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वियत के सूत्र से \(\alpha+\beta=16\) और \(\alpha\beta=63\)। अतः \((\alpha-7)(\beta-7)=\alpha\beta-7(\alpha+\beta)+49=63-7(16)+49=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूल ज्ञात किए बिना मूलों के योग और गुणनफल का उपयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=16\) and \(\alpha\beta=63\). Therefore, \((\alpha-7)(\beta-7)=\alpha\beta-7(\alpha+\beta)+49=63-7(16)+49=0\). Hence, option A is correct. Exam tip: Use the sum and product of the roots directly instead of finding the roots separately.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(x^2-8x+5=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=8\) और मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=5\) है। अतः \(\alpha+\beta+4\alpha\beta=8+4(5)=28\)। विकल्प 13 में गुणनफल को केवल 5 जोड़ा गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। / By Vieta’s formulas for \(x^2-8x+5=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=8\) and their product is \(\alpha\beta=5\). Therefore, \(\alpha+\beta+4\alpha\beta=8+4(5)=28\). Option 13 results from adding the product only once, so it is incorrect. Exam tip: for \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots is \(-b/a\) and the product is \(c/a\).
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(-5+11=6\) है, इसलिए \(-b=6\), अर्थात \(b=-6\)। मूलों का गुणनफल \((-5)(11)=-55\) है, इसलिए \(c=-55\)। अतः \(b+c=-6-55=-61\)। परीक्षा-युक्ति: monic quadratic में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) सीधे पहचानें। / For the quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\). Here, the sum is \(-5+11=6\), so \(-b=6\), giving \(b=-6\). Their product is \((-5)(11)=-55\), so \(c=-55\). Therefore, \(b+c=-6-55=-61\). Exam tip: In a monic quadratic, use the root relations sum \(=-b\) and product \(=c\) directly.
वियत के सूत्र के अनुसार, समीकरण \(x^2+bx+100=0\) के मूलों का योग \(-b\) होता है। दोनों मूल \(-10\) हैं, इसलिए उनका योग \(-10+(-10)=-20\) है। अतः \(-b=-20\), जिससे \(b=20\)। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-b\) याद रखें; ऋण चिह्न की गलती से विकल्प B आ सकता है। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(x^2+bx+100=0\) is \(-b\). Since both roots are \(-10\), their sum is \(-10+(-10)=-20\). Therefore, \(-b=-20\), giving \(b=20\). Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is always \(-b\); missing this negative sign leads to option B.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-13\), इसलिए \(\alpha+\beta=13\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=13^2=169\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B नियतांक \(36\) से संबंधित है, मूलों के योग से नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल सीधे \(-\frac{b}{a}\) तथा \(\frac{c}{a}\) से ज्ञात करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-13\), so \(\alpha+\beta=13\). Therefore, \((\alpha+\beta)^2=13^2=169\), making option A correct. Option B is the constant term, not the sum of the roots. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly: the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\).
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ मूलों का योग \((-4)+9=5\) है, इसलिए \(-b=5\) से \(b=-5\)। मूलों का गुणनफल \((-4)(9)=-36\) है, इसलिए \(c=-36\)। अतः \(b+c=-5-36=-41\)। परीक्षा-टिप: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों के योग और गुणनफल को क्रमशः \(-b\) और \(c\) से मिलाएँ। / For the monic quadratic \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\). Here, the sum is \((-4)+9=5\), so \(-b=5\) and \(b=-5\). The product is \((-4)(9)=-36\), giving \(c=-36\)। Therefore, \(b+c=-5-36=-41\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), match the sum and product of the roots with \(-b\) and \(c\), respectively.
मूल \\(-8\\) और \\(-8\\) हैं, इसलिए मूलों का योग \\(-16\\) होगा। समीकरण \\(x^2+bx+64=0\\) में मूलों का योग \\(-b\\) होता है। अतः \\(-b=-16\\), जिससे \\(b=16\\)। विकल्प B में मूलों के योग \\(-16\\) को सीधे \\(b\\) मान लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \\(x^2+px+q=0\\) में मूलों का योग हमेशा \\(-p\\) और गुणनफल \\(q\\) होता है। / The roots are \\(-8\\) and \\(-8\\), so their sum is \\(-16\\). For \\(x^2+bx+64=0\\), the sum of the roots is \\(-b\\). Therefore, \\(-b=-16\\), giving \\(b=16\\). Option B is the root sum, not the coefficient \\(b\\). Exam tip: In \\(x^2+px+q=0\\), the sum of roots is \\(-p\\) and their product is \\(q\\).
द्विघात समीकरण \(x^2-sx+p=0\) में मूलों का योग \(s\) और मूलों का गुणनफल \(p\) होता है। इसलिए \(s=5+6=11\) तथा \(p=5\times6=30\)। अतः \(s+p=11+30=41\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-(\text{मूलों का योग})x+(\text{मूलों का गुणनफल})\) के मानक रूप से सीधे तुलना करें। / For the quadratic equation \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\), and their product is \(p\). Thus, \(s=5+6=11\) and \(p=5\times6=30\), so \(s+p=11+30=41\). Exam tip: Compare the equation with \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})\) to identify the parameters quickly.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-9\), इसलिए \(\alpha+\beta=9\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=9^2=81\)। विकल्प 14 मूलों के गुणनफल \(\alpha\beta\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-9\), so \(\alpha+\beta=9\). Therefore, \((\alpha+eta)^2=9^2=81\). The value 14 is the product \(\alpha\beta\), not the sum of the roots. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-b/a\), while their product is \(c/a\).
एकक गुणांक वाले द्विघात समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का गुणनफल नियत पद (q) के बराबर होता है। दिए गए मूल (2) और (p) हैं, इसलिए \(q=2\times p=2p\)। अतिरिक्त रूप से, मूलों का योग (2+p=-p) से (p=-1) और (q=-2) मिलता है, जो इस संबंध की पुष्टि करता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+ax+b=0\) में मूलों का योग (-a) और गुणनफल (b) होता है। / For the monic quadratic equation \(x^2+px+q=0\), the product of the roots equals the constant term (q). Since the roots are (2) and (p), \(q=2\times p=2p\). Also, their sum gives (2+p=-p), so (p=-1) and (q=-2), confirming the relation. Exam tip: In \(x^2+ax+b=0\), the sum of roots is (-a) and their product is (b).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का योग \\( -b/a \\) और गुणनफल \\(c/a\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=-5,c=2\\) हैं, इसलिए \\(\\alpha+\\beta=5\\) और \\(\\alpha\\beta=2\\)। अतः \\(\\alpha+\\beta+2\\alpha\\beta=5+2(2)=9\\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों के अलग-अलग मान ज्ञात करने के बजाय सीधे योग और गुणनफल के सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is \\( -b/a \\) and their product is \\(c/a\\). Here, \\(a=1,b=-5,c=2\\), so \\(\\alpha+\\beta=5\\) and \\(\\alpha\\beta=2\\). Therefore, \\(\\alpha+\\beta+2\\alpha\\beta=5+2(2)=9\\). Exam tip: use the sum and product of roots directly instead of solving for the individual roots.
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और मूलों का गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(-3+8=5\) है, इसलिए \(-b=5\), अर्थात \(b=-5\)। मूलों का गुणनफल \((-3)\times 8=-24\) है, इसलिए \(c=-24\)। अतः \(b+c=-5-24=-29\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c=0\) के लिए सीधे \(b=-(\text{मूलों का योग})\) और \(c=\text{मूलों का गुणनफल}\) का उपयोग करें। / For the monic quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\). Here, the sum is \(-3+8=5\), so \(-b=5\), giving \(b=-5\). The product is \((-3)(8)=-24\), so \(c=-24\). Therefore, \(b+c=-5-24=-29\). Exam tip: For \(x^2+bx+c=0\), use \(b=-(\text{sum of roots})\) and \(c=\text{product of roots}\).
मूलों का योग \((-7)+(-7)=-14\) है। मानक रूप \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) होता है, इसलिए \(-b=-14\), अतः \(b=14\)। विकल्प B मूलों का योग है, जबकि पूछा गया मान गुणांक \(b\) का है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{x}^2 का गुणांक}\) से निकालें। / The sum of the roots is \((-7)+(-7)=-14\). For a quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\). Thus, \(-b=-14\), giving \(b=14\). Option B is the sum of the roots, not the value of the coefficient \(b\). Exam tip: Use the relation \(\text{sum of roots}=-\frac{\text{coefficient of }x}{\text{coefficient of }x^2}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(4m\) है। एक मूल \(4\) दिया गया है, इसलिए दूसरा मूल \(\frac{4m}{4}=m\) होगा। ध्यान रखें कि \(m+4\) मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, the product of the roots is \(4m\). Since one root is \(4\), the other root is \(\frac{4m}{4}=m\). Remember that \(m+4\) is the sum of the roots, not the other root.
वियत के सूत्रों के अनुसार, \(\alpha+\beta=-\frac{7}{1}=-7\) और \(\alpha\beta=\frac{10}{1}=10\)। अतः \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=10+2(-7)+4=0\)। विकल्प B केवल \(\alpha\beta\) का मान है, पूरी अभिव्यक्ति का नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों वाली ऐसी अभिव्यक्तियों में पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) निकालें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-\frac{7}{1}=-7\) and \(\alpha\beta=\frac{10}{1}=10\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=10+2(-7)+4=0\). Option B is only the value of \(\alpha\beta\), not of the complete expression. Exam tip: For expressions involving roots, first find the sum and product of the roots using Vieta’s formulas.
द्विघात समीकरण \(x^2-sx+p=0\) में मूलों का योग \(s\) और मूलों का गुणनफल \(p\) होता है। इसलिए \(s=4+5=9\) तथा \(p=4\times5=20\)। अतः \(s+p=9+20=29\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में मूलों के योग और गुणनफल के मानों की तुलना मानक रूप \(x^2-sx+p=0\) से करें। / For the quadratic equation \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\), and their product is \(p\). Thus, \(s=4+5=9\) and \(p=4\times5=20\). Therefore, \(s+p=9+20=29\), so option A is correct. Exam tip: compare the equation directly with the standard form \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})=0\).
द्विघात समीकरण \\(x^2+px+q=0\\) में मूलों का गुणनफल स्थिर पद \\(q\\) के बराबर होता है। यहाँ मूल 1 और \\(p\\) हैं, इसलिए \\(q=1\cdot p=p\\)। मूलों का योग भी \\(-p\\) होना चाहिए, जिससे \\(1+p=-p\\) और \\(p=-\\frac{1}{2}\\) प्राप्त होता है; तब भी \\(q=p\\) ही रहता है। परीक्षा-युक्ति: \\(x^2+bx+c=0\\) के लिए मूलों का गुणनफल हमेशा \\(c\\) होता है। / For the quadratic equation \\(x^2+px+q=0\\), the product of the roots equals the constant term \\(q\\). Since the roots are 1 and \\(p\\), \\(q=1\cdot p=p\\). The sum condition also gives \\(1+p=-p\\), so \\(p=-\\frac{1}{2}\\); nevertheless, the required relation remains \\(q=p\\). Exam tip: In \\(x^2+bx+c=0\\), the product of the roots is always \\(c\\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=1\) हैं, इसलिए \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=1\)। अतः \(\alpha+\beta+\alpha\beta=4+1=5\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल निकालने के लिए मूलों को हल करने की आवश्यकता नहीं होती। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=1, b=-4, c=1\), so \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=1\). Therefore, \(\alpha+\beta+\alpha\beta=4+1=5\). Exam tip: Use the sum and product of roots directly instead of solving the quadratic equation.
द्विघात समीकरण \\(x^2+bx+c=0\\) में मूलों का योग \\(-b\\) और मूलों का गुणनफल \\(c\\) होता है। यहाँ मूलों का योग \\(-2+7=5\\) है, इसलिए \\(-b=5\\), अर्थात \\(b=-5\\)। मूलों का गुणनफल \\((-2)\\times7=-14\\) है, इसलिए \\(c=-14\\)। अतः \\(b+c=-5-14=-19\\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र को क्रमशः \\(-b/a\\) और \\(c/a\\) के रूप में याद रखें। / For the monic quadratic equation \\(x^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is \\(-b\\) and their product is \\(c\\). Here, the sum is \\(-2+7=5\\), so \\(-b=5\\), giving \\(b=-5\\). The product is \\((-2)\\times7=-14\\), so \\(c=-14\\). Therefore, \\(b+c=-5-14=-19\\). Exam tip: For \\(ax^2+bx+c=0\\), use the root sum \\(-b/a\\) and root product \\(c/a\\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ दोनों मूलों का गुणनफल \(2m\) है। एक मूल \(2\) दिया गया है, इसलिए दूसरा मूल \(\frac{2m}{2}=m\) होगा। जाँच के लिए मूलों का योग \(m+2\) है और \(2+m=m+2\), जो सही है। परीक्षा-युक्ति: जब एक मूल ज्ञात हो, तो दूसरे मूल के लिए गुणनफल या योग—जिससे गणना सरल हो—का प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, the product of the two roots is \(2m\). Since one root is \(2\), the other root is \(\frac{2m}{2}=m\). As a check, the sum of the roots is \(m+2\), and \(2+m=m+2\), so the result is consistent. Exam tip: When one root is known, use either the product or the sum of roots, whichever gives the quicker calculation.
विएटा के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\)। इसलिए \((\alpha-1)(\beta-1)=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1=15-8+1=8\)। अतः सही उत्तर 8 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में मूल ज्ञात करने के बजाय सीधे मूलों के योग और गुणनफल का उपयोग करना अधिक तेज़ और सुरक्षित होता है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). Therefore, \((\alpha-1)(\beta-1)=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1=15-8+1=8\). Hence, 8 is correct. In such questions, using the sum and product of the roots directly is faster and safer than solving for the roots individually.
द्विघात समीकरण \(x^2+vx+28=0\) में मूलों का योग \(-v\) होता है। दिए गए मूलों का योग \(-4+(-7)=-11\) है। अतः \(-v=-11\), इसलिए \(v=11\)। विकल्प \(-11\) मूलों का योग है, न कि \(v\) का मान। परीक्षा टिप: \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b/a\) होता है। / For the quadratic equation \(x^2+vx+28=0\), the sum of the roots is \(-v\). The given roots have sum \(-4+(-7)=-11\). Hence, \(-v=-11\), so \(v=11\). Option \(-11\) is the sum of the roots, not the value of \(v\). Exam tip: For \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots is \(-b/a\).
