\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिला। कौन सा निष्कर्ष प्रमाण के क्रम के अनुसार पहले आएगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) in lowest form, \(a^2=2b^2\) is obtained. Which conclusion comes first according to proof order?
#sqrt2 proof
#even square
#hard
#class 10
A \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
B (b) सम है / (b) is even
C (a=b)
D (b=0)
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Correct Answer
A. \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(a^2=2b^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। / So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें। / Do not change the order of conclusions in exams.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा गया। \(p^2=3q^2\) से (p) के बारे में सही तर्क कौन सा है?
Assume \(\sqrt{3}\) is rational and write \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\). What is the correct reasoning about (p) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#hard
#class 10
A (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
B (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
C (p=q)
D (p=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग से मूल संख्या पर जाने के लिए अभाज्य नियम लगाएं। / Use the prime rule to move from square to original number.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में है और \(m^2=5n^2\), तो (m=5k) लिखने के बाद अगला लक्ष्य क्या होगा?
If \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) is in lowest form and \(m^2=5n^2\), what is the next aim after writing (m=5k)?
#sqrt5 proof
#substitution
#hard
#class 10
A (m=n) दिखाना / To show (m=n)
B (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना / To show (n) is also divisible by (5)
C \(\sqrt{5}=5\) दिखाना / To show \(\sqrt{5}=5\)
D (n=0) दिखाना / To show (n=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना / To show (n) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(m=5k) से (m) में (5) का गुणनखंड मिल चुका है। / (m=5k) shows factor (5) in (m).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(m^2=5n^2\) में रखने पर \(n^2=5k^2\) मिलेगा। / Substituting it in \(m^2=5n^2\) gives \(n^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (n) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होकर विरोधाभास बनेगा। / Then (n) is also proved divisible by (5), giving contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a=2r) रखने पर \(a^2=2b^2\) से \(b^2\) का सही रूप क्या मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (a=2r), what correct form of \(b^2\) follows from \(a^2=2b^2\)?
#sqrt2 proof
#b square
#hard
#class 10
A \(b^2=4r^2\)
B \(b^2=r^2\)
C \(b^2=2r^2\)
D (b=2r)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(b^2=2r^2\)
Step 1
Concept
(a=2r) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। / If (a=2r), then \(a^2=4r^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4r^2=2b^2\) से (2) से भाग करने पर \(b^2=2r^2\) मिलता है। / From \(4r^2=2b^2\), dividing by (2) gives \(b^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से (b) के सम होने का आधार मिलता है। / This becomes the basis for proving (b) even.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने पर \(p^2=3q^2\) से कौन सा मध्य समीकरण सही है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), which middle equation is correct from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#algebra
#hard
#class 10
A \(9k^2=3q^2\)
B \(3k^2=3q^2\)
C \(k^2=3q^2\)
D \(p^2=9q^2\)
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Correct Answer
A. \(9k^2=3q^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) का वर्ग करने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। / Squaring (p=3k) gives \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\) होगा। / Substitution in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
((3k)2 ) को \(3k^2\) न लिखें। / Do not write ((3k)2 ) as \(3k^2\).
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सा कथन बीजगणितीय रूप से गलत है?
Which statement is algebraically wrong in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#algebra error
#hard
#class 10
A (p=5k) से \(p^2=25k^2\) / From (p=5k), \(p^2=25k^2\)
B \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5)
C (p=5k) से \(p^2=5k^2\) / From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
D \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है / From \(q^2=5k^2\), (q) is divisible by (5)
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Correct Answer
C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) / From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) का वर्ग ((5k)2 ) होगा। / The square of (p=5k) is ((5k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2 =25k-2 ), इसलिए \(5k^2\) लिखना गलत है। / ((5k)2 =25k-2 ), so writing \(5k^2\) is wrong.
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना कभी न भूलें। / Never forget to square the coefficient.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो कौन सा परिणाम तुरंत विरोधाभास देगा?
If (a) and (b) are coprime, which result will immediately give a contradiction?
#coprime
#common factor
#hard
#class 10
A (a) और (b) दोनों पूर्णांक हैं / Both (a) and (b) are integers
B (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
C \(b\neq 0\)
D (a) धनात्मक है / (a) is positive
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Correct Answer
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), then (3) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास देता है। / So it contradicts their being coprime.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) सम सिद्ध होने के तुरंत बाद (b) सम कहना क्यों अधूरा तर्क है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), why is saying (b) is even immediately after proving (a) even an incomplete reasoning?
#sqrt2 proof
#logical order
#hard
#class 10
A क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा / Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
B क्योंकि (b) कभी सम नहीं हो सकता / Because (b) can never be even
C क्योंकि (b=0) होता है / Because (b=0)
D क्योंकि (a=b) सिद्ध हो चुका है / Because (a=b) is already proved
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Correct Answer
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा / Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। / (a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
(a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। / After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है। / Only then can (b) be proved even.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलने पर (\gcd(p,q)) के बारे में क्या निश्चित है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p=3r) and (q=3s), what is definite about (\gcd(p,q))?
#sqrt3 proof
#gcd
#hard
#class 10
A (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है / (\gcd(p,q)) is at least (3)
B (\gcd(p,q)=1) ही रहेगा / (\gcd(p,q)) will remain (1)
C (\gcd(p,q)=0)
D (\gcd(p,q)=p+q)
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Correct Answer
A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है / (\gcd(p,q)) is at least (3)
Step 1
Concept
(p=3r) और (q=3s) से दोनों में (3) गुणनखंड है। / (p=3r) and (q=3s) show factor (3) in both.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता और कम से कम (3) होगा। / So their greatest common divisor cannot remain (1) and is at least (3).
Step 3
Exam Tip
यही सरलतम रूप से विरोधाभास है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) से कौन सा निष्कर्ष तुरंत नहीं निकाला जा सकता?
In the proof of \(\sqrt{5}\), which conclusion cannot be drawn immediately from \(p^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#immediate conclusion
#hard
#class 10
A \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
B (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
C (p=5k) किसी पूर्णांक (k) के लिए / (p=5k) for some integer (k)
D (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
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Correct Answer
D. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\), then (p), is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलेगा। / Only after putting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) की विभाज्यता तुरंत नहीं आती। / So divisibility of (q) is not immediate.
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