Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=2\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); ऐसे प्रश्नों में वर्ग करना उपयोगी है। / Squaring both sides gives \(1+2\sin x\cos x=2\). Hence \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); squaring is useful in such questions.
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) होता है। इसलिए दिया गया मान सीधे (2) है। / \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). Therefore, the required value is directly (2).
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\sin x=\frac{1}{4}\); हर व्युत्क्रम फलन को जोड़ी में याद करें। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\). Hence \(\sin x=\frac{1}{4}\); learn each reciprocal function as a pair.
क्योंकि \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\), इसलिए अनुपात (1) है। पहचान को पहले बदलकर देखें। / Since \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\), the ratio is (1). First convert using identities.
क्योंकि \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), इसलिए मान (1) होगा। \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) सबसे जरूरी पहचान है। / Since \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), the value is (1). \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) is the most important identity.
\(\sin kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ (k=3), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{3}\) है। / The period of \(\sin kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here (k=3), so the period is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\tan kx\) का काल \(\frac{\pi}{k}\) होता है। (k=4) रखने पर काल \(\frac{\pi}{4}\) मिलता है। / The period of \(\tan kx\) is \(\frac{\pi}{k}\). Substituting (k=4) gives period \(\frac{\pi}{4}\).
\(\cos x\) का परिसर ([-1,1]) है। (2) से गुणा करने पर परिसर ([-2,2]) हो जाता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]). Multiplying by (2) changes the range to ([-2,2]).
\(\sin x\) का अधिकतम मान (1) है। इसलिए \(3\sin x+1\) का अधिकतम मान (4) होगा। / The maximum value of \(\sin x\) is (1). Hence the maximum value of \(3\sin x+1\) is (4).
\(\sin x=\frac{15}{17}\) मिलता है और \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\cot x=\frac{8}{15}\)। / \(\sin x=\frac{15}{17}\) and \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\). Therefore, \(\cot x=\frac{8}{15}\).
\(\tan x=\frac{3}{4}\) से समकोण त्रिभुज में कर्ण (5) होगा। इसलिए \(\sin x=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan x=\frac{3}{4}\), the hypotenuse in a right triangle is (5). Hence \(\sin x=\frac{3}{5}\).
\(\cot x=\frac{5}{12}\) में आसन्न (5) और सामने (12) मानें। कर्ण (13) होगा, इसलिए \(\cos x=\frac{5}{13}\)। / For \(\cot x=\frac{5}{12}\), take adjacent as (5) and opposite as (12). The hypotenuse is (13), so \(\cos x=\frac{5}{13}\).
(\sin\(\pi+x\)=-\sin x) और (\sin\(\pi-x\)=\sin x) होते हैं। इसलिए योग (0) है। / (\sin\(\pi+x\)=-\sin x) and (\sin\(\pi-x\)=\sin x). Hence the sum is (0).
(\cos\(\pi+x\)=-\cos x) और (\cos\(\pi-x\)=-\cos x) होते हैं। इसलिए योग \(-2\cos x\) है। / (\cos\(\pi+x\)=-\cos x) and (\cos\(\pi-x\)=-\cos x). Therefore, the sum is \(-2\cos x\).
(\tan\(\pi+x\)=\tan x) और (\tan\(\pi-x\)=-\tan x) होते हैं। इसलिए अंतर \(2\tan x\) है। / (\tan\(\pi+x\)=\tan x) and (\tan\(\pi-x\)=-\tan x). Therefore, the difference is \(2\tan x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\sin\) बदलकर \(\cos\) होता है और चिन्ह धनात्मक रहता है। इसलिए उत्तर \(\cos x\) है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\sin\) changes to \(\cos\) and the sign remains positive. Hence the answer is \(\cos x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए \(-\sin x\) मिलता है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign. Hence it becomes \(-\sin x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x).
(\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x), इसलिए (\sec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\sin x}=\cosec x)। पूरक कोण में सहफलन बनता है। / (\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x), so (\sec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\sin x}=\cosec x). Complementary angles give cofunctions.
(\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), इसलिए (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x)। व्युत्क्रम और पूरक पहचान साथ लगाएँ। / (\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), so (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x). Use reciprocal and cofunction identities together.
पहचान से \(|\cos x|=\frac{24}{25}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\cos x|=\frac{24}{25}\). In the second quadrant, \(\cos x\) is negative.
\(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) से \(|\sec x|=\frac{41}{40}\) मिलता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\sec x\) ऋणात्मक होता है। / From \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), \(|\sec x|=\frac{41}{40}\). In the third quadrant, \(\sec x\) is negative.
पहचान से \(|\sin x|=\frac{8}{17}\) मिलता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\sin x|=\frac{8}{17}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cosec x\) धनात्मक होता है। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\). In the second quadrant, \(\cosec x\) is positive.
\(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) होगा। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) लिया जाता है। / \(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\). In the first quadrant, \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) is taken.
\(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / \(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ (k=5), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{5}\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here (k=5), so the period is \(\frac{2\pi}{5}\).
\(\cos x\) का अधिकतम मान (1) है। इसलिए \(-3\cos x\) का न्यूनतम मान (-3) होगा। / The maximum value of \(\cos x\) is (1). Therefore, the minimum value of \(-3\cos x\) is (-3).
\(\sin x\) का परिसर ([-1,1]) है। (2) जोड़ने पर परिसर ([1,3]) हो जाता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]). Adding (2) changes the range to ([1,3]).
\(\cos x\) का मान ([-1,1]) में होता है। इसलिए \(1-\cos x\) का परिसर ([0,2]) है। / The value of \(\cos x\) lies in ([-1,1]). Therefore, the range of \(1-\cos x\) is ([0,2]).
अंश और हर को \(\cos x\) से भाग देने पर \(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\) मिलता है। \(\tan x=3\) रखने पर मान (2) है। / Dividing numerator and denominator by \(\cos x\) gives \(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\). Substituting \(\tan x=3\) gives (2).
मान \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\) है। हर को परिमेय करने पर \(7+4\sqrt{3}\) मिलता है। / The value is \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\). Rationalising the denominator gives \(7+4\sqrt{3}\).
क्योंकि (\(\sec x+\tan x\)\(\sec x-\tan x\)=1)। इसलिए दूसरा गुणनखंड \(\frac{1}{5}\) होगा। / Since (\(\sec x+\tan x\)\(\sec x-\tan x\)=1). Therefore, the other factor is \(\frac{1}{5}\).
इसे (\(\sin^2 x-\cos^2 x\)\(\sin^2 x+\cos^2 x\)) लिखें। दूसरा गुणनखंड (1) है। / Write it as (\(\sin^2 x-\cos^2 x\)\(\sin^2 x+\cos^2 x\)). The second factor is (1).
ऊपर \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) और नीचे \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) है। अनुपात \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\) होता है। / The numerator is \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) and the denominator is \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\). Their ratio is \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\).
हर को परिमेय करने पर (\frac{\(1+\sin x\)2}{\cos-2 x}) मिलता है। यह (\(\sec x+\tan x\)2) के बराबर है। / Rationalising the denominator gives (\frac{\(1+\sin x\)2}{\cos-2 x}). This equals (\(\sec x+\tan x\)2).
अर्ध कोण पहचान के अनुसार \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)। अर्ध कोण रूपों को अलग से याद रखें। / By the half-angle identity, \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\). Remember half-angle forms separately.
मानक अर्ध कोण पहचान \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\) है। ऐसे रूप में अर्ध कोण तुरंत पहचानें। / The standard half-angle identity is \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\). Identify the half-angle form quickly.
