैं। चरण 3: जहाँ अंतिम अवयव नहीं मिलता, वहाँ अपरिमित समुच्चय सोचें।
Because (x) must be natural, only (4) is included.
Step 3
Exam Tip
After solving an equation, always check the given number system. चरण 1: \(x^2=16\) के मान (x=4) और (x=-4) हो सकते हैं। चरण 2: प्राकृतिक संख्या होने की शर्त से केवल (4) लिया जाएगा। चरण 3: समीकरण हल करने के बाद दी गई संख्या-प्रणाली जरूर जाँचें।
For integer conditions, do not ignore negative solutions. चरण 1: \(x^2=9\) के हल (3) और (-3) हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों समुच्चय में शामिल होंगे। चरण 3: पूर्णांक वाली शर्त में ऋणात्मक हल को न छोड़ें।
(5) is a natural number, so it is an element of (W).
Step 3
Exam Tip
In set-builder form, solve the equation before choosing the element. चरण 1: (x+4=9) हल करने पर (x=5) मिलता है। चरण 2: (5) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए यह (W) का अवयव है। चरण 3: नियम रूप में समीकरण हल करके ही अवयव चुनें।
For (n(A)), count elements and do not add them. चरण 1: (n(X)) समुच्चय (X) में अवयवों की संख्या बताता है। चरण 2: (X) में (1,2,3,4) कुल चार अवयव हैं। चरण 3: (n(A)) जैसे संकेत में अवयव गिनें, उनका योग नहीं।
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements are (3,5,7), so (n(Y)=3).
Step 3
Exam Tip
Remove repetitions before finding the number of elements. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयवों को अलग नहीं गिना जाता। चरण 2: अलग अवयव (3,5,7) हैं, इसलिए (n(Y)=3)। चरण 3: अवयवों की संख्या निकालने से पहले दोहराव हटाएँ।
In a factor question, do not write the list of multiples. चरण 1: धनात्मक गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो (18) को पूरा विभाजित करें। चरण 2: (1,2,3,6,9,18) सभी (18) के गुणनखंड हैं। चरण 3: गुणनखंड के प्रश्न में गुणजों की सूची न लिखें।
In \(2\leq x\leq 6\), both (2) and (6) are included.
Step 2
Why this answer is correct
The elements are (2,3,4,5,6), so there are (5) elements.
Step 3
Exam Tip
While counting, do not forget to include both endpoints. चरण 1: \(2\leq x\leq 6\) में (2) और (6) दोनों शामिल हैं। चरण 2: अवयव (2,3,4,5,6) हैं, जिनकी संख्या (5) है। चरण 3: गिनते समय दोनों सीमाओं को शामिल करना न भूलें।
A. \((B={x:x\) एक सम पूर्ण संख्या है और \(x<8})\)/\((B={x:x\) is an even whole number and \(x<8})\)
Step 1
Concept
(0,2,4,6) are even whole numbers.
Step 2
Why this answer is correct
They are all less than (8), so the first rule is correct.
Step 3
Exam Tip
When (0) is included, thinking in terms of whole numbers is useful. चरण 1: (0,2,4,6) सभी सम पूर्ण संख्याएँ हैं। चरण 2: ये सभी (8) से छोटी हैं, इसलिए पहला नियम सही है। चरण 3: (0) शामिल हो तो पूर्ण संख्या का विचार करना उपयोगी होता है।
Negative integers greater than or equal to (-3) are (-3,-2,-1).
Step 3
Exam Tip
Do not treat (0) as a negative integer. चरण 1: ऋणात्मक पूर्णांक (0) से छोटे होते हैं। चरण 2: (-3) से बड़े या बराबर ऋणात्मक पूर्णांक (-3,-2,-1) हैं। चरण 3: (0) को ऋणात्मक पूर्णांक न मानें।
Therefore, the elements of this set can be counted.
Step 3
Exam Tip
Identify limited real-life collections as finite sets. चरण 1: (30) दिनों वाले महीनों की संख्या सीमित है। चरण 2: इसलिए इस समुच्चय के अवयव गिने जा सकते हैं। चरण 3: सीमित वास्तविक जीवन संग्रहों को परिमित समुच्चय के रूप में पहचानें।
Including (1) as a prime is a common mistake. चरण 1: अंक (0) से (9) तक होते हैं। चरण 2: इनमें अभाज्य अंक (2,3,5,7) हैं; (1) अभाज्य नहीं होता। चरण 3: अभाज्य संख्या में (1) को शामिल करना आम गलती है।
(A) appears twice in the word, but it is listed once.
Step 3
Exam Tip
In letter-based sets, identify the distinct letters. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अक्षर एक बार ही लिखे जाते हैं। चरण 2: शब्द में (A) दो बार है, पर सूची में एक बार आएगा। चरण 3: अक्षर-आधारित समुच्चय में अलग अक्षरों की पहचान करें।
\(G \subseteq H\) means every element of (G) is in (H).
Step 2
Why this answer is correct
Both (1) and (2) are present in (H).
Step 3
Exam Tip
While checking a subset, first examine the elements of the smaller set. चरण 1: \(G \subseteq H\) का अर्थ है (G) का हर अवयव (H) में हो। चरण 2: (1) और (2) दोनों (H) में मौजूद हैं। चरण 3: उपसमुच्चय जाँचते समय पहले छोटे समुच्चय के अवयव देखें।
Every element of a subset must belong to the original set.
Step 2
Why this answer is correct
Both elements of ({2,4}) are in (I).
Step 3
Exam Tip
If even one element is outside, it is not a subset. चरण 1: उपसमुच्चय के हर अवयव को मूल समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: ({2,4}) के दोनों अवयव (I) में हैं। चरण 3: यदि एक भी अवयव बाहर हो, तो वह उपसमुच्चय नहीं होगा।
(2) is the only even prime number and it is less than (10).
Step 3
Exam Tip
Apply both conditions, even and prime, together. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है और यह (10) से छोटी है। चरण 3: सम और अभाज्य दोनों शर्तों को साथ में लागू करें।
While finding factors, the remainder must be (0). चरण 1: (9) के गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो (9) को पूरा विभाजित करती हैं। चरण 2: (1,3,9) ही ऐसे प्राकृतिक गुणनखंड हैं। चरण 3: गुणनखंड निकालने में विभाजन शेष (0) होना चाहिए।
For a square condition, check the square of each value. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,\dots\) होती हैं। चरण 2: \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\) हैं, पर \(3^2=9\) है। चरण 3: वर्ग वाली शर्त में प्रत्येक मान का वर्ग जाँचें।
In \(10\leq x\leq 12\), both (10) and (12) are included.
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers in this range are (10,11,12).
Step 3
Exam Tip
Include endpoints in questions with \(\leq\). चरण 1: \(10\leq x\leq 12\) में (10) और (12) दोनों शामिल हैं। चरण 2: इस सीमा की प्राकृतिक संख्याएँ (10,11,12) हैं। चरण 3: \(\leq\) वाले प्रश्न में सिरों को शामिल करें।
Whole numbers start from (0), but odd whole numbers are \(1,3,5,\dots\).
Step 2
Why this answer is correct
Odd whole numbers less than (8) are (1,3,5,7).
Step 3
Exam Tip
(0) is even, so do not include it in an odd list. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं, पर विषम पूर्ण संख्याएँ \(1,3,5,\dots\) हैं। चरण 2: (8) से छोटी विषम पूर्ण संख्याएँ (1,3,5,7) हैं। चरण 3: (0) सम है, इसलिए उसे विषम सूची में न रखें।
Because (x<18), do not include (18) or any larger number. चरण 1: (4) के गुणज \(4,8,12,16,20,\dots\) हैं। चरण 2: (18) से छोटे गुणज (4,8,12,16) हैं। चरण 3: (x<18) के कारण (18) या उससे बड़ी संख्या न लें।
A. (30) से छोटे प्राकृतिक संख्याओं के घन/Cubes of natural numbers less than (30)
Step 1
Concept
\(1=1^3\), \(8=2^3\), and \(27=3^3\).
Step 2
Why this answer is correct
These are cubes of natural numbers less than (30).
Step 3
Exam Tip
Keep the idea of squares and cubes separate. चरण 1: \(1=1^3\), \(8=2^3\), और \(27=3^3\) हैं। चरण 2: ये (30) से छोटे प्राकृतिक संख्याओं के घन हैं। चरण 3: वर्ग और घन की पहचान अलग-अलग रखें।
Leave out endpoints in strict inequality. चरण 1: (-2<x<2) में (-2) और (2) शामिल नहीं हैं। चरण 2: इनके बीच के पूर्णांक (-1,0,1) हैं। चरण 3: कड़े असमानता चिह्न वाले किनारों को छोड़ दें।
The word (KITE) has four distinct letters (K,I,T,E).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the set (R) has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
If letters are not repeated, the number of letters equals the number of elements. चरण 1: शब्द (KITE) में चार अलग अक्षर (K,I,T,E) हैं। चरण 2: इसलिए समुच्चय (R) में (4) अवयव होंगे। चरण 3: अक्षर दोहराए न हों तो अक्षरों की संख्या ही अवयव संख्या होती है।
While counting elements, treat each distinct name as one element. चरण 1: समुच्चय (S) में तीन दिन नाम के रूप में दिए गए हैं। चरण 2: इसलिए (n(S)=3)। चरण 3: अवयवों को गिनते समय हर अलग नाम को एक अवयव मानें।
The natural numbers up to (2) are (1) and (2), so \(T=\{1,2\}\).
Step 3
Exam Tip
In \(\leq 2\), (2) is included. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (2) तक की प्राकृतिक संख्याएँ (1) और (2) हैं, इसलिए \(T=\{1,2\}\)। चरण 3: \(\leq 2\) में (2) शामिल रहेगा।
Therefore, \(U=\{1\}\), which has exactly one element.
Step 3
Exam Tip
A set with one element is called a singleton set. चरण 1: (1) का एकमात्र प्राकृतिक गुणनखंड (1) है। चरण 2: इसलिए \(U=\{1\}\), जिसमें केवल एक अवयव है। चरण 3: एक अवयव वाला समुच्चय एकल समुच्चय कहलाता है।
