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((0,0)) रखने पर \(0\leq 4\) सत्य है, इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में है। परीक्षा में पहले परीक्षण बिंदु रखें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\leq 4\), so the point lies in the solution region. In exams, test a convenient point first.
क्योंकि (>) में बराबरी शामिल नहीं होती, इसलिए सीमा रेखा टूटी हुई होती है। परीक्षा में (<) और (>) के लिए टूटी रेखा याद रखें। / Since (>) does not include equality, the boundary line is dashed. Remember dashed lines for (<) and (>) in exams.
B. रेखा (y=3) के नीचे और रेखा सहित/Below the line (y=3) including the line
Explanation
Simple Explanation
\(y\leq 3\) में (y) के मान (3) या उससे कम हैं। परीक्षा में क्षैतिज रेखा के लिए ऊपर-नीचे क्षेत्र पहचानें। / In \(y\leq 3\), the values of (y) are (3) or less. In exams, identify above or below for horizontal lines.
D. रेखा (x=-2) के दाईं ओर, रेखा छोड़कर/Right of the line (x=-2), excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(x> -2) में सभी (x) मान (-2) से बड़े हैं, इसलिए दाईं ओर छायांकन होगा। परीक्षा में (x) वाली असमानता के लिए बायां-दायां क्षेत्र देखें। / In (x> -2), all (x)-values are greater than (-2), so shading is to the right. For inequalities in (x), check left or right in exams.
C. ((0,0)) हल क्षेत्र में नहीं है/((0,0)) is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 6\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल नहीं है। परीक्षा में असत्य मिलने पर विपरीत भाग छायांकित करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 6\), which is false, so the origin side is not the solution. In exams, shade the opposite side when the test is false.
A. सीमा रेखा (x+y=5) है और टूटी हुई है/The boundary line is (x+y=5) and dashed
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखा बराबरी लगाकर (x+y=5) बनती है और (<) के कारण टूटी होती है। परीक्षा में पहले असमानता को समीकरण में बदलें। / The boundary line is made by replacing the inequality with equality, so it is (x+y=5), and it is dashed because of (<). In exams, first convert the inequality into an equation.
((0,0)) रखने पर \(0\leq 8\) सत्य है। परीक्षा में सरल बिंदु से क्षेत्र जल्दी तय करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\leq 8\), which is true. Use a simple test point to decide the region quickly in exams.
C. हाँ, क्योंकि \(\geq\) है/Yes, because it has \(\geq\)
Explanation
Simple Explanation
\(\geq\) में बराबरी शामिल होती है, इसलिए सीमा रेखा भी हल में आती है। परीक्षा में \(\leq\) और \(\geq\) के लिए ठोस रेखा बनाएं। / The symbol \(\geq\) includes equality, so the boundary line is part of the solution. Draw a solid line for \(\leq\) and \(\geq\) in exams.
A. ((0,0)) हल क्षेत्र में है/((0,0)) is in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\leq 9\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग चुना जाएगा। परीक्षा में परीक्षण बिंदु से छायांकन की दिशा तय करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\leq 9\), so the side containing the origin is selected. Use a test point to decide the shading direction in exams.
(x-y<2) में बराबरी शामिल नहीं है, इसलिए सीमा रेखा (x-y=2) टूटी होगी। परीक्षा में (<) देखकर रेखा को शामिल न करें। / Equality is not included in (x-y<2), so the boundary line (x-y=2) is dashed. In exams, do not include the line for (<).
A. हाँ, क्योंकि \(3\leq 3\)/Yes, because \(3\leq 3\)
Explanation
Simple Explanation
((2,1)) रखने पर (2+1=3) और \(3\leq 3\) सत्य है। परीक्षा में सीमा पर स्थित बिंदु भी \(\leq\) में शामिल होते हैं। / Substituting ((2,1)) gives (2+1=3), and \(3\leq 3\) is true. Boundary points are included for \(\leq\) in exams.
B. यह हल क्षेत्र में नहीं है/It is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((1,3)) रखने पर (3<2) असत्य है। परीक्षा में बिंदु को असमानता में सीधे रखें। / Substituting ((1,3)) gives (3<2), which is false. In exams, directly substitute the point in the inequality.
B. रेखा (x=4) के बाईं ओर ठोस रेखा सहित/Left of (x=4) including solid line
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq 4\) में (x) के मान (4) या कम हैं, इसलिए बाईं ओर क्षेत्र होगा। परीक्षा में \(x\leq a\) को बाईं ओर समझें। / In \(x\leq 4\), (x)-values are (4) or less, so the region is to the left. In exams, read \(x\leq a\) as the left side.
A. मूल बिंदु वाला भाग हल क्षेत्र है/The side containing the origin is the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq -2\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग छायांकित होगा। परीक्षा में परीक्षण बिंदु सत्य हो तो वही भाग लें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq -2\), which is true, so shade the origin side. If the test point is true, take that side in exams.
B. सीमा रेखा के विपरीत मूल बिंदु से दूर वाला भाग/Side opposite to the origin
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 7\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु के विपरीत भाग हल है। परीक्षा में असत्य परीक्षण पर दूसरी ओर छायांकन करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 7\), which is false, so the solution is the side opposite the origin. Shade the other side when the test is false in exams.
सीमा रेखा (2x+3y=12) है, जिसमें (y=0) पर (x=6) और (x=0) पर (y=4) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद विधि से रेखा जल्दी बनती है। / The boundary line is (2x+3y=12), giving (x=6) when (y=0) and (y=4) when (x=0). The intercept method draws the line quickly in exams.
सीमा रेखा (4x+y=8) में (y=0) रखने पर (x=2) मिलता है। परीक्षा में (x)-प्रतिच्छेद के लिए (y=0) रखें। / In the boundary line (4x+y=8), putting (y=0) gives (x=2). For the (x)-intercept, put (y=0) in exams.
सीमा रेखा (x+5y=10) में (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। परीक्षा में (y)-प्रतिच्छेद के लिए (x=0) रखें। / In the boundary line (x+5y=10), putting (x=0) gives (y=2). For the (y)-intercept, put (x=0) in exams.
((1,1)) रखने पर \(1\leq 2\) सत्य है, इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में है। परीक्षा में दाईं ओर का मान सावधानी से निकालें। / Substituting ((1,1)) gives \(1\leq 2\), which is true, so the point is in the solution region. Calculate the right side carefully in exams.
B. रेखा (y=-2) के ऊपर, रेखा छोड़कर/Above the line (y=-2), excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(y> -2) में (y) के मान (-2) से बड़े हैं, इसलिए रेखा के ऊपर छायांकन होगा। परीक्षा में (>) के लिए सीमा रेखा शामिल न करें। / In (y> -2), (y)-values are greater than (-2), so shade above the line. Do not include the boundary line for (>) in exams.
C. दायां अर्ध-तल, (y)-अक्ष सहित/Right half-plane including the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) में (x) गैर-ऋणात्मक है, इसलिए (y)-अक्ष और दायां भाग शामिल हैं। परीक्षा में (x=0) को (y)-अक्ष समझें। / In \(x\geq 0\), (x) is non-negative, so the (y)-axis and the right side are included. Remember (x=0) is the (y)-axis in exams.
A. निचला अर्ध-तल, (x)-अक्ष सहित/Lower half-plane including the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(y\leq 0\) में (y) शून्य या ऋणात्मक है, इसलिए (x)-अक्ष और नीचे का भाग शामिल है। परीक्षा में (y=0) को (x)-अक्ष समझें। / In \(y\leq 0\), (y) is zero or negative, so the (x)-axis and the lower side are included. Remember (y=0) is the (x)-axis in exams.
B. यह हल क्षेत्र में है/It is in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((3,0)) रखने पर (3>2) सत्य है, इसलिए यह हल क्षेत्र में है। परीक्षा में एक-एक विकल्प को रखने की जरूरत नहीं, सही बिंदु जांचें। / Substituting ((3,0)) gives (3>2), which is true, so it lies in the solution region. In exams, check the candidate point directly.
B. सीमा रेखा पर और हल में/On the boundary line and in the solution
Explanation
Simple Explanation
((2,0)) रखने पर \(4\geq 4\) सत्य है और बराबरी भी है। परीक्षा में \(\geq\) होने पर सीमा बिंदु शामिल होते हैं। / Substituting ((2,0)) gives \(4\geq 4\), true with equality. Boundary points are included when the symbol is \(\geq\).
सीमा रेखा (x+3y=6) में (y=0) पर (x=6) और (x=0) पर (y=2) मिलता है। परीक्षा में दोनों प्रतिच्छेद अलग-अलग निकालें। / For the boundary line (x+3y=6), (y=0) gives (x=6) and (x=0) gives (y=2). Find both intercepts separately in exams.
((3,0)) रखने पर \(9\leq 6\) असत्य है, इसलिए यह हल क्षेत्र में नहीं है। परीक्षा में सभी दिए बिंदुओं में केवल असत्य मान खोजें। / Substituting ((3,0)) gives \(9\leq 6\), which is false, so it is not in the solution region. In exams, find the option that makes the inequality false.
\(x-2y\leq 0\) से \(x\leq 2y\), इसलिए \(y\geq \frac{x}{2}\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग करते समय संकेत बदलना याद रखें। / From \(x-2y\leq 0\), we get \(x\leq 2y\), so \(y\geq \frac{x}{2}\). Remember sign changes when handling negative coefficients in exams.
((0,2)) रखने पर \(2\leq 1\) असत्य है। परीक्षा में तुलना के बाद ही क्षेत्र तय करें। / Substituting ((0,2)) gives \(2\leq 1\), which is false. Decide the region only after comparison in exams.
\(\geq\) में बराबरी शामिल है, इसलिए (y=2x+1) ठोस रेखा से बनेगी। परीक्षा में बराबरी वाले संकेतों के लिए ठोस रेखा बनाएं। / The symbol \(\geq\) includes equality, so (y=2x+1) is drawn as a solid line. Use solid lines for equality-including signs in exams.
सीमा रेखा (x+y=1) है और ((0,1)) से (0+1=1) मिलता है। परीक्षा में सीमा बिंदु के लिए बराबरी जांचें। / The boundary line is (x+y=1), and ((0,1)) gives (0+1=1). Check equality to identify boundary points in exams.
पूरी असमानता को (2) से भाग देने पर (x+y>2) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक संख्या से भाग देने पर संकेत नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (2) gives (x+y>2). The sign does not change when dividing by a positive number in exams.
\(-x+y\leq 3\) में (x) जोड़ने पर \(y\leq x+3\) मिलता है। परीक्षा में पहले (y) को अकेला करें। / Adding (x) to \(-x+y\leq 3\) gives \(y\leq x+3\). Isolate (y) first in exams.
((0,3)) रखने पर \(6\geq 4\) सत्य है। परीक्षा में विकल्पों को जल्दी जांचने के लिए सरल गणना करें। / Substituting ((0,3)) gives \(6\geq 4\), which is true. Use quick substitution to check options in exams.
B. हाँ, क्योंकि (0>-1) सत्य है/Yes, because (0>-1) is true
Explanation
Simple Explanation
((1,0)) रखने पर (0>-1) सत्य है, इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में है। परीक्षा में ऋण चिह्न ध्यान से लगाएं। / Substituting ((1,0)) gives (0>-1), which is true, so the point is in the solution region. Be careful with negative signs in exams.
\(x-y\geq 0\) से \(-y\geq -x\), इसलिए \(y\leq x\) मिलता है। परीक्षा में (-1) से गुणा या भाग करते समय संकेत बदलें। / From \(x-y\geq 0\), \(-y\geq -x\), so \(y\leq x\). Change the inequality sign when multiplying or dividing by (-1) in exams.
C. यह हल क्षेत्र में नहीं है/It is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((2,1)) रखने पर (5<5) असत्य है, इसलिए यह हल में नहीं है। परीक्षा में कठोर असमानता में बराबरी स्वीकार नहीं होती। / Substituting ((2,1)) gives (5<5), which is false, so it is not a solution. Equality is not accepted in strict inequalities in exams.
सीमा रेखा (x+4y=8) में (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद को क्रमित युग्म में लिखें। / In the boundary line (x+4y=8), putting (x=0) gives (y=2). Write intercepts as ordered pairs in exams.
((0,0)) रखने पर \(0\geq 10\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल नहीं है। परीक्षा में मूल बिंदु रेखा पर न हो तो उसे परीक्षण बिंदु लें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 10\), false, so the origin side is not the solution. Use the origin as a test point when it is not on the line.
B. रेखा (x+2y=6) टूटी हुई होगी/The line (x+2y=6) will be dashed
Explanation
Simple Explanation
(>) में बराबरी शामिल नहीं है, इसलिए (x+2y=6) टूटी रेखा होगी। परीक्षा में सीमा रेखा और छायांकन को अलग-अलग सोचें। / The symbol (>) does not include equality, so (x+2y=6) is a dashed line. Think of boundary and shading separately in exams.
B. सीमा रेखा पर और हल में/On the boundary line and in solution
Explanation
Simple Explanation
((0,2)) रखने पर \(10\leq 10\) सत्य है, इसलिए यह सीमा पर भी है और हल में भी। परीक्षा में \(\leq\) होने पर बराबरी शामिल होती है। / Substituting ((0,2)) gives \(10\leq 10\), true, so it is on the boundary and in the solution. Equality is included for \(\leq\) in exams.
((0,0)) रखने पर (0<6) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल है। परीक्षा में सत्य परीक्षण का मतलब वही तरफ छायांकन है। / Substituting ((0,0)) gives (0<6), true, so the origin side is the solution. A true test means shade that same side in exams.
B. ठोस रेखा (y=5), ऊपर का क्षेत्र/Solid line (y=5), above region
Explanation
Simple Explanation
\(y\geq 5\) में रेखा (y=5) शामिल है और (y) उससे बड़ा या बराबर है। परीक्षा में क्षैतिज रेखा के लिए ऊपर का क्षेत्र चुनें। / In \(y\geq 5\), the line (y=5) is included and (y) is greater than or equal to it. Choose the above region for a horizontal line in exams.
सीमा रेखा (x+6y=12) में (y=0) पर (x=12) और (x=0) पर (y=2) है। परीक्षा में पहले सीमा रेखा बनाएं, फिर क्षेत्र चुनें। / For the boundary line (x+6y=12), (y=0) gives (x=12) and (x=0) gives (y=2). Draw the boundary first, then choose the region.
C. यह हल क्षेत्र में नहीं है/It is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((2,2)) रखने पर \(6\leq 5\) असत्य है, इसलिए बिंदु हल में नहीं है। परीक्षा में जोड़ने की गलती से बचें। / Substituting ((2,2)) gives \(6\leq 5\), which is false, so the point is not a solution. Avoid addition mistakes in exams.
(2) से भाग देने पर \(y\leq \frac{x+4}{2}\) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक संख्या से भाग देने पर संकेत नहीं बदलता। / Dividing by (2) gives \(y\leq \frac{x+4}{2}\). The inequality sign does not change when dividing by a positive number in exams.
B. सीमा रेखा पर और हल में/On the boundary line and in the solution
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 0\) सत्य है और बराबरी है। परीक्षा में \(\geq\) होने पर सीमा रेखा के बिंदु शामिल करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 0\), true with equality. Include boundary points for \(\geq\) in exams.
मूल बिंदु पर (0) मिलता है, जो (6) से छोटा है, इसलिए विपरीत भाग \(x+y\geq 6\) है। परीक्षा में रेखा शामिल हो तो \(\leq\) या \(\geq\) चुनें। / At the origin the value is (0), which is less than (6), so the opposite side is \(x+y\geq 6\). If the line is included, choose \(\leq\) or \(\geq\) in exams.
B. मूल बिंदु वाला भाग हल क्षेत्र नहीं है/The side containing the origin is not the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 2\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल नहीं है। परीक्षा में असत्य मिलने पर विपरीत भाग छायांकित करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 2\), which is false, so the origin side is not the solution. In exams, shade the opposite side when the test is false.
क्योंकि (<) में बराबरी शामिल नहीं होती, इसलिए सीमा रेखा टूटी हुई होगी। परीक्षा में (<) और (>) के लिए रेखा को हल में शामिल न करें। / Since (<) does not include equality, the boundary line will be dashed. In exams, do not include the boundary line for (<) and (>).
सीमा रेखा (x+2y=10) में (x=0) रखने पर (y=5) मिलता है। परीक्षा में (y)-प्रतिच्छेद के लिए हमेशा (x=0) रखें। / In the boundary line (x+2y=10), putting (x=0) gives (y=5). In exams, always put (x=0) to find the (y)-intercept.
सीमा रेखा बनाने के लिए असमानता के चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले रेखा बनाइए। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. Exam tip: draw the line first.
चिन्ह \(\geq\) में सीमा रेखा भी हल में शामिल होती है। इसलिए सतत रेखा खींची जाती है। / The sign \(\geq\) includes the boundary line in the solution. So a solid line is drawn.
एक चर को (0) रखकर दूसरा अवरोध मिलता है। ग्राफ में दो सही बिंदु काफी होते हैं। / Put one variable as (0) to get the other intercept. Two correct points are enough for drawing the line.
B. रेखा के नीचे या रेखा सहित/below the line including the line
Explanation
Simple Explanation
जब \(y\leq\) हो तो रेखा के नीचे वाला भाग लिया जाता है। बराबरी होने से रेखा भी शामिल रहती है। / When \(y\leq\), the region below the line is taken. Equality means the line is also included.
(y>) का अर्थ है रेखा से ऊपर वाले बिंदु। कठोर असमानता में सीमा रेखा शामिल नहीं होती। / (y>) means points above the line. In a strict inequality, the boundary line is not included.
B. रेखा (x=2) के दाएँ और रेखा सहित/right of (x=2) including the line
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 2\) में (x) का मान (2) या उससे अधिक है। इसलिए दाईं ओर का क्षेत्र चुना जाता है। / In \(x\geq 2\), (x) is (2) or more. So the region to the right is chosen.
(3(2)+2(3)=12), इसलिए यह सीमा रेखा पर है। रेखा के बिंदु बराबरी को संतुष्ट करते हैं। / (3(2)+2(3)=12), so it lies on the boundary line. Points on the line satisfy equality.
चिन्ह \(\leq\) में बराबरी शामिल होती है। इसलिए सीमा रेखा भी हल का भाग है। / The sign \(\leq\) includes equality. Hence the boundary line is part of the solution.
चिन्ह (<) बराबरी को शामिल नहीं करता। इसलिए सीमा रेखा हल में नहीं आती। / The sign (<) does not include equality. So the boundary line is not part of the solution.
(y=0) रखने पर (x=3), और (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। अवरोध ग्राफ खींचने में मदद करते हैं। / Putting (y=0) gives (x=3), and putting (x=0) gives (y=2). Intercepts help in drawing the graph.
(4(5)+0=20), जो (16) से अधिक है। इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में नहीं है। / (4(5)+0=20), which is greater than (16). Therefore the point is not in the solution region.
(2+2(3)=8), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। \(\geq\) में सीमा रेखा भी आती है। / (2+2(3)=8), so the point is on the boundary line and included. The sign \(\geq\) includes the boundary line.
B. रेखा के ऊपर और रेखा सहित/above the line including the line
Explanation
Simple Explanation
\(y\geq\) होने पर ऊपर का क्षेत्र लिया जाता है। बराबरी के कारण रेखा भी शामिल है। / For \(y\geq\), the region above the line is taken. Equality includes the line too.
B. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
(0+0=0), इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर है। \(\geq\) होने से यह हल में भी है। / (0+0=0), so the origin lies on the boundary line. Since it is \(\geq\), it is also in the solution.
A. ( (4,0) ) और ( (0,-2) )/( (4,0) ) and ( (0,-2) )
Explanation
Simple Explanation
(y=0) पर (x=4), और (x=0) पर (y=-2) मिलता है। दो बिंदुओं से रेखा बन जाती है। / At (y=0), (x=4), and at (x=0), (y=-2). A line can be drawn using two points.
C. प्रथम चतुर्थांश और अक्षों सहित/first quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) दोनों प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं। बराबरी से अक्ष भी शामिल होते हैं। / Both \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) represent the first quadrant. Equality includes the axes too.
\(x\leq 5\) में (x=5) ऊर्ध्वाधर सीमा रेखा है। इसके बाईं ओर हल क्षेत्र होता है। / In \(x\leq 5\), (x=5) is the vertical boundary line. The solution region lies to its left.
\(y\geq -4\) की सीमा क्षैतिज रेखा (y=-4) है। \(\geq\) होने से ऊपर का भाग लिया जाता है। / The boundary of \(y\geq -4\) is the horizontal line (y=-4). Since it is \(\geq\), the region above is taken.
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(x+y\leq 5\) मिलता है। ग्राफ से पहले सरल रूप उपयोगी होता है। / Dividing both sides by (2) gives \(x+y\leq 5\). The simplified form is useful before graphing.
(y=0) रखने पर (5x=20), इसलिए (x=4) है। अवरोध विधि आसान ग्राफ देती है। / Putting (y=0) gives (5x=20), so (x=4). The intercept method gives an easy graph.
B. वह हल क्षेत्र नहीं है/it is not solution region
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\geq 6\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर छायांकन नहीं होगा। / Substituting the origin gives \(0\geq 6\), which is false. So the origin side is not shaded.
A. दोनों छायांकित क्षेत्रों के प्रतिच्छेद से/intersection of both shaded regions
Explanation
Simple Explanation
दोनों असमानताओं को साथ में संतुष्ट करने वाला क्षेत्र प्रतिच्छेद होता है। परीक्षा में सामान्य छायांकित भाग पहचानें। / The region satisfying both inequalities is their intersection. In exams, identify the common shaded part.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=4) अक्षों के साथ त्रिभुज बनाती है। यह बहुत सामान्य परीक्षा पैटर्न है। / In the first quadrant, the line (x+y=4) forms a triangle with the axes. This is a very common exam pattern.
A. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
(0+2(3)=6), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है। \(\leq\) के कारण यह हल में शामिल है। / (0+2(3)=6), so the point is on the boundary line. Because of \(\leq\), it is included in the solution.
B. सीमा रेखा पर है लेकिन हल में नहीं/on boundary but not in solution
Explanation
Simple Explanation
(0+2(3)=6), लेकिन (<) में बराबरी शामिल नहीं होती। इसलिए यह हल में नहीं है। / (0+2(3)=6), but equality is not included in (<). Therefore it is not in the solution.
सीमा रेखा (y=5-x) है, जिसका ढाल ऋणात्मक है। ग्राफ में रेखा दाईं ओर नीचे जाती है। / The boundary line is (y=5-x), whose slope is negative. On the graph, the line goes down to the right.
\(x-y\leq 2\) से \(-y\leq 2-x\), इसलिए \(y\geq x-2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / From \(x-y\leq 2\), \(-y\leq 2-x\), so \(y\geq x-2\). The sign changes when dividing by a negative number.
(3(1)+2=5), और \(5\leq 9\) सत्य है। इसलिए यह बिंदु हल क्षेत्र में है। / (3(1)+2=5), and \(5\leq 9\) is true. Hence this point is in the solution region.
B. बाएँ आधे समतल और ऊर्ध्वाधर अक्ष को/left half-plane including vertical axis
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq 0\) में (x) शून्य या ऋणात्मक होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर अक्ष सहित बायाँ भाग लिया जाता है। / In \(x\leq 0\), (x) is zero or negative. So the left part including the vertical axis is taken.
A. ऊपरी आधे समतल और क्षैतिज अक्ष को/upper half-plane including horizontal axis
Explanation
Simple Explanation
\(y\geq 0\) में (y) शून्य या धनात्मक है। इसलिए क्षैतिज अक्ष सहित ऊपर का क्षेत्र मिलता है। / In \(y\geq 0\), (y) is zero or positive. So the region above including the horizontal axis is obtained.
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(3x+y\geq 6\) मिलता है। सरल रूप से ग्राफ जल्दी बनता है। / Dividing both sides by (2) gives \(3x+y\geq 6\). A simplified form makes graphing quicker.
A. प्रथम चतुर्थांश में सीमा रेखा के नीचे/in first quadrant below the boundary line
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) प्रथम चतुर्थांश देते हैं। \(2x+y\leq 4\) रेखा के नीचे का भाग चुनता है। / \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) give the first quadrant. \(2x+y\leq 4\) selects the part below the line.
सीमा रेखा (4x+3y=12) है। (y=0) रखने पर (x=3) और (x=0) रखने पर (y=4) मिलता है। / The boundary line is (4x+3y=12). Putting (y=0) gives (x=3) and putting (x=0) gives (y=4).
\(-3y\geq 6-x\) से \(y\leq \frac{x-6}{3}\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-3y\geq 6-x\), we get \(y\leq \frac{x-6}{3}\). The inequality sign changes when dividing by a negative number.
A. मूल बिंदु वाली ओर छायांकन होगा/shade the side containing the origin
Explanation
Simple Explanation
\(0\leq \frac{0}{2}+2\) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर हल क्षेत्र होगा। / \(0\leq \frac{0}{2}+2\) is true. So the solution region is on the side containing the origin.
C. यह सीमा रेखा पर है लेकिन हल में नहीं है/it is on the boundary but not in solution
Explanation
Simple Explanation
(2(4)+2=10), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है। (>) में बराबरी शामिल नहीं होती। / (2(4)+2=10), so the point is on the boundary line. Equality is not included in (>).
B. रेखा (x=1) के दाएँ और (y=2) के ऊपर/right of (x=1) and above (y=2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 1\) दाईं ओर और \(y\geq 2\) ऊपर का क्षेत्र देता है। दोनों का सामान्य भाग ही संयुक्त हल है। / \(x\geq 1\) gives the region to the right and \(y\geq 2\) gives the region above. Their common part is the combined solution.
((1,2)) रखने पर \(3\leq 5\) सत्य है। विकल्पों में बिंदु रखकर जाँचें। / Substituting ((1,2)) gives \(3\leq 5\), which is true. Check options by substitution.
((2,3)) रखने पर (2+6>8) अर्थात (8>8) नहीं, इसलिए ध्यान दें। सही जाँच में कोई बराबरी नहीं चाहिए। / Substitution must make the expression strictly greater than (8). Here no equality is allowed in a strict inequality.
((2,4)) रखने पर (2+8>8) सत्य है। कठोर असमानता में बराबर वाला बिंदु न चुनें। / Substituting ((2,4)) gives (2+8>8), which is true. Do not choose an equal boundary point in a strict inequality.
((3,1)) रखने पर \(6+1\leq 7\) सत्य है। यह सीमा रेखा पर स्थित है। / Substituting ((3,1)) gives \(6+1\leq 7\), which is true. It lies on the boundary line.
\(\leq\) और \(\geq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। प्रश्न में चिह्न देखकर उत्तर चुनें। / The boundary line is included for \(\leq\) and \(\geq\). Choose by checking the inequality sign.
(<) और (>) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती। इसलिए टूटी हुई रेखा बनाई जाती है। / For (<) and (>), the boundary line is not included. So a dashed line is drawn.
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 1\) सत्य मिलता है। इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष हल है। / Substituting the origin gives \(0\leq 1\), which is true. Hence, the side with the origin is the solution.
((0,0)) रखने पर \(0\geq -3\) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु हल-क्षेत्र में है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq -3\), which is true. So the origin is in the solution region.
B. मूल बिंदु हल में नहीं है/Origin is not in solution
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 2\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष नहीं चुना जाएगा। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 2\), which is false. So the side with the origin is not chosen.
(>) में सीमा रेखा हल में शामिल नहीं होती। इसलिए टूटी हुई रेखा खींची जाती है। / For (>), the boundary line is not included in the solution. So a dashed line is drawn.
रेखा के नीचे (y) का मान (4) से कम या बराबर होता है। इसलिए \(y\leq 4\) सही है। / Below the line, (y) is less than or equal to (4). Hence, \(y\leq 4\) is correct.
((2,1)) रखने पर (2+2=4) मिलता है। रेखा पर बिंदु के लिए बराबरी सत्य होनी चाहिए। / Substituting ((2,1)) gives (2+2=4). A point on the line must satisfy equality.
((2,3)) रखने पर (6+3=9) सत्य है। बिंदु जाँच में सीधे मान रखें। / Substituting ((2,3)) gives (6+3=9), which is true. Substitute coordinates directly in point testing.
A. हल में है और सीमा पर है/In solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((8,0)) रखने पर \(8\leq 8\) सत्य है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर भी है। / Substituting ((8,0)) gives \(8\leq 8\), which is true. Equality means the point is on the boundary.
((6,7)) रखने पर \(13\leq 10\) असत्य है। बाहर वाला बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करता। / Substituting ((6,7)) gives \(13\leq 10\), which is false. An outside point does not satisfy the inequality.
\(-y\leq 4-2x\) में (-1) से भाग देने पर चिह्न बदलता है। परीक्षा में ऋणात्मक से गुणा या भाग करते समय चिह्न जरूर बदलें। / In \(-y\leq 4-2x\), dividing by (-1) reverses the sign. In exams, always reverse the sign when multiplying or dividing by a negative number.
सीमा रेखा के लिए असमानता चिह्न को बराबर में बदलते हैं। (<) होने से रेखा टूटी हुई बनेगी। / For the boundary line, replace the inequality sign with equality. Since the sign is (<), the line will be dashed.
((2,1)) रखने पर \(1\leq 1\) सत्य है। बराबरी वाले बिंदु \(\leq\) में हल में शामिल होते हैं। / Substituting ((2,1)) gives \(1\leq 1\), which is true. Boundary points are included for \(\leq\).
C. मूल बिंदु हल-क्षेत्र में नहीं है/The origin is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर (0>1) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाले पक्ष को छायांकित नहीं करेंगे। / Substituting ((0,0)) gives (0>1), which is false. Therefore, the side containing the origin is not shaded.
