Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या के लिए सूत्र \(2^{n}\) होता है जहाँ \(n\) समुच्चय के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=3\) है, अतः उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{3}=8\)। विकल्प A (6) का भ्रमित करने वाला कारण यह है कि 6 = 3! जो तर्कशैली में क्रमबद्ध करने पर आता है, पर उपसमुच्चयों की गिनती के लिए factorial लागू नहीं होता। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा \(n(A)\) गिनकर फिर \(2^{n}\) लगाएँ। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is given by \(2^{n}\). Here \(n=3\), so the number of elements in \(\mathcal{P}(A)\) is \(2^{3}=8\). Option A (6) might arise from mistakenly using 3! (permutations), which is not applicable for counting subsets. Quick exam tip: always count \(n(A)\) first and then compute \(2^{n}\).
यदि समुच्चय में (n) तत्व हों, तो घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहां \(2^4=16\), इसलिए यह नियम याद रखें। / If a set has (n) elements, its power set has \(2^n\) elements. Here \(2^4=16\), so remember this rule.
(A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय देखें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, always check the universal set before finding a complement.
(\mathcal{P}(A)) के तत्व हमेशा (A) के उपसमुच्चय होते हैं। (a) स्वयं तत्व है उपसमुच्चय नहीं। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A). The symbol (a) is an element not a subset.
घात समुच्चय का हर तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({a,{c}}) के दोनों तत्व (A) में हैं, इसलिए यह सही है। / Every element of a power set is a subset of the original set. Both elements of ({a,{c}}) are in (A), so it is correct.
पूरक में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। (U) बदले तो पूरक भी बदल सकता है। / The complement contains elements of (U) that are not in (A). If (U) changes the complement may change.
\(2^n=32\) से (n=5), इसलिए कुल उपसमुच्चय (32) हैं। उचित उपसमुच्चय में स्वयं (A) नहीं आता, इसलिए संख्या (31) होगी। / From \(2^n=32\), we get (n=5), so total subsets are (32). A proper subset excludes (A) itself, so the number is (31).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और उचित उपसमुच्चय में (A) स्वयं शामिल नहीं होता। इसलिए संख्या (15) है। / Total subsets are \(2^4=16\) and a proper subset excludes (A) itself. Therefore the number is (15).
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या मूल समुच्चय \(A\) के तत्वों की संख्या \(n\) के लिए \(2^n\) होती है. यहाँ \(2^n=32\) है, अतः \(n=\log_2 32=5\). इसलिए \(A\) में 5 तत्व हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि \(2^4=16\), विकल्प C गलत है क्योंकि \(2^6=64\), और विकल्प D स्पष्टतः असंगत है (\(2^{16}\) बहुत बड़ा होगा)। परीक्षा टिप: पावर सेट की संख्या दी हो तो सीधे \(n=\log_2(\text{पावर सेट की संख्या})\) ले लें। / For a set with \(n\) elements the power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements. Given \(2^n=32\), we get \(n=\log_2 32=5\). Hence \(A\) has 5 elements. Option A is wrong because \(2^4=16\); option C is wrong because \(2^6=64\); option D is far off since \(2^{16}\) is extremely large. Exam tip: when a power-set size is given, compute \(n=\log_2(\text{size})\) or recognize powers of 2 quickly (16, 32, 64...).
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय होता है, वह स्वयं रिक्त समुच्चय है। इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)) में एक तत्व होता है। / The empty set has only one subset, the empty set itself. Therefore (\mathcal{P}\(\varnothing\)) has one element.
सेट \(A\) में केवल एक तत्व है — वह तत्व ही \(\emptyset\) है। किसी सेट के पावर सेट में उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, जहाँ \(n\) मूल सेट के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=1\) है, अतः \(|\mathcal{P}(A)|=2^1=2\)। वास्तव में पावर सेट के दो उपसमुच्चय हैं: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\)। विकल्प (A) आम गलतफहमी है क्योंकि कुछ विद्यार्थी \(\emptyset\) (खाली सेट) और \(\{\emptyset\}\) को समान समझ लेते हैं — वे अलग हैं। परीक्षा-टिप: ध्यान रखें कि \(\emptyset\) जब किसी सेट का तत्व हो तो उसे अलग तत्व की तरह गिनें, न कि खाली उपसमुच्चय के रूप में ही। / The set \(A\) has exactly one element, namely \(\emptyset\). The power set of a set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Here \(n=1\), so \(|\mathcal{P}(A)|=2^1=2\). The two subsets are \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\). Option 1 is a common mistake stemming from confusing the empty set with the singleton containing the empty set; they are distinct. Exam tip: always distinguish between an element equal to \(\emptyset\) and the empty subset itself when counting subsets.
(A') खाली होने का अर्थ है कि (U) में (A) के बाहर कोई तत्व नहीं है। इसलिए (A) और (U) समान हैं। / (A') being empty means there is no element of (U) outside (A). Hence (A) and (U) are equal.
B. यह संदर्भ के सभी विचाराधीन तत्वों को रखता है/It contains all elements under consideration
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय संदर्भ के अनुसार सभी विचाराधीन तत्वों का समुच्चय होता है। इसे हमेशा प्रश्न के संदर्भ से पहचानें। / A universal set contains all elements under discussion in the given context. Always identify it from the question context.
अंक (digits) वे मान हैं जो 0 से 9 तक आते हैं, इसलिए सार्वभौमिक समूह U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} होगा। A का पूरक A' = U \,\ A (U से A को घटाना) = {0,1,3,5,7,9}। विकल्प B निकटतम भ्रम है क्योंकि इसमें 0 शामिल नहीं है; विकल्प C तो A स्वयं है; विकल्प D में कुछ A के तत्व (2,4,6,8) शामिल हैं इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा युक्ति: पूरक निकालते समय पहले स्पष्ट कर लें कि यूनिवर्सल सेट में 0 शामिल है या नहीं (digits में हाँ)। / Digits are the numbers 0 through 9, so the universal set is U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. The complement A' = U \ A (elements of U not in A) = {0,1,3,5,7,9}. Option B is a close distractor but wrongly omits 0; option C is just A itself; option D incorrectly keeps some elements of A. Exam tip: when finding complements, first confirm exactly what elements are in the universal set (e.g., whether 0 is counted among digits).
दोनों (A) के उपसमुच्चय हैं इसलिए दोनों (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। घात समुच्चय में पूरा (A) भी शामिल होता है। / Both are subsets of (A), so both are elements of (\mathcal{P}(A)). The power set also contains (A) itself.
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। एकल तत्व और एकल समुच्चय में अंतर रखें। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Keep a single element and a singleton set distinct.
समुच्चय \(A\) में तीन अलग तत्व हैं इसलिए \(n(A)=3\)। किसी भी तत्व के लिए उसे किसी उपसमुच्चय में 'शामिल' या 'न शामिल' करने के दो विकल्प होते हैं। कुल उपसमुच्चयों की संख्या इस द्वि-विकल्प को तीन तत्वों के लिए गुणा करने से मिलती है, अर्थात् \(2\times2\times2=2^3=8\)। विकल्प B (6) गलत है — यह 3 के तत्वों के क्रमबद्ध तरीके (\(3!\)) की संख्या है, जो उपसमुच्चयों की संख्या नहीं बताती; विकल्प D (9) भी गलत है — यह \(3^2\) है और किसी उपसमुच्चयों के नियम से संबंधित नहीं है। परीक्षा टिप: हर तत्व के लिए "रहना/न रहना" दो विकल्प समझकर तुरंत \(2^{n}\) का प्रयोग करें। / The set \(A\) has three distinct elements, so \(n(A)=3\). For each element there are two choices (include or exclude), so the total number of subsets is \(2\times2\times2=2^3=8\), which is \(n(\mathcal{P}(A))\). Option B (6) is incorrect — it equals \(3!\), the number of permutations of three items, not the number of subsets. Option D (9) is also incorrect — it equals \(3^2\), unrelated to the power set count. Exam tip: think "each element in or out" to quickly get \(2^n\) subsets including the empty set.
पूरक का अर्थ है \(U\) के वे तत्व जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\) होंगे, इसलिए कुल 3 तत्व हैं। विकल्प A (2) गलत है क्योंकि उसने एक तत्व (उदा. 4) को छोड़ दिया; विकल्प C (4) गलत है क्योंकि उसमें अनावश्यक अतिरिक्त तत्व जोड़े गए होने चाहिए; विकल्प D (6) गलत है क्योंकि वह पूरे यूनिवर्सल सेट को मान लेता है। परीक्षा संकेत: पूरक निकालते समय सीधे \(U\) और \(A\) के तत्वों की सूची बनाकर अंतर निकालें। / Complement means the elements of \(U\) that are not in \(A\). Here \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\), so there are 3 elements. Option A (2) is wrong because it omits one element (e.g. 4); option C (4) is wrong because it would require an extra element to be (incorrectly) included; option D (6) is wrong because it treats the complement as the whole universal set. Exam tip: To find a complement quickly, list elements of \(U\) and cross out those in \(A\).
सेट \(A=\{1,\{2\}\}\) में दो तत्व हैं: पहला तत्व संख्या 1 और दूसरा तत्व स्वयं एक उपसमुच्चय \(\{2\}\) है। किसी भी सेट के लिए अगर उसमें \(n\) तत्व हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=2\) है, अतः उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) होगी। अक्सर गलती से लोग अंदर वाले ब्रेसेज़ में मौजूद संख्या 2 को अलग तत्व समझ लेते हैं और तीन मान लेते हैं; यह गलत है क्योंकि \(\{2\}\) एक ही तत्व के रूप में गिना जाता है। परीक्षा‑टिप: नेस्टेड ब्रेसेज़ को एक ही तत्व मानें — हर जोड़ने/घटाने से पहले तत्वों की गिनती स्पष्ट करें। / The set \(A=\{1,\{2\}\}\) has two elements: the number 1 and the single element that is the set \(\{2\}\). For a set with \(n\) elements the number of subsets is \(2^n\). Here \(n=2\), so there are \(2^2=4\) subsets. A common mistake is to count the number 2 separately and get 3 subsets; that is incorrect because \(\{2\}\) counts as one element. Exam tip: treat nested braces as a single element and count elements before applying \(2^n\).
पहला कदम है \(A\) का पूरक \(A'\) ज्ञात करना। \(A'=\{b,c\}\) जिसमें दो तत्व हैं, यानी \(|A'|=2\)। किसी समुच्चय के भागसमुच्चयों (power set) की संख्या सूत्र \(2^n\) से दी जाती है जहाँ \(n\) वह समुच्चय के तत्वों की संख्या है। अतः \(|\mathcal{P}(A')|=2^{2}=4\)। गलत विकल्पों का कारण: "2" (विकल्प A) केवल \(|A'|\) है, power set की संख्या नहीं; "8" और "16" इस उदाहरण के लिए अनावश्यक रूप से बड़े मान हैं (8 तब होता यदि सेट में 3 तत्व होते, 16 तब यदि 4 तत्व होते)। परीक्षा टिप: पहले हमेशा पूरक \(A'\) लिखें और फिर \(2^{|A'|}\) का प्रयोग करें। / First find the complement: \(A'=\{b,c\}\), so \(|A'|=2\). The number of subsets (power set) of an \(n\)-element set is \(2^n\). Therefore \(|\mathcal{P}(A')|=2^{2}=4\). Why other choices are wrong: "2" confuses the number of elements in \(A'\) with the number of subsets; "8" and "16" correspond to sets with 3 or 4 elements respectively, not to this case. Exam tip: always determine the complement first, then apply \(2^{|\cdot|}\) to get the power-set size.
\(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है इसलिए यह उसके घात समुच्चय का तत्व है। यह बहुत सामान्य परीक्षा भ्रम है। / \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is an element of its power set. This is a common exam confusion.
रिक्त समुच्चय में (U) का कोई तत्व नहीं है इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। पूरक हमेशा संदर्भ पर निर्भर है। / The empty set contains no element of (U), so its complement is the whole (U). Complement always depends on the context.
एकल उपसमुच्चय प्रत्येक एक तत्व से बनता है इसलिए उनकी संख्या (n(A)) के बराबर होती है। यहां संख्या (5) है। / Each singleton subset is formed from one element, so their number equals (n(A)). Here the number is (5).
दो तत्वों वाले उपसमुच्चय चुनने की संख्या \({}^4C_2=6\) है। निश्चित आकार के उपसमुच्चयों में संयोजन का प्रयोग करें। / The number of two-element subsets is \({}^4C_2=6\). Use combinations for subsets of fixed size.
तीन तत्वों वाला एक ही उपसमुच्चय (A) स्वयं है। पूरा समुच्चय भी घात समुच्चय का तत्व होता है। / There is only one three-element subset which is (A) itself. The whole set is also an element of the power set.
घात-समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में हमेशा \(\emptyset\) और \(A\) दोनों तत्व होते हैं। यहाँ \(\mathcal{P}(A)\) में केवल दो तत्व हैं, अतः \(|\mathcal{P}(A)|=2\)। चूँकि \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}\), इससे \(2^{|A|}=2\) और इसलिए \(|A|=1\)। अतः \(A\) का एकमात्र तत्व चाहिए, यानी \(A=\{x\}\)। विकल्प (A) गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}\) में एक ही तत्व होगा। विकल्प (C) में \(\mathcal{P}(\{\emptyset\})=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\) होता है जिसमें \(\{x\}\) नहीं है। विकल्प (D) का घात-समुच्चय चार तत्वों का होगा। परीक्षा संकेत: पहले \(|\mathcal{P}(A)|\) गिनें और \(|A|=\log_2|\mathcal{P}(A)|\) का प्रयोग करें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) always contains \(\emptyset\) and \(A\). Here \(\mathcal{P}(A)\) has exactly two elements, so \(|\mathcal{P}(A)|=2\). Since \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}\), we get \(2^{|A|}=2\) and hence \(|A|=1\). Therefore \(A\) must be the singleton \(\{x\}\). Option A is wrong because \(\mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}\) has one element. Option C is wrong because \(\mathcal{P}(\{\emptyset\})=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\), not \(\{\emptyset,\{x\}\}\). Option D is wrong because a two-element set has a power set of four elements. Exam tip: count \(|\mathcal{P}(A)|\) and use \(|A|=\log_2|\mathcal{P}(A)|\) to find the size of A quickly.
किसी समुच्चय के घात समुच्चय (power set) में उस समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों को शामिल किया जाता है, और यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्त्व हों तो उसके घात समुच्चय में \(2^n\) तत्त्व होते हैं। यहाँ \(n(A)=2\), इसलिए \(n(B)=2^2=4\)। विकल्प (B) = 3 इसलिए गलत है क्योंकि यह खाली समुच्चय को छोड़कर केवल गैर-खाली उपसमुच्चयों की गिनती की तरह दिखता है; परन्तु घात समुच्चय में खाली समुच्चय भी शामिल होता है। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय के लिए तुरंत याद रखें कि power set का क्रम हमेशा \(2^{n(समुच्चय)}\) होता है और खाली समुच्चय को न भूलें। / The power set contains all subsets of a set; if a set has \(n\) elements then its power set has \(2^n\) elements. Here \(n(A)=2\), so \(n(B)=2^2=4\). Option B (3) is wrong because it omits the empty set (it counts only non-empty subsets). Option A (2) mistakes the number of elements of A for the size of the power set, and D (8) would correspond to a 3-element original set (\(2^3\)). Exam tip: remember the formula \(n(\mathcal{P}(S))=2^{n(S)}\) and always include the empty subset when counting.
समुच्चय का पूरक \(A'\) वे तत्त्व हैं जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(A'=\{1,3,5,7\}\), इसलिए 5 \(A'\) में है। निकटतम विचलन — विकल्प D (8) — गलत है क्योंकि 8 सीधे \(A\) का सदस्य है। परीक्षा‑सुझाव: पूरक पाने के लिए पहले \(U\) और \(A\) की सूचियाँ लिखें और \(A\) के तत्त्व हटा दें। / The complement \(A'\) consists of elements that are in the universal set \(U\) but not in \(A\). Here \(A'=\{1,3,5,7\}\), so 5 is in \(A'\). The closest distractor — option D (8) — is wrong because 8 is a member of \(A\). Exam tip: list elements of \(U\) and remove those in \(A\) to get the complement quickly.
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय चार उपसमुच्चयों से बनता है। तत्वों को उपसमुच्चय की तरह लिखना जरूरी है। / The power set of a two-element set has four subsets. The elements must be written as subsets.
({0,2}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय है। अतः यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / All elements of ({0,2}) are in (A), so it is a subset of (A). Hence it is an element of (\mathcal{P}(A)).
तीन तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \({}^5C_3=10\) है। निश्चित आकार की गिनती में क्रम नहीं माना जाता। / The number of three-element subsets is \({}^5C_3=10\). Order is not considered in fixed-size subset counting.
समापन (complement) का अर्थ है \(A'=U\setminus A\)। पहले \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) और \(U\) में 10 तक की अभाज्य संख्याएँ \(\{2,3,5,7\}\) हैं। अतः \(A'=U\setminus A=\{1,4,6,8,9,10\}\)। नजदीकी बहकाने वाला विकल्प \(\{4,6,8,10\}\) केवल सम संख्या हैं, पर उसमें 1 और 9 व 10 के कुछ तत्व गायब हैं; इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सूत्र: समुच्चय का विरोधी हमेशा यूनिवर्सल सेट में से मूल सेट को घटाकर मिलता है — विशेषकर 1 को भूलने से बचें क्योंकि 1 न तो अभाज्य है न ही धनात्मक अभाज्य के रूप में लिया जाता है। / Complement means \(A'=U\setminus A\). Here \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) and the primes in \(U\) are \(\{2,3,5,7\}\). Therefore \(A'=\{1,4,6,8,9,10\}\). The closest distractor \(\{4,6,8,10\}\) lists only even composites and misses 1 and 9, so it is incorrect. Exam tip: compute \(A'\) by removing all elements of \(A\) from \(U\); remember that 1 is neither prime nor composite and thus belongs to the complement when primes are removed.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में समुच्चय \(A\) के सभी उपसमुच्चय होते हैं। चूँकि \(A\) में चार तत्व हैं, उसी का चार-तत्वीय उपसमुच्चय केवल \(A\) ही हो सकता है, अर्थात् \(\{a,b,c,d\}\)। बाकी विकल्पों की संख्या कम है: \(\emptyset\) में 0 तत्व, \(\{a,b\}\) में 2 तथा \(\{a,b,c\}\) में 3 तत्व हैं। परीक्षा टिप: किसी विकल्प को चुनते समय पहले उसके तत्वों की संख्या (cardinality) गिनें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). Since \(A\) has four elements, the only subset with four elements is \(A\) itself, i.e. \(\{a,b,c,d\}\). The other choices have fewer elements: \(\emptyset\) has 0, \(\{a,b\}\) has 2, and \(\{a,b,c\}\) has 3. Exam tip: quickly count the number of elements in each option to match the required cardinality.
पूरक की परिभाषा: A' = U \,\ A में से U के वे तत्व जिनका A में अभाव हो। यहाँ U \ A = {1,3,5} क्योंकि 0,2,4 A में हैं और बाकी बचे तत्व 1,3,5 हैं। यह सेट B के समान है। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A स्वयं है, विकल्प C (U) गलत है क्योंकि उसमें A के तत्व भी शामिल हैं, और विकल्प D \(\emptyset\) गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट तभी होगा जब A = U। परीक्षा‑टिप: हमेशा A' निकालने के लिए U में से A के तत्व निकाल दें; सीधे सदस्यों की सूची बनाना सबसे तेज तरीका है। / Definition: A' = U \ A, the elements of the universal set U that are not in A. Here U \ A = {1,3,5} because 0,2,4 are in A and the remaining elements of U are 1,3,5. That set equals B. Option A is incorrect because it is A itself, option C (U) is incorrect because it still contains A's elements, and option D \(\emptyset\) is incorrect because the complement is empty only when A = U. Exam tip: compute A' by listing U and removing every element of A — listing elements is faster and less error‑prone than symbolic manipulation for small finite sets.
घात समुच्चय के लिए सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। हमें \(2^{n(A)}=16\) चाहिए। \(2^4=16\) होने से स्पष्ट है कि \(n(A)=4\) सही है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(2^2=4\), \(2^3=8\) और \(2^8=256\) होते हैं। परिक्षा-सूचना: छोटे घात (powers of 2) जैसे \(2^1,2^2,2^3,2^4\) याद रख लें — इससे तेज़ी से उत्तर मिल जाता है। / For a power set the formula is \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). We require \(2^{n(A)}=16\). Since \(2^4=16\), \(n(A)=4\) is correct. The other choices give \(2^2=4\), \(2^3=8\) and \(2^8=256\), so they are incorrect. Exam tip: memorize small powers of 2 (e.g. \(2^1\) to \(2^5\)) to answer such questions quickly.
छह तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^6=64\) होते हैं। हर तत्व के लिए शामिल या न शामिल दो विकल्प होते हैं। / A six-element set has \(2^6=64\) subsets. Each element has two choices included or not included.
सार्वत्रिक समुच्चय का पूरक उसी संदर्भ में रिक्त होता है। (U) के बाहर कोई विचाराधीन तत्व नहीं माना जाता। / The complement of the universal set is empty in that context. No considered element lies outside (U).
(\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) होता है इसलिए उसका सदस्य \(\emptyset\) है। \({\emptyset}\) पूरा घात समुच्चय है सदस्य नहीं। / (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}), so its member is \(\emptyset\). \({\emptyset}\) is the whole power set not its member.
A. \(A\subseteq U\) नहीं है/\(A\subseteq U\) is not true
Explanation
Simple Explanation
पूरक सामान्यतः तब लिया जाता है जब \(A\subseteq U\) हो। यहां (d), (U) में नहीं है इसलिए समस्या है। / Complement is normally taken when \(A\subseteq U\). Here (d) is not in (U), so there is a problem.
विषम तत्व सेट में \(1\) और \(3\) हैं। प्रत्येक विषम तत्व के लिए एक-एक एकल उपसमुच्चय बनता है, यानी \(\{1\}\) और \(\{3\}\)। अतः कुल संख्या 2 है। निकटतम भ्रामक उत्तर \(1\) इसलिए गलत है क्योंकि एक से अधिक विषम तत्व हैं; \(3\) और \(4\) भी गलत हैं क्योंकि वे सेट के विषम तत्वों की वास्तविक गिनती से मेल नहीं खाते। परीक्षा-सुझाव: किसी भी सेट के एकल उपसमुच्चय सीधे उसके तत्वों से मेल खाते हैं — केवल इच्छित प्रकार (यहाँ विषम) के तत्व गिनें। / The odd elements in the set are 1 and 3. Each odd element gives one singleton subset, namely \(\{1\}\) and \(\{3\}\), so there are 2 such subsets. The distractor 1 is wrong because there are two odd elements; 3 and 4 are also incorrect because they do not match the actual count of odd elements. Exam tip: For singleton-counting problems, count the elements that satisfy the condition — each such element corresponds to exactly one singleton subset.
x को अनिवार्य रूप से शामिल मान लें। बचे हुए तत्व y और z हर एक के लिए दो‑दो विकल्प होते हैं — शामिल या नहीं। इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) है। विकल्प B (3) भ्रमित करने वाला है लेकिन गलत है क्योंकि y और z के स्वतंत्र विकल्पों से 3 नहीं बल्कि 4 संयोजन बनते हैं। परीक्षा टिप: किसी n‑तत्व समुच्चय में किसी निश्चित तत्व को शामिल करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^{n-1}\) होती है। / Include x fixedly. Each of the remaining elements y and z has two independent choices (in or out), so the number of subsets is \(2^2=4\). Option B (3) might seem plausible but is incorrect because independent inclusion/exclusion of y and z yields 4 combinations, not 3. Exam tip: for a set with n elements, the number of subsets containing a given element is always \(2^{n-1}\).
समझ: परिशिष्ट (complement) \(A'\) वह सेट है जिसमें यूनिवर्सल सेट \(U\) के वे तत्व होंगे जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(n(U)=6\) और \(n(A)=2\)। परिशिष्ट का परिमाण \(n(A')=n(U)-n(A)=6-2=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। नज़दीकी ग़लत विकल्पों की जाँच: विकल्प A (2) केवल \(A\) के तत्वों की गणना है — यह परिशिष्ट नहीं है; विकल्प D (6) यूनिवर्सल सेट का पूरा आकार है, परिशिष्ट नहीं। परीक्षा सलाह: किसी भी परिशिष्ट के लिए तुरंत फार्मूला याद रखें \(n(A')=n(U)-n(A)\) और पहले यह पुष्टि कर लें कि \(A\subseteq U\)। / Concept: The complement \(A'\) contains elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(n(U)=6\) and \(n(A)=2\). So \(n(A')=n(U)-n(A)=6-2=4\). Hence 4 is correct. Closest distractors: option A (2) counts elements of \(A\) instead of the complement; option D (6) mistakenly takes the entire universal set. Exam tip: Use the formula \(n(A')=n(U)-n(A)\) and confirm \(A\subseteq U\) before applying it.)
किसी भी सेट के (n) तत्वों के लिए सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=3\) है, इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। इनमें से एक उपसमुच्चय खाली सेट है, अतः खाली नहीं उपसमुच्चयों की संख्या \(8-1=7\) होगी। नज़दीकी छल (विकल्प C: 8) इसलिए गलत है क्योंकि वह खाली उपसमुच्चय को भी गिनता है। परीक्षा सुझाव: तुरंत याद रखें—non‑empty subsets = \(2^n-1\)। / The total number of subsets of an n‑element set is \(2^n\). Here n=3, so total subsets = \(2^3=8\). One of these is the empty set, so the number of non‑empty subsets = \(8-1=7\). The closest distractor (option C: 8) counts the empty set as well, so it is incorrect. Exam tip: use the formula non‑empty = \(2^n-1\) for quick answers.
वे उपसमुच्चय जो \(a\) नहीं रखते, वे सभी \(\{b,c\}\) के उपसमुच्चय ही हैं। किसी सेट के \(n\) तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ बचे हुए तत्वों की संख्या \(2\) है, इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^2=4\)। सामान्य भ्रम: विकल्प "2" इसलिए गलत है क्योंकि यह केवल एक‑तत्वीय उपसमुच्चयों या खाली सेट को नहीं गिनने जैसी अधूरा गिनती दर्शाता। परीक्षा सुझाव: किसी विशेष तत्व को बाहर रखने पर बचे हुए तत्वों की संख्या पर \(2^{(\text{बचे हुए तत्व})}\) लागू करें। / Subsets that do not contain \(a\) are exactly the subsets of \(\{b,c\}\). A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Here the remaining number of elements is 2, so there are \(2^2=4\) such subsets. Common mistake: ‘‘2’’ is wrong because it undercounts by ignoring the empty set or multi‑element subsets. Exam tip: When excluding k fixed elements from an n‑element set, count \(2^{\,n-k}\) subsets.
कम्प्लीमेंट (A') का अर्थ है यूनिवर्सल सेट के वे तत्व जो A में नहीं आते। इसलिए \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,6\}\)। इन तत्वों में सबसे छोटी संख्या \(1\) है, इसलिए उत्तर \(1\) सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2\) है — यह भी A' में है पर \(1\) से बड़ा है; \(3\) और \(5\) गलत हैं क्योंकि वे A के तत्व हैं। परीक्षात्मक टिप: पहले सीधे A' के सभी तत्व लिखें, फिर उनका क्रम देखकर सबसे छोटा चुनें। / The complement A' consists of elements of the universal set not in A. So \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,6\}\). The smallest element of this set is 1, hence option 1 is correct. The closest distractor is 2 (also in A' but larger); 3 and 5 are incorrect because they belong to A, not A'. Exam tip: list A' explicitly from U\, then pick the smallest element to avoid mistakes.
कम से कम तीन तत्व वाले उपसमुच्चय का अर्थ है तीन‑तत्व वाले और चार‑तत्व वाले उपसमुच्चयों का कुल। चार में से तीन चुनने की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है और चार‑तत्व वाला पूरा सेट के लिए \(\binom{4}{4}=1\) है। अतः कुल \(4+1=5\) उपसमुच्चय होंगे। विकल्प A (4) केवल तीन‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की गिनती है और चार‑तत्व वाले एक उपसमुच्चय को शामिल नहीं करता, इसलिए गलत है। विकल्प C (6) और D (8) सामान्य ग़लतफहमी से आते हैं (जैसे क्रमों को गिनना या आधा पावर‑सेट मान लेना) — वे संयोजन के सही योग से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: सीधे ही \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग कर के वांछित आकारों के लिए जोड़ें; यहाँ \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}\) लिखें। / “At least three elements” means count 3‑element and 4‑element subsets. Number of 3‑element subsets is \(\binom{4}{3}=4\) and the 4‑element subset is \(\binom{4}{4}=1\), so total \(4+1=5\). Option A (4) counts only the 3‑element subsets and misses the single 4‑element subset. Options C (6) and D (8) arise from common mistakes (like counting permutations or assuming half the power set), but they do not match the correct combination sum. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) to count subsets of each size and add the required sizes; alternatively verify against total \(2^4=16\) if needed."
पॉवर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में किसी सेट A के सभी उपसमुच्चयों की संख्या होती है, यानी कुल उपसमुच्चय \(2^n\) जहाँ \(n\) A के तत्वों की संख्या है. यहाँ \(2^n=8\) से \(n=3\). इसलिए कुल उपसमुच्चय 8 हैं; इनमें से एक खाली उपसमुच्चय है, अतः गैर-खाली उपसमुच्चयों की संख्या \(8-1=7\) होगी। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 8 है जो खाली उपसमुच्चय हटाने को भूल रहा है; 3 केवल तत्वों की संख्या है, गैर-खाली उपसमुच्चयों की नहीं। परीक्षा युक्ति: \(2^n\) के छोटे मानों को याद रखें (1,2,4,8,16...) ताकि तुरंत \(n\) पता चल सके और खाली सेट घटा दें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of A, so its size is \(2^n\) where \(n\) is the number of elements of A. Given \(2^n=8\), we get \(n=3\). Thus there are 8 total subsets and removing the empty subset leaves \(8-1=7\) non-empty subsets. The closest distractor 8 mistakenly includes the empty set; 3 confuses the number of elements with the number of non-empty subsets. Exam tip: recognize small powers of two quickly (1,2,4,8,16...) to find \(n\) and then subtract 1 for the empty set.
सप्ताह में कुल \(|U|=7\) दिन होते हैं और \(A\) में तीन दिन (सोमवार, बुधवार, शुक्रवार) हैं। किसी समुच्चय के पूरक का आकार = \(|U| - |A|\)। अतः \(|A'| = 7 - 3 = 4\)। विकल्प A (3) सिर्फ मूल समुच्चय \(A\) की संख्या है, इसलिए गलत है; विकल्प C (5) और D (7) पूरक की सही गणना नहीं देते। परीक्षा टिप: पूरक का कार्डिनैलिटी निकालने के लिए हमेशा कुल तत्वों में से दिए हुए समुच्चय के तत्व घटाएँ। / A week has total |U| = 7 days and A has 3 days (Monday, Wednesday, Friday). The cardinality of the complement is |A'| = |U| - |A|, so |A'| = 7 - 3 = 4. Option A (3) confuses A with its complement, while C (5) and D (7) are incorrect calculations. Exam tip: use |A'| = |U| - |A| to find complement size quickly.
पहला कदम पूरा समुच्चय का पूरक निकालना है: \(A'=U\setminus A=\{3\}\). फिर \(\mathcal{P}(A')\) उस समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह है। \(\{3\}\) के उपसमुच्चय केवल दो हैं: खाली समुच्चय \(\emptyset\) और स्वयं \(\{3\}\)। इसलिए उत्तर \(\{\emptyset,\{3\}\}\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ 3 को एक साधारण तत्व की तरह दर्शाया गया है; शक्ति-समुच्चय के तत्व उपसमुच्चय होने चाहिए, न कि मूल तत्व। विकल्प C और D भी गलत हैं — C में केवल \(A\) के एकल-तत्व उपसमुच्चय हैं, और D पूरा सार्वभौमिक सेट है, न कि \(A'\) का शक्ति-समुच्चय। परीक्षा टिप: शक्ति-समुच्चय के तत्व हमेशा उपसमुच्चय होते हैं; एकल तत्त्व को हमेशा \(\{x\}\) के रूप में लिखें। / First find the complement: \(A'=U\setminus A=\{3\}\). The power set \(\mathcal{P}(A')\) is the set of all subsets of \(A'\). The only subsets of \(\{3\}\) are the empty set \(\emptyset\) and \(\{3\}\) itself, so \(\mathcal{P}(A')=\{\emptyset,\{3\}\}\). Option B is incorrect because it lists 3 as an element rather than the singleton set \(\{3\}\); elements of a power set must be subsets. Options C and D are also wrong: C lists subsets of \(A\), not of \(A'\), and D is the universal set, not the power set. Exam tip: remember elements of a power set are subsets, so write single elements as \(\{x\}\), not \(x\).
