Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सीमा रेखा बनाने के लिए असमानता के चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले रेखा बनाएं फिर क्षेत्र चुनें। / For a boundary line, replace the inequality sign by equality. In exams, draw the line first and then choose the region.
असमानता \(3x-2y\ge 12\) की सीमा रेखा \(3x-2y=12\) होगी। क्योंकि \(\ge\) में बराबरी भी शामिल है, इसलिए सीमा रेखा के सभी बिंदु हल-क्षेत्र में आते हैं और इसे ठोस रेखा से दर्शाते हैं। टूटी रेखा केवल \(>\) या \(<\) वाली असमानताओं के लिए प्रयोग होती है। परीक्षा टिप: \(\le\) और \(\ge\) के लिए ठोस रेखा, जबकि \(<\) और \(>\) के लिए टूटी रेखा बनाइए। / The boundary line for \(3x-2y\ge 12\) is \(3x-2y=12\). Since \(\ge\) includes equality, every point on the boundary is part of the solution region, so the line is drawn solid. A dashed line is used only for strict inequalities such as \(>\) or \(<\). Exam tip: use a solid line for \(\le\) and \(\ge\), and a dashed line for \(<\) and \(>\).
C. रेखा \(2x+3y=6\) को बिंदीदार खींचकर मूलबिंदु के विपरीत अर्धतल को छायांकित करना/Draw \(2x+3y=6\) as a dashed line and shade the half-plane not containing the origin
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(>\) होने पर सीमा रेखा \(2x+3y=6\) हल में शामिल नहीं होती, इसलिए वह बिंदीदार होती है। मूलबिंदु रखने पर \(0>6\) असत्य है, अतः उसके विपरीत अर्धतल छायांकित होगा। परीक्षा टिप: पहले सीमा रेखा का प्रकार तय करें। / Since the sign is \(>\), the boundary \(2x+3y=6\) is not included, so it is dashed. Testing the origin gives \(0>6\), which is false; hence shade the opposite half-plane. Exam tip: decide the boundary style before choosing the region.
B. नहीं क्योंकि \(9\le 8\) असत्य है/no because \(9\le 8\) is false
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (1+8=9) मिलता है जो (8) से बड़ा है। बिंदु जांच में दोनों निर्देशांक सही जगह रखें। / Substituting ((1,4)) gives (1+8=9), which is greater than (8). In point testing, place both coordinates carefully.
x-अवरोध वह बिंदु है जहाँ रेखा x-अक्ष को काटती है, इसलिए वहाँ \(y=0\) होता है। समीकरण \(x+3y=6\) में \(y=0\) रखने पर \(x=6\) मिलता है। अतः x-अवरोध \(6\) है। \(3\) y-अवरोध से संबंधित है, x-अवरोध से नहीं। परीक्षा टिप: किसी रेखा का x-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / The x-intercept is the point where the line meets the x-axis, so \(y=0\) there. Substituting \(y=0\) in \(x+3y=6\) gives \(x=6\). Therefore, the x-intercept is \(6\). The value \(3\) is related to the y-intercept, not the x-intercept. Exam tip: To find an x-intercept, always put \(y=0\).
\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं। रेखा \(4x+y=8\) में रखने पर \(4(0)+y=8\), अतः \(y=8\) प्राप्त होता है। इसलिए रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,8)\) पर काटती है और सही विकल्प \(8\) है। \(4\) केवल \(x\) के गुणांक से लिया गया भ्रामक विकल्प है, अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, set \(x=0\). Substituting in \(4x+y=8\) gives \(4(0)+y=8\), so \(y=8\). Hence, the line meets the \(y\)-axis at \((0,8)\), and \(8\) is correct. \(4\) is only the coefficient of \(x\), not an intercept. Exam tip: always put \(x=0\) to find the \(y\)-intercept.
\(y\ge 2x+1\) में (y) रेखा से बड़ा या बराबर है। इसलिए रेखा के ऊपर का अर्ध-समतल लिया जाता है। / In \(y\ge 2x+1\), (y) is greater than or equal to the line value. Hence the half-plane above the line is taken.
A. पहला चतुर्थांश सहित अक्ष/first quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
दोनों निर्देशांक ऋणात्मक नहीं हैं इसलिए क्षेत्र पहला चतुर्थांश और अक्ष हैं। गैर-ऋणात्मक शर्तों को हमेशा पहले पहचानें। / Both coordinates are non-negative, so the region is the first quadrant including axes. Always identify non-negativity conditions first.
B. रेखा \(x=4\) के बाईं ओर, रेखा सहित/left of \(x=4\), including the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x\le 4\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 4 या 4 से कम हो। सीमा रेखा \(x=4\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है और \(\le\) होने के कारण यह रेखा भी हल-क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए रेखा के बाईं ओर का अर्धतल, रेखा सहित, सही है। दाईं ओर का क्षेत्र \(x>4\) को दर्शाता है। परीक्षा टिप: \(x\) वाली असमानता के लिए सीमा रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। / The inequality \(x\le 4\) means that the \(x\)-coordinate of every point is 4 or less. The boundary \(x=4\) is a vertical line, and it is included because the inequality contains \(\le\). Therefore, the required region is the half-plane to the left of the line, including the line. The region on the right represents \(x>4\). Exam tip: an inequality involving \(x\) has a vertical boundary line.
A. रेखा (y=3) के ऊपर पर रेखा शामिल नहीं/above (y=3) excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(y>3) में (y) का मान (3) से बड़ा है और सीमा रेखा शामिल नहीं है। इसलिए टूटी क्षैतिज रेखा के ऊपर शेड करें। / In (y>3), (y) is greater than (3) and the boundary is excluded. Shade above the dashed horizontal line.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=8) इसलिए (x=4) और (y=2)। प्रतिच्छेद बिंदु feasible region के कोने बनाते हैं। / Adding the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=2). Intersection points form corners of a feasible region.
पहली रेखा से y=10-2x प्राप्त होता है। इसे दूसरी रेखा x+2y=8 में रखने पर x+2(10-2x)=8 मिलता है, जिससे -3x=-12 और x=4 आता है। तब y=10-2(4)=2। अतः दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (4, 2) है। (2, 4) जैसे बिंदु पर पहली समीकरण का मान 2(2)+4=8 होता है, 10 नहीं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों रैखिक समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / From the first line, y=10-2x. Substituting this in x+2y=8 gives x+2(10-2x)=8, so -3x=-12 and x=4. Then y=10-2(4)=2. Hence, the intersection point is (4, 2). For example, (2, 4) does not satisfy the first equation because 2(2)+4=8, not 10. Exam tip: Verify an intersection point by substituting it into both linear equations.
अक्षों और रेखा (x+2y=10) से बंद त्रिभुज बनता है। प्रथम चतुर्थांश की शर्तें क्षेत्र को सीमित कर सकती हैं। / The axes and the line (x+2y=10) form a closed triangle. First-quadrant conditions can make the region bounded.
(x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद ((1,2)) है और यह \(x+y\le 7\) को संतुष्ट करता है। शीर्ष खोजते समय सीमा रेखाओं को जोड़ी में काटें। / The intersection of (x=1) and (y=2) is ((1,2)), and it satisfies \(x+y\le 7\). To find vertices, intersect boundary lines pairwise.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=4) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक जाता है। इसलिए क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=4) extends infinitely. Hence the region is unbounded.
((2,2)) पर (x+y=4) है जो (3) से बड़ा है। विकल्पों को असमानताओं में रखकर जांचें। / At ((2,2)), (x+y=4), which is greater than (3). Test options by substituting them into the inequalities.
B. मूल बिंदु के विपरीत ओर/side opposite the origin
Explanation
Simple Explanation
यदि परीक्षण बिंदु असत्य देता है तो हल क्षेत्र उस ओर नहीं होगा। इसलिए विपरीत अर्ध-समतल चुनते हैं। / If the test point gives false, the solution region is not on that side. Hence choose the opposite half-plane.
मूल बिंदु परीक्षण में \(x=0\) और \(y=0\) रखने पर \(x-2y\ge 6\) से \(0\ge 6\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। अतः मूल बिंदु उस अर्ध-तल में नहीं है जो असमानता को संतुष्ट करता है; रेखा \(x-2y=6\) के मूल बिंदु के विपरीत वाले भाग को छायांकित किया जाता है। विकल्प A में वही असमानता दी है, पर उसे सत्य कहना गलत है। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु रखने के बाद असमानता को सही या गलत अवश्य जाँचें। / For the origin test, put \(x=0\) and \(y=0\). The inequality \(x-2y\ge 6\) becomes \(0\ge 6\), which is false. Therefore, the origin does not lie in the solution half-plane, so the region on the side of the line \(x-2y=6\) opposite to the origin is selected. Option A uses the same inequality but incorrectly calls it true. Exam tip: after substituting a test point, always check whether the resulting inequality is true or false.
(y=0) पर (x=10) और (x=0) पर (y=4) मिलता है। सीमा रेखा खींचने में ये दो बिंदु पर्याप्त हैं। / At (y=0), (x=10), and at (x=0), (y=4). These two points are enough to draw the boundary line.
रेखा के अवरोध ((8,0)) और ((0,6)) हैं तथा अक्षों का प्रतिच्छेद ((0,0)) है। प्रथम चतुर्थांश में ये त्रिभुज के शीर्ष हैं। / The line intercepts are ((8,0)) and ((0,6)), and the axes meet at ((0,0)). These are the triangle vertices in the first quadrant.
A. रेखा (x=5) के बाईं और (y=3) के नीचे का क्षेत्र/left of (x=5) and below (y=3)
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 5\) बाईं ओर और \(y\le 3\) नीचे का भाग देता है। संयुक्त क्षेत्र दोनों शर्तों का ओवरलैप होता है। / \(x\le 5\) gives the left side and \(y\le 3\) gives the lower side. The common region is the overlap of both conditions.
चिन्ह (>) होने से बराबरी वाले बिंदु शामिल नहीं होते। इसलिए सीमा रेखा हल का हिस्सा नहीं है। / With the sign (>), equality points are not included. Therefore the boundary line is not part of the solution.
चिह्न \(\ge\) का अर्थ “बड़ा या बराबर” होता है। इसलिए जो भी बिंदु \(2x+3y=18\) को संतुष्ट करते हैं, वे असमानता \(2x+3y\ge 18\) को भी संतुष्ट करेंगे। अतः सीमा रेखा हल-क्षेत्र में शामिल होती है और उसे ठोस रेखा से दर्शाते हैं। \(>\) होने पर सीमा रेखा शामिल नहीं होती और उसे बिंदीदार रेखा से दिखाया जाता है। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) दिखे तो सीमा रेखा ठोस बनाइए। / The symbol \(\ge\) means “greater than or equal to.” Hence, every point satisfying \(2x+3y=18\) also satisfies \(2x+3y\ge 18\). Therefore, the boundary line belongs to the solution region and is drawn as a solid line. With \(>\), the boundary would not be included and would be drawn dashed. Exam tip: use a solid boundary line for \(\ge\) or \(\le\).
प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। x=0 को x+4y=12 में रखने पर 4y=12 मिलता है, अतः y=3। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु (0, 3) है। (3, 0) x-अवरोध है, जबकि यहाँ x=0 वाली y-अक्ष पर बिंदु चाहिए। परीक्षा टिप: किसी रेखा का y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। / At the point of intersection, both equations must be satisfied. Substituting x=0 into x+4y=12 gives 4y=12, so y=3. Hence, the intersection is (0, 3). The point (3, 0) is the x-intercept, whereas x=0 gives a point on the y-axis. Exam tip: To find the y-intercept of a line, put x=0.
रेखा y=0, x-अक्ष को दर्शाती है। इसलिए 5x+2y=20 में y=0 रखने पर 5x=20 मिलता है, अतः x=4। इसलिए दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (4, 0) है। (0, 10) उसी रेखा का y-अवरोध है, x-अक्ष पर स्थित बिंदु नहीं। परीक्षा टिप: x-अवरोध ज्ञात करने के लिए y=0 रखें। / The line y=0 represents the x-axis. Substituting y=0 in 5x+2y=20 gives 5x=20, so x=4. Hence, the intersection point is (4, 0). The point (0, 10) is the y-intercept of the line, not a point on the x-axis. Exam tip: To find an x-intercept, put y=0.
\(x-y\le 2\) से \(-y\le 2-x\) और चिन्ह बदलकर \(y\ge x-2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटना न भूलें। / From \(x-y\le 2\), \(-y\le 2-x\), and reversing the sign gives \(y\ge x-2\). Do not forget to reverse the sign when dividing by a negative.
\(2y-x\le 6\) के दोनों पक्षों में \(x\) जोड़ने पर \(2y\le x+6\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(y\le \frac{x+6}{2}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(x\) को जोड़ने के बजाय गलत चिह्न के साथ रखा गया है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Adding \(x\) to both sides of \(2y-x\le 6\) gives \(2y\le x+6\). Dividing both sides by the positive number \(2\) does not reverse the inequality sign, so \(y\le \frac{x+6}{2}\). Therefore, option A is correct. Option C incorrectly keeps \(x\) with a negative sign. Exam tip: reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
A. रेखा (y=x) के ऊपर और (y=4) के नीचे/above (y=x) and below (y=4)
Explanation
Simple Explanation
पहली असमानता ऊपर का क्षेत्र और दूसरी नीचे का क्षेत्र देती है। संयुक्त क्षेत्र दोनों के बीच का ओवरलैप है। / The first inequality gives the region above the line and the second gives the region below (y=4). The common region is their overlap.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों सीमा रेखाएं (x+y=5) और (x+y=2) समानांतर हैं। इनके बीच का क्षेत्र संयुक्त हल है। / The boundary lines (x+y=5) and (x+y=2) are parallel. The region between them is the common solution.
कोई संख्या एक साथ (1) से कम या बराबर और (4) से अधिक या बराबर नहीं हो सकती। इसलिए संयुक्त हल नहीं है। / No value can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4) at the same time. Hence there is no common solution.
((2,2)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। / Substituting ((2,2)) gives (2+4=6). Equality means the point lies on the boundary and is included.
B. सीमा रेखा पर लेकिन हल में शामिल नहीं/on boundary but not included
Explanation
Simple Explanation
((3,0)) पर (3x+y=9) है लेकिन असमानता (<) है। इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल में शामिल नहीं होते। / At ((3,0)), (3x+y=9), but the inequality is (<). Thus boundary points are not included in the solution.
(x-3y>0) से (-3y>-x) और चिन्ह पलटकर \(y<\frac{x}{3}\) मिलता है। इसलिए रेखा के नीचे का क्षेत्र होगा। / From (x-3y>0), (-3y>-x), and reversing the sign gives \(y<\frac{x}{3}\). So the region is below the line.
((3,3)) रखने पर \(12+3=15\le 16\) सत्य है। प्रत्येक विकल्प को जल्दी से असमानता में जांचें। / Substituting ((3,3)) gives \(12+3=15\le 16\), which is true. Quickly test each option in the inequality.
((3,1)) रखने पर \(6+5=11\ge 10\) सत्य है। सही विकल्प के लिए सीधे substitution करें। / Substituting ((3,1)) gives \(6+5=11\ge 10\), which is true. Use direct substitution to choose the correct option.
सीमा रेखा (y=-2x+7) है और (x) का गुणांक ढाल होता है। ढाल देखकर रेखा की दिशा समझें। / The boundary line is (y=-2x+7), and the coefficient of (x) is the slope. Use the slope to understand the line direction.
असमानता की सीमा रेखा पाने के लिए \(\ge\) को बराबर चिन्ह से बदलते हैं: \(y=\frac{1}{2}x-3\)। \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(y=-3\) मिलता है। अतः सही उत्तर \(-3\) है। \(\frac{1}{2}\) रेखा का ढाल है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) सीधे \(y\)-अवरोध होता है। / To obtain the boundary line, replace \(\ge\) with equality: \(y=\frac{1}{2}x-3\). For the \(y\)-intercept, put \(x=0\), giving \(y=-3\). Therefore, the correct answer is \(-3\). Here, \(\frac{1}{2}\) is the slope, not the \(y\)-intercept. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept.
दोनों तिरछी रेखाओं को हल करने पर \(x=y=\frac{8}{3}\) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का अंदरूनी शीर्ष है। / Solving the two oblique lines gives \(x=y=\frac{8}{3}\). This is an inner vertex of the common region.
B. एक-आयामी सीमित हल/one-dimensional bounded solution
Explanation
Simple Explanation
रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं लेकिन वह क्षेत्रफल वाला द्वि-आयामी भाग नहीं होता। इसे सीमित रैखिक हल माना जाता है। / A line segment has infinitely many points but not a two-dimensional area. It is considered a bounded linear solution.
दोनों शर्तें मिलकर (x=2) देती हैं। जब \(\ge\) और \(\le\) एक ही संख्या पर हों तो बराबरी मिलती है। / Both conditions together give (x=2). When \(\ge\) and \(\le\) occur at the same number, equality is obtained.
एक ही (y) मान (1) से बड़ा और छोटा दोनों नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है। / The same (y)-value cannot be both greater than and less than (1). Therefore there is no common solution.
\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं। तब \(3y=12\), अतः \(y=4\)। इसलिए रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,4)\) पर काटती है। \((4,0)\) \(x\)-अक्ष पर स्थित बिंदु है, इसलिए वह \(y\)-अवरोध नहीं है। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\). Then \(3y=12\), so \(y=4\). Therefore, the line meets the \(y\)-axis at \((0,4)\). The point \((4,0)\) lies on the \(x\)-axis, so it is not the \(y\)-intercept. Exam tip: always set \(x=0\) to find a \(y\)-intercept.
\(x\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए सीमा रेखा \(4x+y=20\) में \(y=0\) रखते हैं। तब \(4x=20\), अतः \(x=5\)। इसलिए \(x\)-अवरोध \((5,0)\) है। \((0,5)\) \(y\)-अक्ष पर है, इसलिए वह \(x\)-अवरोध नहीं है। परीक्षा टिप: \(x\)-अवरोध के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / To find the \(x\)-intercept, use the boundary line \(4x+y=20\) and put \(y=0\). This gives \(4x=20\), so \(x=5\). Hence, the \(x\)-intercept is \((5,0)\). The point \((0,5)\) lies on the \(y\)-axis, so it is not an \(x\)-intercept. Exam tip: for an \(x\)-intercept, always set \(y=0\).
A. हल में शामिल और सीमा पर/included in solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\le 0\) सत्य है और बराबरी भी है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर शामिल है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 0\), which is true with equality. So the origin is included on the boundary line.
पूरी असमानता को (2) से भाग देने पर (x+y<5) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (2) gives (x+y<5). Dividing by a positive number does not change the sign.
B. सीमा रेखा बिंदीदार होगी और हल क्षेत्र में शामिल नहीं होगी/The boundary line will be dashed and excluded from the solution region
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखा पाने के लिए \(2x+y=4\) लिखते हैं। क्योंकि \(>\) सख्त असमानता है, रेखा के बिंदु हल नहीं हैं; इसलिए रेखा बिंदीदार बनती है। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) में ठोस रेखा बनती है। / To obtain the boundary, write \(2x+y=4\). Since \(>\) is a strict inequality, points on the line are not solutions, so the boundary is dashed. Exam tip: use a solid line for \(\ge\) or \(\le\).
बिंदु \((5,0)\) के लिए \(x=5\) है, जो शर्त \(x\le 4\) को संतुष्ट नहीं करता। इसलिए यह बिंदु हल-क्षेत्र में नहीं है। \((4,1)\) के लिए \(x=4\) और \(x+y=5\) है, इसलिए वह सभी असमानताओं को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को जाँचते समय उसके \(x\) और \(y\) मान प्रत्येक असमानता में अलग-अलग रखिए। / For the point \((5,0)\), \(x=5\), which does not satisfy \(x\le 4\). Hence, this point is not in the solution region. For \((4,1)\), \(x=4\) and \(x+y=5\), so it satisfies all the inequalities. Exam tip: Substitute the coordinates of a point into every inequality separately.
रेखा (x+y=5) है और मूल बिंदु \(0\ge 5\) को संतुष्ट नहीं करता। ठोस रेखा होने से बराबरी शामिल होगी। / The line is (x+y=5), and the origin does not satisfy \(0\ge 5\). Since the line is solid, equality is included.
प्रथम चतुर्थांश में दोनों रेखाओं के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above both lines extends infinitely. Therefore the solution region is unbounded.
शीर्ष सीमारेखाओं के प्रतिच्छेद पर बनते हैं। \(y=0\) और \(y=x-2\) को साथ हल करने पर \(0=x-2\), अतः \(x=2\) मिलता है। इसलिए \((2,0)\) क्षेत्र का एक शीर्ष है। \((6,6)\) में \(y\le x-2\) असत्य है, क्योंकि \(6\le4\) नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक विकल्प को सभी असमिकाओं में रखकर भी जाँच सकते हैं। / Vertices occur at intersections of boundary lines. Solving \(y=0\) and \(y=x-2\) gives \(0=x-2\), so \(x=2\). Therefore, \((2,0)\) is a vertex of the region. For \((6,6)\), \(y\le x-2\) is false because \(6\le4\) is not true. Exam tip: Substitute each option into all the inequalities to check it quickly.
