Level 56 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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What is the value of \( \frac{12!}{9!} \)?
C. (1320)
(12!) को \(12\cdot11\cdot10\cdot9!\) लिखने पर मान (1320) मिलता है। परीक्षा में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाएं। / Writing (12!) as \(12\cdot11\cdot10\cdot9!\) gives (1320). In exams, expand the larger factorial up to the smaller factorial.
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What is the simplified value of \( \frac{10!}{7!\cdot3!} \)?
B. (120)
(10!) को \(10\cdot9\cdot8\cdot7!\) लिखकर (3!) से भाग देने पर (120) मिलता है। समान फैक्टोरियल पहले काटें। / Writing (10!) as \(10\cdot9\cdot8\cdot7!\) and dividing by (3!) gives (120). Cancel common factorials first.
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Find the value of \( \frac{8!-7!}{6!} \).
D. (49)
(8!-7!=7!(8-1)) और \( \frac{7!}{6!}=7 \), इसलिए मान (49) है। घटाव में सामान्य फैक्टर निकालें। / (8!-7!=7!(8-1)) and \( \frac{7!}{6!}=7 \), so the value is (49). Take the common factor in subtraction.
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If ( \frac{(n+2)!}{n!}=90 ), what is the value of (n)?
A. (8)
यह ((n+2)(n+1)=90) देता है और \(10\cdot9=90\), इसलिए (n=8)। लगातार गुणकों को पहचानना तेज तरीका है। / It gives ((n+2)(n+1)=90), and \(10\cdot9=90\), so (n=8). Recognizing consecutive factors is a quick method.
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If ( \frac{n!}{(n-3)!}=336 ), what is the positive value of (n)?
C. (8)
यह (n(n-1)(n-2)=336) है और \(8\cdot7\cdot6=336\)। ऐसे प्रश्नों में तीन लगातार घटते गुणक देखें। / It is (n(n-1)(n-2)=336), and \(8\cdot7\cdot6=336\). In such questions, look for three consecutive decreasing factors.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+2)!+(n+1)!}{n!} )?
B. ( (n+1)(n+3) )
दोनों पदों में ((n+1)!) सामान्य है, इसलिए सरल रूप ((n+1)(n+3)) है। पहले सामान्य फैक्टोरियल बाहर निकालें। / ((n+1)!) is common in both terms, so the simplified form is ((n+1)(n+3)). Take the common factorial out first.
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If \( \frac{(n+3)!-(n+2)!}{(n+1)!}=49 \), what will be the value of (n)?
D. (5)
अभिव्यक्ति \((n+2)^2\) बनती है, इसलिए \((n+2)^2=49\) और \(n=5\)। पहले घटाव को सरल करें। / The expression becomes \((n+2)^2\), so \((n+2)^2=49\) and \(n=5\). Simplify the subtraction first.
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What is the simplified value of \( \frac{14!}{11!}\div\frac{7!}{4!} \)?
A. \( \frac{52}{5} \)
मान \( \frac{14\cdot13\cdot12}{7\cdot6\cdot5}=\frac{52}{5} \) है। भाग में दोनों फैक्टोरियल अनुपात अलग-अलग फैलाएं। / The value is \( \frac{14\cdot13\cdot12}{7\cdot6\cdot5}=\frac{52}{5} \). In division, expand both factorial ratios separately.
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What is the value of \( \frac{9!}{6!\cdot2!} \)?
C. 252
\(9!=9\times8\times7\times6!\) होने से \(\frac{9!}{6!\cdot2!}=\frac{9\times8\times7}{2}=252\)। अतः सही उत्तर 252 है। 336 प्राप्त करना एक सामान्य त्रुटि है, जो \(2!\) से भाग न देने पर आता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(9!=9\times8\times7\times6!\), \(\frac{9!}{6!\cdot2!}=\frac{9\times8\times7}{2}=252\). Therefore, 252 is correct. The value 336 is a common error obtained by not dividing by \(2!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial term first and then multiply the remaining factors.
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What is ( \frac{(2n+2)!}{(2n)!} ) equal to?
B. ( (2n+2)(2n+1) )
((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!), इसलिए उत्तर ((2n+2)(2n+1)) है। सूचक वाले फैक्टोरियल में क्रम न छोड़ें। / ((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!), so the answer is ((2n+2)(2n+1)). Do not skip the order in indexed factorials.
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If ( \frac{(2n+2)!}{(2n)!}=132 ), what is the value of (n)?
D. (5)
यह ((2n+2)(2n+1)=132) देता है और \(12\cdot11=132\), इसलिए (n=5)। पहले लगातार गुणकों को मिलाएं। / It gives ((2n+2)(2n+1)=132), and \(12\cdot11=132\), so (n=5). Match the consecutive factors first.
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What is the simplified form of ( \frac{m!}{(m-2)!(m-1)} )?
A. (m)
(m!=m(m-1)(m-2)!), इसलिए काटने पर (m) बचता है। फैक्टोरियल को ठीक उसी सीमा तक फैलाएं। / (m!=m(m-1)(m-2)!), so (m) remains after cancellation. Expand the factorial exactly up to the needed limit.
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If \( \frac{n!}{(n-2)!}=9n \), what is the positive value of (n)?
B. 10
क्योंकि \(n! = n(n-1)(n-2)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। अतः \(n(n-1)=9n\)। फैक्टोरियल के लिए \(n\geq2\) है, इसलिए \(n\) से भाग देने पर \(n-1=9\) मिलता है। इसलिए \(n=10\)। विकल्प 9 सही नहीं है, क्योंकि तब बायाँ पक्ष \(9\times8=72\) होगा, जबकि दायाँ पक्ष \(81\) है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाइए। / Since \(n! = n(n-1)(n-2)!\), \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Hence, \(n(n-1)=9n\). For the factorial expression, \(n\geq2\), so dividing by \(n\) gives \(n-1=9\). Therefore, \(n=10\). Option 9 is not correct because it gives \(9\times8=72\) on the left, whereas the right side is \(81\). Exam tip: In factorial quotients, first expand the larger factorial up to the smaller factorial.
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What is the value of \( \frac{11!}{8!\cdot3!}\div\frac{10!}{7!\cdot3!} \)?
C. \( \frac{11}{8} \)
पहला पद (165) और दूसरा (120) है, इसलिए अनुपात \( \frac{11}{8} \) है। भाग को भिन्न के अनुपात की तरह लें। / The first term is (165) and the second is (120), so the ratio is \( \frac{11}{8} \). Treat division as a ratio of fractions.
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What is the value of \( \frac{12!}{8!\cdot4!}-\frac{11!}{7!\cdot4!} \)?
A. (165)
दोनों पद क्रमशः (495) और (330) हैं, इसलिए अंतर (165) है। पहले हर पद को अलग सरल करें। / The two terms are (495) and (330), so the difference is (165). Simplify each term separately first.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+1)!+n!}{n!} \)?
D. \(n+2\)
\((n+1)!=(n+1)n!\) का उपयोग करने पर अंश \((n+1)n!+n!\) होगा। \(n!\) को उभयनिष्ठ लेने पर यह \((n+2)n!\) बनता है। अब \(n!\) से भाग देने पर मान \(n+2\) मिलता है। \(n+1\) केवल पहले पद \((n+1)!/n!\) का मान है; इसमें दूसरे पद \(n!/n!=1\) को भी जोड़ना होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\), the numerator becomes \((n+1)n!+n!\). Taking \(n!\) common gives \((n+2)n!\). On dividing by \(n!\), the result is \(n+2\). The expression \(n+1\) accounts only for \((n+1)!/n!\); the additional term \(n!/n!=1\) must also be included. Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial as a multiple of the smaller one.
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If \( \frac{(n+1)!+n!}{n!}=13 \), what is the value of (n)?
C. 11
क्योंकि \((n+1)!=(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+1)!+n!}{n!}=\frac{(n+1)n!+n!}{n!}=n+2\)। अतः \(n+2=13\), जिससे \(n=11\) मिलता है। विकल्प 12 लेने पर बायाँ पक्ष 14 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)n!\), \(\frac{(n+1)!+n!}{n!}=\frac{(n+1)n!+n!}{n!}=n+2\). Hence, \(n+2=13\), giving \(n=11\). If \(n=12\), the left-hand side becomes 14, so it is not correct. Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial as a multiple of the smaller factorial.
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What is the value of \( \frac{15!}{13!}-\frac{14!}{12!} \)?
B. 28
\(15! = 15\cdot14\cdot13!\), इसलिए \(\frac{15!}{13!}=15\cdot14=210\)। इसी प्रकार, \(14! = 14\cdot13\cdot12!\), अतः \(\frac{14!}{12!}=14\cdot13=182\)। इसलिए आवश्यक मान \(210-182=28\) है। विकल्प 32 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को गलत तरीके से काट दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \(15! = 15\cdot14\cdot13!\), \(\frac{15!}{13!}=15\cdot14=210\). Similarly, \(14! = 14\cdot13\cdot12!\), so \(\frac{14!}{12!}=14\cdot13=182\). Hence, the required value is \(210-182=28\). A value such as 32 may result from cancelling factorial terms incorrectly. Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
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What is the value of \( \frac{6!}{3!}+\frac{5!}{2!} \)?
D. (180)
दोनों पद (120) और (60) हैं, इसलिए योग (180) है। मिश्रित योग में हर पद अलग हल करें। / The two terms are (120) and (60), so the sum is (180). In a mixed sum, solve each term separately.
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If \( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}+\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=200 \), what is the value of (n)?
C. 7
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः योग \((n+3)[(n+4)+(n+2)]=2(n+3)^2\) होगा। इसलिए \(2(n+3)^2=200\), अर्थात \((n+3)^2=100\)। फैक्टोरियल के लिए मान्य गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेने पर \(n+3=10\), इसलिए \(n=7\)। \(n=-13\) फैक्टोरियल पदों के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, their sum is \((n+3)[(n+4)+(n+2)]=2(n+3)^2\). Thus \(2(n+3)^2=200\), giving \((n+3)^2=100\). For the valid non-negative integer factorial domain, \(n+3=10\), so \(n=7\). The other algebraic value, \(n=-13\), does not make the factorial terms valid. Exam tip: in factorial quotients, cancel common factors and write the remaining consecutive factors.
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What is the simplified form of \( \frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{n+3} \)?
D. \((n+2)(n+1)\)
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\) होता है। इसलिए \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\)। अब \(n+3\) से भाग देने पर \((n+2)(n+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(n+3\) का गुणनखंड अभी भी बचा है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर लिखें, फिर समान गुणनखंड काटें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\). Dividing this by \(n+3\) leaves \((n+2)(n+1)\). Option B is not correct because it still contains the factor \(n+3\). Exam tip: In factorial divisions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
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What is the value of \( \frac{13!}{10!\cdot3!}-\frac{12!}{9!\cdot3!} \)?
B. (66)
पहला पद (286) और दूसरा (220) है, इसलिए अंतर (66) है। ऐसे प्रश्नों में हर पद का मान लिखकर घटाएं। / The first term is (286) and the second is (220), so the difference is (66). In such questions, write each term value and subtract.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (72)?
A. (6)
\(72=2^3\cdot3^2\) है और (6!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंड जांचें। / \(72=2^3\cdot3^2\), and (6!) contains all these factors. For divisibility, check prime factors.
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How many zeros will be at the end of (18!)?
D. (3)
अंतिम शून्यों की संख्या (5) के गुणकों से मिलती है और (18!) में (5,10,15) हैं। इसलिए कुल (3) शून्य होंगे। / The number of ending zeros comes from multiples of (5), and (18!) has (5,10,15). Therefore, there are (3) zeros.
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What is the highest power of (2) that divides (10!)?
C. (8)
घात \( \left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor=8 \) है। अभाज्य घात के लिए भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor=8 \). For prime exponents, add the quotients.
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What will be the highest power of (5) in (25!)?
B. (6)
घात \( \left\lfloor\frac{25}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{25}\right\rfloor=6 \) है। (25) जैसे उच्च गुणकों को न भूलें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{25}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{25}\right\rfloor=6 \). Do not forget higher multiples such as (25).
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What is the simplified form of ( \frac{(n!)2}{(n-1)!(n+1)!} )?
C. \( \frac{n}{n+1} \)
( \frac{n!}{(n-1)!}=n ) और ( \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} ), इसलिए उत्तर \( \frac{n}{n+1} \) है। अनुपात को दो छोटे भागों में तोड़ें। / ( \frac{n!}{(n-1)!}=n ) and ( \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} ), so the answer is \( \frac{n}{n+1} \). Break the ratio into two smaller parts.
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If ( \frac{(n!)2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{5}{6} ), what is the value of (n)?
A. (5)
सरल रूप \( \frac{n}{n+1} \) है, इसलिए \( \frac{n}{n+1}=\frac{5}{6} \)। इससे (n=5) मिलता है। / The simplified form is \( \frac{n}{n+1} \), so \( \frac{n}{n+1}=\frac{5}{6} \). This gives (n=5).
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What is the simplified form of ( \frac{(n+2)!}{(n-2)!\cdot n(n-1)} )?
B. ( (n+2)(n+1) )
ऊपर ((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!) बनता है। हर से काटने पर ((n+2)(n+1)) बचता है। / The numerator becomes ((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!). After cancellation with the denominator, ((n+2)(n+1)) remains.
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If \( \frac{(n+2)!}{(n-2)!}=1680 \), what is the value of (n)?
D. 6
\((n+2)!\) और \((n-2)!\) में समान पदों को काटने पर \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)\) मिलता है। अतः चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 1680 होना चाहिए। \(8\times7\times6\times5=1680\), इसलिए \(n-1=5\) और \(n=6\)। निकटतम विकल्प 7 के लिए गुणनफल \(9\times8\times7\times6\) होगा, जो 1680 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे अनुपात में पहले बड़े फैक्टोरियल को फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को रद्द करें। / Cancelling the common factorial terms gives \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)\). Thus, the product of four consecutive integers must be 1680. Since \(8\times7\times6\times5=1680\), we get \(n-1=5\), so \(n=6\). For the closest distractor, \(n=7\) gives \(9\times8\times7\times6\), not 1680. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial first and cancel the common factorial part.
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What is the value of \( \frac{16!}{14!\cdot2!}+\frac{15!}{13!\cdot2!} \)?
C. (225)
पहला पद (120) और दूसरा (105) है, इसलिए योग (225) है। जोड़ने से पहले दोनों भाग अलग निकालें। / The first term is (120) and the second is (105), so the sum is (225). Find both parts separately before adding.
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What is the simplified value of \( \frac{18!}{15!}\div\frac{6!}{3!} \)?
B. \( \frac{204}{5} \)
मान \( \frac{18\cdot17\cdot16}{6\cdot5\cdot4}=\frac{204}{5} \) है। भाग में दोनों पक्षों को समान लंबाई के गुणनफल में बदलें। / The value is \( \frac{18\cdot17\cdot16}{6\cdot5\cdot4}=\frac{204}{5} \). In division, convert both sides into products of equal length.
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What is ( \frac{(3n)!}{(3n-2)!} ) equal to?
A. (3n(3n-1))
((3n)!=(3n)(3n-1)(3n-2)!), इसलिए उत्तर (3n(3n-1)) है। सूचक वाले पद को एक इकाई की तरह संभालें। / ((3n)!=(3n)(3n-1)(3n-2)!), so the answer is (3n(3n-1)). Handle the indexed term as one unit.
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If \( \frac{(3n)!}{(3n-2)!}=132 \), what is the value of (n)?
D. 4
\((3n)!\) में से \((3n-2)!\) कटने पर \(3n(3n-1)=132\) मिलता है। क्योंकि \(12\times 11=132\), अतः \(3n=12\)। इसलिए \(n=4\)। \(3n=-11\) लेने पर फैक्टोरियल परिभाषित नहीं होगा, इसलिए वह मान मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भागों में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक क्रमागत गुणनखंडों तक फैलाकर काटें। / Cancelling \((3n-2)!\) from \((3n)!\) gives \(3n(3n-1)=132\). Since \(12\times 11=132\), we get \(3n=12\). Therefore, \(n=4\). The alternative value \(3n=-11\) is invalid because factorials are not defined for negative integers. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial only up to the factors needed for cancellation.
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Which is the correct expansion of \( \frac{(2n)!}{(2n-3)!} \)?
C. \((2n)(2n-1)(2n-2)\)
\((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!\) लिखने पर हर में उपस्थित \((2n-3)!\) कट जाता है। अतः शेष विस्तार \((2n)(2n-1)(2n-2)\) है। विकल्प B में \(2n\) के स्थान पर \(2n-3\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{m!}{(m-r)!}\) में ऊपर से लगातार \(r\) गुणक लिखें। / Write \((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!\). The common factor \((2n-3)!\) cancels with the denominator, leaving \((2n)(2n-1)(2n-2)\). Option B incorrectly includes \(2n-3\) instead of starting with \(2n\). Exam tip: in \(\frac{m!}{(m-r)!}\), write the first \(r\) consecutive factors descending from \(m\).
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If \( \frac{(2n)!}{(2n-3)!}=720 \), what is the value of (n)?
A. 5
\((2n)!\) और \((2n-3)!\) को काटने पर \(\frac{(2n)!}{(2n-3)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)\) मिलता है। अतः \((2n)(2n-1)(2n-2)=720\)। क्योंकि \(10\times9\times8=720\), इसलिए \(2n=10\) और \(n=5\)। विकल्प 6 के लिए गुणनफल \(12\times11\times10\) होगा, जो 720 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे फैक्टोरियल भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक पदों को फैलाकर समान पदों को निरस्त करें। / Cancelling \((2n-3)!\) from \((2n)!\) gives \(\frac{(2n)!}{(2n-3)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)\). Hence, \((2n)(2n-1)(2n-2)=720\). Since \(10\times9\times8=720\), we get \(2n=10\), so \(n=5\). For option 6, the product would be \(12\times11\times10\), not 720. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common terms.
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By how much is \( \frac{9!}{7!} \) greater than \( \frac{8!}{6!} \)?
B. 16
\(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\), क्योंकि \(7!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\)। अतः आवश्यक अंतर \(72-56=16\) है। विकल्प 20 प्राप्त हो सकता है यदि गुणनफल या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान छोटे फैक्टोरियल को काटकर केवल शेष क्रमागत संख्याओं का गुणन करें। / \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\) because \(7!\) cancels out. Similarly, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\). Therefore, the required difference is \(72-56=16\). Option 20 can result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common smaller factorial first and multiply only the remaining consecutive numbers.
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What is the simplified value of \( \frac{4!\cdot8!}{5!\cdot7!} \)?
D. \( \frac{8}{5} \)
\( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \) और \( \frac{8!}{7!}=8 \), इसलिए मान \( \frac{8}{5} \) है। गुणन में अलग-अलग अनुपात काटें। / \( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \) and \( \frac{8!}{7!}=8 \), so the value is \( \frac{8}{5} \). Cancel separate ratios in multiplication.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}-\frac{n!}{(n-2)!} \)?
C. \(2n\)
\(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) और \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\) होगा। अतः अंतर \(n(n+1)-n(n-1)=n[(n+1)-(n-1)]=2n\) है। \(2n+1\) लेने पर घटाव में होने वाला सही सरलीकरण छूट जाता है। परीक्षा टिप: भिन्नों में फैक्टोरियल को नीचे वाले फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\), while \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Therefore, the difference is \(n(n+1)-n(n-1)=n[(n+1)-(n-1)]=2n\). \(2n+1\) would result from an incorrect simplification of the subtraction. Exam tip: expand factorials only up to the denominator factorial and cancel common factors.
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If \( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}-\frac{n!}{(n-2)!}=18 \), what is the value of (n)?
B. 9
\(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) तथा \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। इसलिए उनका अंतर \(n(n+1)-n(n-1)=2n\) होगा। अतः \(2n=18\), जिससे \(n=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 10 लेने पर अंतर \(20\) आता, 18 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल को साझा छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके काटें। / \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) and \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Their difference is therefore \(n(n+1)-n(n-1)=2n\). Hence \(2n=18\), giving \(n=9\). For example, if \(n=10\), the difference would be \(20\), not 18. Exam tip: expand factorials only up to the common smaller factorial, then cancel.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+2)!}{(n-1)!}-\frac{(n+1)!}{(n-2)!} \)?
A. \(3n(n+1)\)
\(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\)। अतः अंतर \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)] = 3n(n+1)\) होगा। विकल्प C केवल पहला पद है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले तक फैलाकर समान गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\), while \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\). Therefore, the difference is \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)] = 3n(n+1)\). Option C is only the first term, so it is not correct. Exam tip: expand the numerator factorial down to the denominator factorial, then factor out common terms.
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If \( \frac{(n+2)!}{(n-1)!}-\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=216 \), what is the value of (n)?
D. 8
\(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\)। अतः अंतर \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\) होगा। इसलिए \(3n(n+1)=216\), अर्थात \(n(n+1)=72\)। चूँकि \(8\times9=72\), इसलिए \(n=8\)। \(n=7\) लेने पर गुणनफल केवल \(56\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में समान पदों को काटकर लगातार गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) and \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\). Their difference is \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\). Hence, \(3n(n+1)=216\), so \(n(n+1)=72\). Since \(8\times9=72\), \(n=8\). For \(n=7\), the product is only \(56\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common terms and rewrite the result as consecutive factors.
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How many consecutive factors remain in the expansion of ( \frac{(n+5)!}{(n+1)!} )?
B. (4)
विस्तार ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)) है, इसलिए (4) गुणक बचते हैं। फैक्टोरियल अंतर से गुणकों की संख्या मिलती है। / The expansion is ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)), so (4) factors remain. The factorial gap gives the number of factors.
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When (n=3), what is the value of ( \frac{(n+5)!}{(n+1)!} )?
C. (1680)
(n=3) रखने पर \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \)। मान रखने से पहले सामान्य रूप समझें। / Putting (n=3) gives \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \). Understand the general form before substituting.
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What is the value of \( \frac{20!}{18!\cdot2!}-\frac{19!}{18!} \)?
A. 171
\(20!=20\cdot19\cdot18!\) और \(2!=2\) है। इसलिए पहला पद \(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\cdot19}{2}=190\) होगा। साथ ही, \(\frac{19!}{18!}=19\)। अतः दिया गया मान \(190-19=171\) है। विकल्प 190 केवल पहला पद है, पूरा व्यंजक नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर सरल करें। / Since \(20!=20\cdot19\cdot18!\) and \(2!=2\), the first term is \(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\cdot19}{2}=190\). Also, \(\frac{19!}{18!}=19\). Hence, the value of the expression is \(190-19=171\). Option 190 represents only the first term, not the complete expression. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms before calculating.
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What is the simplified value of \( \frac{11!}{5!\cdot6!}\div\frac{10!}{5!\cdot5!} \)?
D. \( \frac{11}{6} \)
दोनों पद (462) और (252) हैं, इसलिए अनुपात \( \frac{11}{6} \) है। बड़े मानों को काटकर सरल अनुपात बनाएं। / The two terms are (462) and (252), so the ratio is \( \frac{11}{6} \). Reduce large values to a simple ratio.
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If \( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}=182 \), what is the value of (n)?
B. 10
\((n+4)!\) में से \((n+2)!\) कटने पर \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) प्राप्त होता है। अतः \((n+4)(n+3)=182\)। क्योंकि \(182=14\times13\), इसलिए \(n+4=14\) और \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(13\times12=156\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल को काटें। / Cancelling \((n+2)!\) from \((n+4)!\) gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=182\). Since \(182=14\times13\), we get \(n+4=14\), so \(n=10\). For option 9, the product would be \(13\times12=156\), so it is not correct. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only as far as needed and cancel the common factorial term.
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What is the value of \(\frac{13!}{10!}+\frac{12!}{9!}\)?
A. (3036)
पहला पद \(13\cdot12\cdot11=1716\) और दूसरा \(12\cdot11\cdot10=1320\) है। योग (3036) है। / The first term is \(13\cdot12\cdot11=1716\) and the second is \(12\cdot11\cdot10=1320\). The sum is (3036).
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If \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=210\), what is the value of \(n\)?
C. 10
\(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\), इसलिए \((n+5)(n+4)=210\)। \(n=10\) रखने पर \(15\times14=210\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 10 है। विकल्प 9 पर गुणनफल \(14\times13=182\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: क्रमागत गुणनखंडों में बदलने से पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें। / Using cancellation of factorials, \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Thus, \((n+5)(n+4)=210\). For \(n=10\), the product is \(15\times14=210\), so the correct answer is 10. Option 9 is incorrect because it gives \(14\times13=182\). Exam tip: cancel the common factorial terms before solving the resulting quadratic or product equation.
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What is the value of \(\frac{21!}{19!\cdot2!}-\frac{18!}{16!\cdot2!}\)?
A. 57
\(\frac{21!}{19!\cdot2!}=\frac{21\times20}{2}=210\) और \(\frac{18!}{16!\cdot2!}=\frac{18\times17}{2}=153\)। अतः मान \(210-153=57\) है। विकल्प 63 सही नहीं है, क्योंकि दूसरे पद को 153 के बजाय 147 मानने पर वह प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: फैक्टोरियल को पहले छोटे गुणनखंडों में काटकर सरल करें, फिर गणना करें। / \(\frac{21!}{19!\cdot2!}=\frac{21\times20}{2}=210\), and \(\frac{18!}{16!\cdot2!}=\frac{18\times17}{2}=153\). Therefore, the value is \(210-153=57\). Option 63 results from an incorrect evaluation of the second term as 147. Exam tip: cancel the factorials into a few consecutive factors before performing the arithmetic.
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