Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) लगाइए। परीक्षा में संघ के प्रश्न में समान भाग घटाना न भूलें। / Use (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)). In exams, do not forget to subtract the common part.
समुच्चय (A) दो असंबद्ध भागों \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) में बंटता है। इसलिए (n(A)=28+16=44)। / The set (A) splits into disjoint parts \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Hence (n(A)=28+16=44).
यहां \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है। (A) से (B) के तत्व हटाने पर ({4,5}) बचता है। / Here \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). Removing elements of (B) from (A) leaves ({4,5}).
साझा भाग (1) से बड़ा और (4) तक है। इसलिए सही अंतराल ((1,4]) है। / The common part is greater than (1) and up to (4). Therefore the correct interval is ((1,4]).
पहला अंतराल (3) तक और दूसरा (1) से आगे सभी संख्याएं देता है। दोनों मिलकर पूरी \(\mathbb{R}\) बनाते हैं। / The first interval gives all numbers up to (3), and the second gives all numbers from (1) onward. Together they form all of \(\mathbb{R}\).
\(A\cap B={6,12}\) है और ये दोनों (C) में हैं। इसलिए अंतर \(\varnothing\) है। / \(A\cap B={6,12}\), and both elements are in (C). Hence the difference is \(\varnothing\).
(n(A)=10), (n(B)=6), (n\(A\cap B\)=3), अतः (n\(A\cup B\)=13)। पूरक में (20-13=7) तत्व हैं। / (n(A)=10), (n(B)=6), (n\(A\cap B\)=3), so (n\(A\cup B\)=13). The complement has (20-13=7) elements.
(B) के तत्व या तो (A) में हैं या \(B\setminus A\) में। इसलिए उनका संघ (B) है। / Every element of (B) is either in (A) or in \(B\setminus A\). Therefore their union is (B).
दोनों शर्तें बताती हैं कि (A) का हर तत्व (B) में है। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / Both conditions show that every element of (A) is in (B). Hence \(A\subseteq B\).
संघ और प्रतिच्छेद तभी समान हो सकते हैं जब दोनों समुच्चय समान हों। अतः (A=B) है। / The union and intersection can be equal only when the two sets are equal. Hence (A=B).
(A) में अभाज्य तत्व ({2,3,5,7,11}) हैं। उन्हें हटाने पर ({1,4,6,8,9,10,12}) मिलता है। / The prime elements in (A) are ({2,3,5,7,11}). Removing them gives ({1,4,6,8,9,10,12}).
पहली शर्त से \(A\subseteq B\) और दूसरी से \(B\subseteq A\) है। इसलिए (A=B) है। / The first condition gives \(A\subseteq B\), and the second gives \(B\subseteq A\). Therefore (A=B).
पूरक नियम से (A\setminus\(B\cap C\)=A\cap\(B\cap C\)') होता है। यह (\(A\setminus B\)\cup\(A\setminus C\)) के बराबर है। / By the complement rule, (A\setminus\(B\cap C\)=A\cap\(B\cap C\)'). This equals (\(A\setminus B\)\cup\(A\setminus C\)).
\(B\cup C\) के तत्व हटाने का मतलब (B) और (C) दोनों से बाहर रहना है। इसलिए उत्तर (\(A\setminus B\)\cap\(A\setminus C\)) है। / Removing elements of \(B\cup C\) means being outside both (B) and (C). Hence the answer is (\(A\setminus B\)\cap\(A\setminus C\)).
ठीक एक विषय (=(38-20)+(32-20)=30) है। वेंन आरेख में साझा भाग को दोनों तरफ से अलग करें। / Exactly one subject (=(38-20)+(32-20)=30). In a Venn diagram, separate the common part from both sides.
(A) में (15) सम संख्याएं हैं और (10) के गुणज (3) हैं। इसलिए (n\(A\setminus B\)=15-3=12)। / There are (15) even numbers in (A), and (3) multiples of (10). Thus (n\(A\setminus B\)=15-3=12).
पहले समीकरण से \(A=\{2,3\}\) और दूसरे से \(B=\{1,3\}\) है। समान तत्व ({3}) है। / The first equation gives \(A=\{2,3\}\), and the second gives \(B=\{1,3\}\). The common element is ({3}).
(B) में (2) शामिल है, इसलिए (A) से (2) और उसके बाद का साझा भाग हटेगा। बचा भाग ((-1,2)) है। / Since (2) is included in (B), (2) and the common part after it are removed from (A). The remaining part is ((-1,2)).
(A) से (B) हटाने पर भी (A) बच रहा है, इसलिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\) है। / Removing (B) from (A) still leaves (A), so (A) and (B) have no common element. Hence \(A\cap B=\varnothing\).
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा तत्व नहीं होता। इसलिए (n\(A\cup B\)=21+17=38)। / Disjoint sets have no common element. Therefore (n\(A\cup B\)=21+17=38).
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए उत्तर ({1,2,3,5,7}) है। / The union is formed from the three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Hence the answer is ({1,2,3,5,7}).
संघ इन तीन असंबद्ध भागों का योग है। इसलिए (n\(A\cup B\)=12+9+6=27)। / The union is the sum of these three disjoint parts. Therefore (n\(A\cup B\)=12+9+6=27).
\(A\cup B=A\) से \(B\subseteq A\) मिलता है। इसलिए (B) में (A) के बाहर कोई तत्व नहीं है। / From \(A\cup B=A\), we get \(B\subseteq A\). Thus (B) has no element outside (A).
\(A\cap B=B\) से \(B\subseteq A\) मिलता है, पर \(A\setminus B\) खाली भी हो सकता है और नहीं भी। बाकी कथन सदैव सत्य हैं। / \(A\cap B=B\) gives \(B\subseteq A\), but \(A\setminus B\) may or may not be empty. The other statements are always true.
साझा तत्व (\operatorname{lcm}(4,6)=12) के गुणज होंगे। (50) तक (12,24,36,48) यानी (4) तत्व हैं। / Common elements are multiples of (\operatorname{lcm}(4,6)=12). Up to (50), they are (12,24,36,48), so there are (4) elements.
(A) में (9) तत्व हैं और \(B=\{-1,3\}\) है। इसलिए \(A\setminus B\) में (9-2=7) तत्व हैं। / (A) has (9) elements, and \(B=\{-1,3\}\). Therefore \(A\setminus B\) has (9-2=7) elements.
यदि \(A\triangle B\) को (\(A\setminus B\)\cup\(B\setminus A\)) से परिभाषित किया जाए और (n\(A\cup B\)=40), (n\(A\cap B\)=13) हो, तो (n\(A\triangle B\)) कितना है?
\(A\triangle B\) संघ में से साझा भाग हटाता है। इसलिए (n\(A\triangle B\)=40-13=27)। / \(A\triangle B\) removes the common part from the union. Therefore (n\(A\triangle B\)=40-13=27).
\(A\cap B={c,d}\) में (2) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}\(A\cap B\)) में \(2^2=4\) तत्व होंगे। / \(A\cap B={c,d}\) has (2) elements. Hence (\mathcal{P}\(A\cap B\)) has \(2^2=4\) elements.
\(A\setminus B\) में (A) के वे तत्व हैं जो साझा भाग में नहीं हैं। इसलिए (n\(A\setminus B\)=n(A)-n\(A\cap B\))। / \(A\setminus B\) contains elements of (A) that are not in the common part. Hence (n\(A\setminus B\)=n(A)-n\(A\cap B\)).
यह प्रतिच्छेद का संघ पर वितरण है। पहचान वाले प्रश्नों में प्रतीकों की स्थिति ध्यान से देखें। / This is the distributive law of intersection over union. In identity questions, observe the position of symbols carefully.
यह संघ का प्रतिच्छेद पर वितरण है। दोनों वितरण नियम अलग-अलग रूपों में याद रखें। / This is the distributive law of union over intersection. Remember both forms of the distributive law separately.
यह अवशोषण नियम का रूप है। (A) के साथ \(A\cap B\) जोड़ने से (A) ही रहता है। / This is a form of the absorption law. Adding \(A\cap B\) to (A) still gives (A).
\(A\cap B'\) का अर्थ है (A) में रहना और (B) में न रहना। यही \(A\setminus B\) है। / \(A\cap B'\) means being in (A) and not being in (B). This is exactly \(A\setminus B\).
दोनों पूर्णांक अंतराल जुड़े हुए हैं और बीच में कोई खाली स्थान नहीं है। इसलिए संघ (-5) से (6) तक के सभी पूर्णांक हैं। / The two integer intervals are connected with no gap. Therefore the union is all integers from (-5) to (6).
\(C\setminus B\) में (B) से बाहर के तत्व होते हैं। \(A\subseteq B\) होने से (A) का कोई तत्व वहां नहीं होगा। / \(C\setminus B\) contains elements outside (B). Since \(A\subseteq B\), no element of (A) can be there.
\(A\setminus B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) है। \(A\cap B\ne\varnothing\) बताता है कि (A) खाली नहीं है। / \(A\setminus B=\varnothing\) gives \(A\subseteq B\). \(A\cap B\ne\varnothing\) shows that (A) is not empty.
(n\(A\cup B\)=n(B)) से \(A\subseteq B\) है। इसलिए \(A\setminus B=\varnothing\) और संख्या (0) है। / Since (n\(A\cup B\)=n(B)), we have \(A\subseteq B\). Hence \(A\setminus B=\varnothing\) and the number is (0).
\(A\cap B=(3,5)\) और \(A\cup B=[0,8]\) है। साझा भाग हटाने पर \([0,3]\cup[5,8]\) बचता है। / \(A\cap B=(3,5)\) and \(A\cup B=[0,8]\). Removing the common part leaves \([0,3]\cup[5,8]\).
तीन समुच्चयों का सूत्र लगाएं: (86=38+34+31-12-10-9+x)। इससे (x=14) मिलता है। / Use the formula for three sets: (86=38+34+31-12-10-9+x). This gives (x=14).
तीन समुच्चयों के सूत्र से (20+13+8-6-4-2+1=30) मिलता है। परीक्षा में युग्म प्रतिच्छेद घटाकर त्रिक प्रतिच्छेद जोड़ें। / Using the three-set formula gives (20+13+8-6-4-2+1=30). In exams, subtract pairwise intersections and add the triple intersection.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=70-22-31=17)। / The union is made of three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Therefore (n\(A\cap B\)=70-22-31=17).
