Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) में (10) अभाज्य हैं, (B) में (10) गुणज हैं और \(A\cap B={3}\), इसलिए \(|A\cup B|=19\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=30-19=11) नहीं, ध्यान से (30-19=11) है। / There are (10) primes in (A), (10) multiples in (B), and \(A\cap B={3}\), so \(|A\cup B|=19\). Hence (|\(A\cup B\)'|=30-19=11); always subtract from (|U|).
\(A\cap B\) में (15) के गुणज (15,30,45) हैं, इसलिए उसमें (3) अवयव हैं। अतः (|\(A\cap B\)'|=45-3=42)। / \(A\cap B\) contains multiples of (15), namely (15,30,45), so it has (3) elements. Hence (|\(A\cap B\)'|=45-3=42).
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है, इसलिए (U) के बचे अवयव (A') होंगे। परीक्षा में पूरक हमेशा (U) के अंदर ही निकालें। / Here \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the remaining elements of (U) form (A'). In exams, always find complement inside (U).
(A) में (-2) शामिल नहीं और (6) शामिल है, इसलिए पूरक में (-2) आएगा पर (6) नहीं आएगा। सही उत्तर ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)) है। / (A) does not include (-2) but includes (6), so the complement includes (-2) but excludes (6). The correct answer is ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)).
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है, इसलिए \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\)। इस उल्टे क्रम को याद रखना उपयोगी है। / The complement reverses inclusion, so \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\). Remember this reversal property for hard questions.
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cap B'\)'=A'\cup (B')'=A'\cup B)। पहले अंदर के पूरक को पहचानें। / By De Morgan's law, (\(A\cap B'\)'=A'\cup (B')'=A'\cup B). First identify the inner complement.
B. वे संख्याएँ जो न सम हैं और न (5) के गुणज हैं/Numbers that are neither even nor multiples of (5)
Explanation
Simple Explanation
\(A'\cap B'\) का अर्थ है (A) में नहीं और (B) में नहीं। डी मॉर्गन से यह (\(A\cup B\)') भी है। / \(A'\cap B'\) means not in (A) and not in (B). By De Morgan, it is also (\(A\cup B\)').
\(|A\cup B|=35+40-15=60\), इसलिए पूरक में (80-60=20) अवयव हैं। पहले संघ की संख्या निकालें। / \(|A\cup B|=35+40-15=60\), so the complement has (80-60=20) elements. Find the union count first.
(|A|=42) और (|B|=53), इसलिए \(|A\cup B|=42+53-21=74\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=100-74=26)। / (|A|=42) and (|B|=53), so \(|A\cup B|=42+53-21=74\). Hence (|\(A\cup B\)'|=100-74=26).
((A-B)'=\(A\cap B'\)'=A'\cup B)। अंतर को पूरक के रूप में लिखना तेज तरीका है। / ((A-B)'=\(A\cap B'\)'=A'\cup B). Writing difference using complement is a fast method.
(2) समुच्चय में नहीं था, इसलिए पूरक में आएगा; (7) समुच्चय में था, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। अंतरालों में खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / (2) was not in the set, so it is included in the complement; (7) was in the set, so it is excluded. Watch open and closed endpoints in intervals.
\(A\cap B=[1,3\)) है, इसलिए उसका पूरक (\(-\infty,1\)\cup[3,\infty)) होगा। पहले प्रतिच्छेद का सही अंतराल निकालें। / \(A\cap B=[1,3\)), so its complement is (\(-\infty,1\)\cup[3,\infty)). First find the correct intersection interval.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)'), इसलिए यदि यह रिक्त है तो \(A\cup B=U\)। पूरक रिक्त हो तो मूल समुच्चय सार्वत्रिक होता है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'), so if it is empty, \(A\cup B=U\). If a complement is empty, the original set is universal.
डी मॉर्गन से (\(A\cap B\)'=A'\cup B'), इसलिए \(A'\cup B'=A'\cap B'\) होगा। यह तभी होता है जब (A'=B'), अर्थात (A=B)। / By De Morgan, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'), so \(A'\cup B'=A'\cap B'\). This happens when (A'=B'), hence (A=B).
\(|A\cup B|=25+10-5=30\), इसलिए (|A'\cap B'|=|\(A\cup B\)'|=50-30=20)। डी मॉर्गन को गिनती से जोड़ें। / \(|A\cup B|=25+10-5=30\), so (|A'\cap B'|=|\(A\cup B\)'|=50-30=20). Connect De Morgan with counting.
(A=U-A'={a,c,e,g}) और (B'={e,f,g,h}), इसलिए \(A\cap B'={e,g}\)। दिए गए पूरक से पहले मूल समुच्चय निकालें। / (A=U-A'={a,c,e,g}) and (B'={e,f,g,h}), so \(A\cap B'={e,g}\). First recover the original set from its complement.
दोनों शर्तें बताती हैं कि (A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग हैं। यही पूरक की मुख्य पहचान है। / Both conditions show that (A) and (A') together form (U) and are disjoint. This is the main identity of complement.
\(A\cap B\) में (12) के गुणज (12,24,36) हैं, इसलिए (3) अवयव हैं। अतः पूरक में (40-3=37) अवयव होंगे। / \(A\cap B\) contains multiples of (12), namely (12,24,36), so it has (3) elements. Hence the complement has (40-3=37) elements.
समीकरण से \(A=\{2,3\}\) मिलता है, इसलिए पूरक \(\mathbb{R}-{2,3}\) होगा। पहले समीकरण का हल निकालें। / The equation gives \(A=\{2,3\}\), so the complement is \(\mathbb{R}-{2,3}\). Solve the equation first.
डी मॉर्गन से (\(A'\cup B'\)'=A\cap B), जो ({3,5,7,11}) है। बाहरी पूरक को नियम से सरल करें। / By De Morgan, (\(A'\cup B'\)'=A\cap B), which is ({3,5,7,11}). Simplify the outer complement using the law.
दोनों पक्षों का पूरक लेने पर ((A')'=(B')'), इसलिए (A=B)। दोहरा पूरक मूल समुच्चय देता है। / Taking complement on both sides gives ((A')'=(B')'), so (A=B). The double complement gives the original set.
यदि \(U={1,2,\ldots,60}\), (A) (3) के गुणजों का समुच्चय है, (B) (4) के गुणजों का समुच्चय है और (C) (5) के गुणजों का समुच्चय है, तो (|\(A\cup B\cup C\)'|) कितना है?
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=20+15+12-5-4-3+1=36\)। इसलिए पूरक में (60-36=24) अवयव हैं। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=20+15+12-5-4-3+1=36\). So the complement has (60-36=24) elements.
यदि (U) में (120) विद्यार्थी हैं, (70) गणित पढ़ते हैं, (65) भौतिकी पढ़ते हैं और (30) दोनों पढ़ते हैं, तो न गणित न भौतिकी पढ़ने वालों की संख्या कितनी है?
\(|M\cup P|=70+65-30=105\), इसलिए (|\(M\cup P\)'|=120-105=15)। न यह न वह का अर्थ पूरक होता है। / \(|M\cup P|=70+65-30=105\), so (|\(M\cup P\)'|=120-105=15). Neither means the complement of the union.
(9) अभाज्य नहीं है और (U) में है, इसलिए (A') में होगा। पूरक में वे अवयव आते हैं जो (U) में हों पर (A) में न हों। / (9) is not prime and belongs to (U), so it is in (A'). Complement contains elements in (U) but not in (A).
दो समुच्चयों के पूरकों का सममित अंतर मूल समुच्चयों के सममित अंतर के बराबर होता है। यहां दोनों में केवल ({1,2,5,6}) मिलेंगे। / The symmetric difference of complements equals the symmetric difference of the original sets. Here both give ({1,2,5,6}).
(A) के बाहर वे वास्तविक संख्याएँ हैं जिनके लिए \(2\le x<8\)। इसलिए (A'=[2,8)) है। / Outside (A) are the real numbers satisfying \(2\le x<8\). Therefore (A'=[2,8)).
(B=\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B\)) और (C=\(A\cap C\)\cup\(A'\cap C\)), इसलिए (B=C)। (A) और (A') पूरे (U) को बांटते हैं। / (B=\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B\)) and (C=\(A\cap C\)\cup\(A'\cap C\)), so (B=C). (A) and (A') partition (U).
(A') सम संख्याएँ हैं और \(B=\{1,4,9,16,25\}\)। इनके प्रतिच्छेद में ({4,16}) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (A') is the set of even numbers and \(B=\{1,4,9,16,25\}\). Their intersection is ({4,16}), so the count is (2).
A. (2) से विभाज्य संख्याएँ/Numbers divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (2) से विभाज्य नहीं संख्याएँ हैं, इसलिए पूरक में (2) से विभाज्य संख्याएँ होंगी। नकारात्मक परिभाषा में पूरक लेते समय सावधान रहें। / (A) contains numbers not divisible by (2), so its complement contains numbers divisible by (2). Be careful with complements of negative descriptions.
पहली शर्त से \(A\cup B=U\) और दूसरी से दोनों असंयुक्त हैं। इसलिए (B) ठीक (A') है। / The first condition gives \(A\cup B=U\), and the second says they are disjoint. Therefore (B) is exactly (A').
दोहरा पूरक मूल समुच्चय देता है, इसलिए ((A')'=A)। यह पहचान लगभग हर पूरक प्रश्न में काम आती है। / The double complement gives the original set, so ((A')'=A). This identity is useful in many complement questions.
(20) तक (3) के (6) गुणज हैं, इसलिए (A') में (20-6=14) अवयव हैं। पूरक की संख्या के लिए कुल में से घटाएं। / There are (6) multiples of (3) up to (20), so (A') has (20-6=14) elements. For complement count, subtract from the total.
(A) में (2) से (6) तक के पूर्णांक हैं, इसलिए (A') में (2) से छोटे (U) के पूर्णांक होंगे। सार्वत्रिक सीमा को न भूलें। / (A) contains integers from (2) to (6), so (A') contains integers of (U) less than (2). Do not ignore the universal boundary.
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएँ हैं। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). Therefore the complement contains (30-20=10) numbers.
समुच्चय अंतर (B-A) का अर्थ है (B) में और (A) में नहीं, यानी \(B\cap A'\)। अंतर को पूरक से लिखना आसान है। / The difference (B-A) means in (B) and not in (A), that is \(B\cap A'\). Writing difference with complement is easier.
\(A\cup B=[-2,7]\), इसलिए पूरक (\(-\infty,-2\)\cup\(7,\infty\)) है। पहले संघ का अंतराल सही बनाएं। / \(A\cup B=[-2,7]\), so the complement is (\(-\infty,-2\)\cup\(7,\infty\)). First form the union interval correctly.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') और \(A\cup B=(-3,6)\)। इसलिए पूरक (\(-\infty,-3]\cup[6,\infty\)) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)') and \(A\cup B=(-3,6)\). So the complement is (\(-\infty,-3]\cup[6,\infty\)).
(100) तक पूर्ण वर्ग \(1^2\) से \(10^2\) तक (10) हैं। इसलिए (|A'|=100-10=90)। / Perfect squares up to (100) are from \(1^2\) to \(10^2\), giving (10) elements. Hence (|A'|=100-10=90).
\(A\cap B={4}\), इसलिए उसके पूरक में (15-1=14) अवयव हैं। छोटे प्रतिच्छेद का पूरक बड़ा हो सकता है। / \(A\cap B={4}\), so its complement has (15-1=14) elements. The complement of a small intersection can be large.
पूरक में (U) के वे अवयव हैं जो (A) में नहीं हैं, इसलिए संख्या (n-r) है। यह सूत्र तभी लागू करें जब \(A\subseteq U\) हो। / The complement contains elements of (U) not in (A), so the number is (n-r). Use this formula only when \(A\subseteq U\).
(A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं तथा उनका साझा भाग रिक्त होता है। यह पूरक की जोड़ी पहचान है। / (A) and (A') together make the whole (U), and their common part is empty. This is the paired identity of complement.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)')। \(A\cap B\) में (6) के (4) गुणज हैं, इसलिए संख्या (24-4=20) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (4) multiples of (6), so the count is (24-4=20).
(A) में (U) के वे अवयव होंगे जो (A') में नहीं हैं। इसलिए \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) है। / (A) contains the elements of (U) that are not in (A'). Therefore \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\).
(A) के बाहर रहने के लिए (x>-1) और \(x\le 4\) होना चाहिए। इसलिए (A'=(-1,4]) है। / To be outside (A), (x>-1) and \(x\le 4\) must hold. Therefore (A'=(-1,4]).
यदि (U) में (200) विद्यार्थी हैं, (120) हिंदी लेते हैं, (90) अंग्रेजी लेते हैं और (50) दोनों लेते हैं, तो केवल कोई भी भाषा न लेने वालों की संख्या क्या है?
\(|H\cup E|=120+90-50=160\), इसलिए (|\(H\cup E\)'|=200-160=40)। neither को (\(H\cup E\)') के रूप में पढ़ें। / \(|H\cup E|=120+90-50=160\), so (|\(H\cup E\)'|=200-160=40). Read neither as (\(H\cup E\)').
\(A\cap B'=\varnothing\) का अर्थ है (A) का कोई अवयव (B) के बाहर नहीं है। इसलिए हर (A) का अवयव (B) में है। / \(A\cap B'=\varnothing\) means no element of (A) lies outside (B). Hence every element of (A) is in (B).
\(A\cup B'=U\) का पूरक लेने पर \(A'\cap B=\varnothing\), इसलिए \(B\subseteq A\)। पूरक लेकर संबंध आसान हो जाता है। / Taking complement of \(A\cup B'=U\) gives \(A'\cap B=\varnothing\), so \(B\subseteq A\). Taking complements makes the relation easier.
\(x^2-1\ge 0\) का हल \(x\le -1\) या \(x\ge 1\) है। इसका पूरक (-1<x<1), यानी ((-1,1)) है। / The solution of \(x^2-1\ge 0\) is \(x\le -1\) or \(x\ge 1\). Its complement is (-1<x<1), that is ((-1,1)).
