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वास्तविक मान के लिए वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए \(x-4\ge 0\), जिससे \(x\ge 4\) प्राप्त होता है। अतः डोमेन \([4,\infty)\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है और विकल्प D सभी वास्तविक संख्याओं को स्वीकार करता है, जो वर्गमूल की शर्त के कारण गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन ज्ञात करते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued function, the expression under the square root cannot be negative. Thus, \(x-4\ge 0\), which gives \(x\ge 4\). Therefore, the domain is \([4,\infty)\). Option B reverses the inequality, while option D incorrectly includes values that make the radicand negative. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
वास्तविक मान के लिए \(7-x\ge 0\), इसलिए \(x\le 7\)। वर्गमूल में अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / For real values, \(7-x\ge 0\), so \(x\le 7\). The expression inside a square root must not be negative.
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक प्रतिच्छेद के लिए \(f(x)=0\) होता है। अतः \(|x+1|-4=0\), यानी \(|x+1|=4\)। इसलिए \(x+1=4\) या \(x+1=-4\), जिससे \(x=3\) या \(x=-5\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) और \((-5,0)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन के \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद निकालने के लिए पहले \(f(x)=0\) रखें और दोनों चिह्नों वाले मामले हल करें। / At an x-intercept, the function value is zero. Thus, \(|x+1|-4=0\), so \(|x+1|=4\). Therefore, \(x+1=4\) or \(x+1=-4\), giving \(x=3\) or \(x=-5\). Hence, the x-intercepts are \((3,0)\) and \((-5,0)\). Exam tip: For a modulus function, set \(f(x)=0\) and solve both positive and negative cases.
x-अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए \(y=f(x)=0\) होता है। इसलिए \((x-3)^2-4=0\), अर्थात \((x-3)^2=4\)। इससे \(x-3=\pm2\), इसलिए \(x=1\) या \(x=5\) मिलता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((1,0)\) और \((5,0)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(f(x)=0\) रखें। / At any point on the x-axis, \(y=f(x)=0\). Thus, \((x-3)^2-4=0\), so \((x-3)^2=4\). Hence \(x-3=\pm2\), giving \(x=1\) or \(x=5\). Therefore, the x-intercepts are \((1,0)\) and \((5,0)\). Exam tip: To find x-intercepts, set the function equal to zero.
A. (x)-अक्ष में प्रतिबिंब और ऊर्ध्व खिंचाव/Reflection in (x)-axis and vertical stretch
Explanation
Simple Explanation
ऋण चिह्न (x)-अक्ष में प्रतिबिंब देता है और (2) ऊर्ध्व खिंचाव देता है। इसलिए परवलय नीचे खुलता है और संकरा होता है। / The negative sign reflects in the (x)-axis, and (2) gives a vertical stretch. So the parabola opens downward and becomes narrower.
\(\sqrt{x+2}\) तब शुरू होता है जब (x+2=0), अर्थात (x=-2)। बाहर (-3) होने से प्रारंभिक बिंदु ((-2,-3)) है। / \(\sqrt{x+2}\) starts when (x+2=0), that is (x=-2). The outside (-3) makes the starting point ((-2,-3)).
\(\sqrt{5-x}\ge 0\), इसलिए (f(x)\ge 2)। (x) घटाने पर वर्गमूल बड़ा हो सकता है, इसलिए परिसर \([2,\infty\)) है। / Since \(\sqrt{5-x}\ge 0\), (f(x)\ge 2). The square root can grow as (x) decreases, so the range is \([2,\infty\)).
परिभाषित होने के लिए हर \((x-2)^2\) शून्य नहीं होना चाहिए। यह केवल \(x=2\) पर शून्य होता है, इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, सिवाय 2 के: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)। विकल्प B में 0 को हटाया गया है, जबकि समस्या \(x=2\) पर आती है। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक फलन का डोमेन ज्ञात करते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / For the function to be defined, the denominator \((x-2)^2\) must not be zero. It is zero only when \(x=2\), so the domain is all real numbers except 2: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Option B incorrectly excludes 0 instead of 2. Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting value or values.
(\frac{1}{(x+1)2}>0), इसलिए फलन (3) से बड़ा है लेकिन (3) के बराबर नहीं। अतः परिसर (\(3,\infty\)) है। / (\frac{1}{(x+1)2}>0), so the function is greater than (3) but never equal to (3). Hence the range is (\(3,\infty\)).
(\frac{1}{(x-3)2}) धनात्मक होता है, इसलिए उसका ऋणात्मक मान हमेशा (0) से कम है। यह कभी (0) नहीं बनता। / (\frac{1}{(x-3)2}) is positive, so its negative is always less than (0). It never becomes (0).
जब \\(x<-3\\), तब \\(2x+6<2(-3)+6=0\\)। अतः साइनम फलन के अनुसार, ऋणात्मक इनपुट के लिए \\(\\operatorname{sgn}(2x+6)=-1\\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन का मान ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक इनपुट के लिए क्रमशः \\(-1,0,1\\) होता है। / When \\(x<-3\\), we have \\(2x+6<2(-3)+6=0\\). Therefore, the signum function has value \\(-1\\) for this negative input, so the correct answer is A. Exam tip: the signum function equals \\(-1,0,1\\) for negative, zero and positive inputs, respectively.
जब \(x<4\), तब \(4-x>0\) होता है। साइनम फलन में धनात्मक संख्या का मान \(1\) होता है, इसलिए \(f(x)=\operatorname{sgn}(4-x)=1\)। विकल्प 0 केवल \(x=4\) पर और विकल्प -1 \(x>4\) पर प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: \(\operatorname{sgn}(y)=1\) यदि \(y>0\), 0 यदि \(y=0\), और -1 यदि \(y<0\)। / When \(x<4\), we have \(4-x>0\). The signum function has value \(1\) for a positive argument, so \(f(x)=\operatorname{sgn}(4-x)=1\). The value 0 occurs only at \(x=4\), while -1 occurs when \(x>4\). Exam tip: remember that \(\operatorname{sgn}(y)=1\) for \(y>0\), 0 for \(y=0\), and -1 for \(y<0\).
(x+2=3.6) और \(\lfloor 3.6\rfloor=3\)। पहले अंदर का मान निकालें फिर ग्रेटेस्ट इंटीजर लगाएं। / Here (x+2=3.6) and \(\lfloor 3.6\rfloor=3\). First find the inside value and then apply the greatest integer function.
(2x=2.8) और \(\lfloor 2.8\rfloor=2\)। दशमलव के लिए सबसे बड़ी छोटी या बराबर पूर्णांक संख्या लें। / Here (2x=2.8), and \(\lfloor 2.8\rfloor=2\). For a decimal, take the greatest integer less than or equal to it.
\([3,4)\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(3\le x<4\) होता है, इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक \(\lfloor x\rfloor=3\) रहता है। अतः \(f(x)=3\), और आलेख इस पूरे अंतराल पर \(y=3\) की क्षैतिज रेखा है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=4\) इस अंतराल में शामिल नहीं है और \(\lfloor4\rfloor=4\) केवल अगले चरण पर मिलता है। परीक्षा-युक्ति: greatest integer function के लिए \([n,n+1)\) पर मान सदैव \(n\) होता है। / For every \(x\) in \([3,4)\), we have \(3\le x<4\), so the greatest integer less than or equal to \(x\) is \(\lfloor x\rfloor=3\). Therefore, \(f(x)=3\), giving a horizontal graph segment at \(y=3\) throughout this interval. Option B is incorrect because \(x=4\) is excluded from the interval; the value becomes 4 only at the next step. Exam tip: for the greatest integer function, \(f(x)=n\) on every interval \([n,n+1)\).
भिन्नात्मक भाग फलन का सूत्र \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) होता है। यहाँ \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\), इसलिए \(\{-1.2\}=-1.2-(-2)=0.8\)। ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्या का भिन्नात्मक भाग केवल दशमलव अंक \(-0.2\) नहीं होता; यह सदैव 0 और 1 के बीच रहता है। / The fractional part function is defined by \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\). Since \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\), we get \(\{-1.2\}=-1.2-(-2)=0.8\). An important exam tip is that the fractional part of a negative number is not simply its decimal part \(-0.2\); it always lies in the interval \([0,1)\).
समीकरण \\(4x-2y=6\\) को ढाल-अवरोध रूप में लिखने पर \\(y=2x-3\\) प्राप्त होता है। \\(y=mx+c\\) में \\(x\\) का गुणांक ढाल \\(m\\) होता है, इसलिए ढाल \\(2\\) है। विकल्प \\(-2\\) में चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: पहले रेखा को \\(y=mx+c\\) के रूप में बदलें। / Rearranging \\(4x-2y=6\\) gives \\(y=2x-3\\). In the slope-intercept form \\(y=mx+c\\), the coefficient of \\(x\\) is the slope, so the slope is \\(2\\). The distractor \\(-2\\) has the wrong sign. Exam tip: rewrite a linear equation in the form \\(y=mx+c\\) before identifying the slope.
\(x=3\) रखने पर \(f(3)=|3|-|3-2|=3-1=2\)। इसलिए सही उत्तर 2 है। विकल्प 4 में दूसरे मापांक \(|1|\) को घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले फलन में पहले दिए गए \(x\) का मान प्रत्येक मापांक के अंदर रखें, फिर मापांक ज्ञात करें। / Substituting \(x=3\), we get \(f(3)=|3|-|3-2|=3-1=2\). Therefore, the correct answer is 2. The distractor 4 results from adding \(|1|\) instead of subtracting it. Exam tip: first substitute the given value into every modulus, then evaluate the absolute values.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(f(x)=0\) रखने पर \(x^3-8=0\), अर्थात \(x^3=8\), और \(x=2\) मिलता है। अतः x-प्रतिच्छेद का x-निर्देशांक 2 है। \(x=8\) लेना स्थिर पद को सीधे उत्तर मानने की सामान्य भूल है। परीक्षा में x-अक्ष का प्रतिच्छेद निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At every point on the x-axis, the y-coordinate is 0. Hence, set \(f(x)=0\): \(x^3-8=0\), so \(x^3=8\) and \(x=2\). Therefore, the x-coordinate of the intercept is 2. Choosing \(x=8\) incorrectly treats the constant term as the answer. In an exam, set \(y=0\) to find an x-intercept.
\(x=y^2\) में कई धनात्मक (x)-मानों के लिए दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह ऊर्ध्व रेखा परीक्षण में असफल है। / For \(x=y^2\), many positive (x)-values give two (y)-values. So it fails the vertical line test.
बाईं ओर (2) इकाई के लिए (x+2) और ऊपर (3) इकाई के लिए बाहर (+3) होता है। इसलिए सही रूप (y=(x+2)2+3) है। / For (2) units left, use (x+2), and for (3) units up, use outside (+3). Thus the correct form is (y=(x+2)2+3).
दाईं ओर (4) इकाई के लिए अंदर (x-4) और नीचे (1) इकाई के लिए बाहर (-1) होता है। इसलिए (y=|x-4|-1) सही है। / For (4) units right, use (x-4), and for (1) unit down, use outside (-1). So (y=|x-4|-1) is correct.
A. \(g\) का आलेख 3 इकाई ऊपर है/The graph of \(g\) is shifted 3 units upward
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(g(x)=f(x)+3\), इसलिए प्रत्येक \(x\) के लिए फलन का मान 3 बढ़ जाता है। अतः \(f\) के आलेख का प्रत्येक बिंदु 3 इकाई ऊपर खिसकता है और \(g\) का आलेख प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: \(y=f(x)+k\) आलेख को \(k\) इकाई ऊपर तथा \(y=f(x)-k\) उसे \(k\) इकाई नीचे खिसकाता है। / Since \(g(x)=f(x)+3\), the function value increases by 3 for every \(x\). Therefore, each point on the graph of \(f\) moves 3 units upward to form the graph of \(g\). Remember for exams: \(y=f(x)+k\) shifts a graph \(k\) units upward, whereas \(y=f(x)-k\) shifts it downward.
अंदर (x-2) होने से आलेख (2) इकाई दाईं ओर खिसकता है। इसलिए ऊर्ध्व आसिम्प्टोट (x=2) हो जाता है। / The inside term (x-2) shifts the graph (2) units right. Therefore the vertical asymptote becomes (x=2).
\(\frac{5.8-1}{2}=2.4\) और \(\lfloor2.4\rfloor=2\)। पहले अंदर का मान निकालकर ग्रेटेस्ट इंटीजर लगाएं। / \(\frac{5.8-1}{2}=2.4\) and \(\lfloor2.4\rfloor=2\). First find the inside value and then apply the greatest integer function.
x-अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए \(y=f(x)=0\) होता है। इसलिए \(-(x-1)^2+4=0\), अर्थात् \((x-1)^2=4\)। अतः \(x-1=\pm2\), जिससे \(x=-1\) या \(x=3\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि प्रतिच्छेद बिंदु पूर्ण रूप से \((-1,0)\) और \((3,0)\) हैं; यहाँ उनके केवल x-निर्देशांक पूछे गए हैं। / At every point on the x-axis, \(y=f(x)=0\). Thus, \(-(x-1)^2+4=0\), which gives \((x-1)^2=4\). Therefore, \(x-1=\pm2\), so \(x=-1\) or \(x=3\). Hence, option A is correct. Remember that the complete intercept points are \((-1,0)\) and \((3,0)\); this question asks only for their x-coordinates.
