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गुणांक अनुपात \(\frac{1}{3}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{c}{21}\neq\frac{1}{3}\), अतः \(c\neq7\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{3}\). For no solution, \(\frac{c}{21}\neq\frac{1}{3}\), hence \(c\neq7\).
अनंत हलों में \(\frac{7}{14}=\frac{m-4}{6}=\frac{13}{26}\) होना चाहिए। इससे (m=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{7}{14}=\frac{m-4}{6}=\frac{13}{26}\) must hold. This gives (m=7).
गुणांक अनुपात समान करने पर (k=2) आता है। स्थिर अनुपात अलग है, इसलिए कोई हल नहीं होगा। / Making coefficient ratios equal gives (k=2). The constant ratio is different, so there is no solution.
गुणांक अनुपात समान है लेकिन स्थिर पद का अनुपात समान नहीं है। परीक्षा में इसे समांतर अलग रेखाओं का संकेत मानें। / The coefficient ratio is equal but the constant ratio is not equal. In exams, treat this as distinct parallel lines.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Thus both are the same line and have infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{3}\) है पर स्थिर अनुपात \(\frac{5}{17}\) है। अतः कोई हल नहीं मिलेगा। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{3}\) but the constant ratio is \(\frac{5}{17}\). Therefore, there is no solution.
गुणांकों के अनुपात समान हैं पर स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. Hence the lines are parallel and have no solution.
तीनों अनुपात समान हैं, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाएँ अनंत हल देती हैं। / All three ratios are equal, so the lines are coincident. Coincident lines give infinitely many solutions.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{11}{22}\neq\frac{2}{n}\) चाहिए। अतः \(n\neq4\) परीक्षा में सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{11}{22}\neq\frac{2}{n}\) is required. Hence \(n\neq4\) is the correct exam condition.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{t}{20}\neq\frac{1}{4}\), इसलिए \(t\neq5\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For no solution, \(\frac{t}{20}\neq\frac{1}{4}\), so \(t\neq5\).
अनंत हलों के लिए सभी अनुपात बराबर होने चाहिए। \(\frac{6}{s}=\frac{-8}{-12}=\frac{16}{24}\) से (s=9) है। / For infinitely many solutions, all ratios must be equal. From \(\frac{6}{s}=\frac{-8}{-12}=\frac{16}{24}\), (s=9).
दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए गुणांक-सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ सारणिक \(D=ab-(7\times5)=ab-35\) है। अतः अद्वितीय हल तभी होगा जब \(ab\neq 35\)। यदि \(ab=35\) हो, तो सारणिक शून्य हो जाता है और युग्म का या तो कोई हल नहीं होगा या अनंत हल होंगे, अद्वितीय हल नहीं। परीक्षा टिप: अद्वितीय हल जाँचने के लिए \(a_1b_2-a_2b_1\neq0\) देखें। / For a pair of linear equations to have a unique solution, the determinant of the coefficient matrix must be non-zero. Here, \(D=ab-(7\times5)=ab-35\). Therefore, a unique solution exists when \(ab\neq 35\). If \(ab=35\), the determinant is zero, so the pair has either no solution or infinitely many solutions, not a unique solution. Exam tip: Check whether \(a_1b_2-a_2b_1\neq0\) for a unique solution.
अनंत हलों में \(\frac{4}{10}=\frac{r-2}{15}=\frac{14}{35}\) होता है। इससे (r=8) प्राप्त होता है। / In infinitely many solutions, \(\frac{4}{10}=\frac{r-2}{15}=\frac{14}{35}\). This gives (r=8).
समांतर अलग रेखाओं के लिए गुणांक अनुपात समान और स्थिर अनुपात अलग होता है। हल करने पर \(q=\frac{3}{2}\) मिलता है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and constant ratio is different. Solving gives \(q=\frac{3}{2}\).
अनंत हलों के लिए तीनों अनुपात समान होते हैं। यहाँ \(\frac{m-1}{3}=\frac{6}{9}=\frac{10}{15}\) से (m=3) मिलता है। / For infinitely many solutions, all three ratios are equal. From \(\frac{m-1}{3}=\frac{6}{9}=\frac{10}{15}\), (m=3).
कोई हल नहीं के लिए गुणांकों के अनुपात समान और स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। (k=4) पर यही स्थिति बनती है। / For no solution, coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. At (k=4), this condition holds.
अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपात बराबर नहीं होने चाहिए। यहाँ \(k\neq2\) परीक्षा में सीधे अनुपात से जाँचें। / For a unique solution, coefficient ratios must not be equal. Here \(k\neq2\); check ratios directly in exams.
दो भिन्नांतरित रेखाएँ केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। वह प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रैखिक समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है, इसलिए युग्म का केवल एक हल होता है। समानांतर भिन्न रेखाओं का कोई हल नहीं होता, जबकि संपाती रेखाओं के अनंत अनेक हल होते हैं। परीक्षा टिप: आलेख में प्रतिच्छेद बिंदुओं की संख्या देखकर हलों की संख्या तुरंत पहचानी जा सकती है। / Two distinct non-parallel lines intersect at exactly one point. This intersection point satisfies both linear equations, so the pair has exactly one solution. Distinct parallel lines have no solution, whereas coincident lines have infinitely many solutions. Exam tip: Count the intersection points in the graph to identify the number of solutions quickly.
C. युग्म संगत और स्वतंत्र है तथा इसका एक अद्वितीय हल है/The pair is consistent and independent with one unique solution
Explanation
Simple Explanation
अलग-अलग ढाल वाली दो रेखाएँ समानांतर नहीं होतीं और एक-दूसरे को केवल एक बिंदु पर काटती हैं। इसलिए रैखिक समीकरणों का युग्म संगत और स्वतंत्र होता है तथा इसका एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प B और D अनंत हलों को दर्शाते हैं, जो संपाती रेखाओं के लिए संभव हैं; ऐसी रेखाओं की ढाल समान होती है। परीक्षा-युक्ति: अलग ढाल के लिए अद्वितीय हल, समान ढाल और अलग अवरोध के लिए कोई हल नहीं, तथा समान ढाल और समान अवरोध के लिए अनंत हल याद रखें। / Two lines with different slopes cannot be parallel or coincident, so they intersect at exactly one point. Hence, the pair of linear equations is consistent and independent and has one unique solution. Options B and D describe infinitely many solutions, which occur for coincident lines having the same slope. Exam tip: different slopes imply one unique solution; equal slopes with different intercepts imply no solution; and equal slopes with equal intercepts imply infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों के लिए \\(a_1/a_2 = b_1/b_2\\) न होने पर एक अद्वितीय हल होता है। यहाँ \\(17/8 \\ne 6/3\\) है; अथवा निर्धारक \\(17 \\times 3 - 8 \\times 6 = 3 \\ne 0\\) है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं और निकाय का एक अद्वितीय हल है। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना करते समय दोनों समीकरणों में गुणांकों का क्रम समान रखें। / For two linear equations, a unique solution exists when \\(a_1/a_2 \\ne b_1/b_2\\). Here, \\(17/8 \\ne 6/3\\); equivalently, the determinant is \\(17 \\times 3 - 8 \\times 6 = 3 \\ne 0\\). Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the system has one unique solution. Exam tip: Compare corresponding coefficients in the same order in both equations.
A. तीनों अनुपात बराबर हैं/All three ratios are equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a₁/a₂ = 5/15 = 1/3, b₁/b₂ = 6/18 = 1/3 और c₁/c₂ = 32/96 = 1/3 है। इसलिए तीनों अनुपात बराबर हैं और दोनों समीकरण संपाती रेखाओं को दर्शाते हैं; अतः इनके अनंत हल हैं। परीक्षा में ax + by + c = 0 के लिए पहले a₁/a₂, फिर b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना अवश्य करें। / Here, a₁/a₂ = 5/15 = 1/3, b₁/b₂ = 6/18 = 1/3, and c₁/c₂ = 32/96 = 1/3. Hence, all three ratios are equal, so the two equations represent coincident lines and have infinitely many solutions. In an exam, compare a₁/a₂, b₁/b₂, and c₁/c₂ in that order for equations written as ax + by + c = 0.
दोनों समीकरणों के गुणांकों का सारणिक \\(15 \times 2 - 7 \times 4 = 2\\) है, जो शून्य नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। अनंत हल के लिए गुणांक और अचर पदों के संबंधित अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \\(a_1b_2-a_2b_1 \ne 0\\), तो रैखिक समीकरणों के युग्म का निश्चित रूप से एक अद्वितीय हल होता है। / The determinant of the coefficients is \\(15 \times 2 - 7 \times 4 = 2\\), which is non-zero. Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the pair has a unique solution. Infinitely many solutions would require the corresponding ratios of the coefficients and constant terms to be equal. Exam tip: If \\(a_1b_2-a_2b_1 \ne 0\\), a pair of linear equations has exactly one unique solution.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों में गुणांकों के अनुपात \\(2/5\\) और \\(9/11\\) समान नहीं हैं। इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल अलग होगी और वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी, जिससे एक अद्वितीय हल प्राप्त होगा। विकल्प B तभी सही होता जब रेखाएं समानांतर होतीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \\(a_1/a_2 \\ne b_1/b_2\\) हो, तो रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होता है। / The coefficient ratios \\(2/5\\) and \\(9/11\\) are unequal. Therefore, the two lines have different slopes and intersect at exactly one point, giving a unique solution. Option B would be correct only if the lines were distinct and parallel. Exam tip: for \\(a_1x+b_1y+c_1=0\\) and \\(a_2x+b_2y+c_2=0\\), if \\(a_1/a_2 \\ne b_1/b_2\\), the pair has a unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए, इसलिए (k=9)। परीक्षा में अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर रखें। / The first equation must be (2) times the second, so (k=9). For infinitely many solutions, keep all three ratios equal.
यहाँ \(a_1/a_2=17/9\) और \(b_1/b_2=4/2=2\) हैं, इसलिए \(a_1/a_2\ne b_1/b_2\)। अतः दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प A के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए, जबकि विकल्प B के लिए केवल गुणांकों के अनुपात बराबर और अचर पदों का अनुपात अलग होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) की तुलना करें। / Here, \(a_1/a_2=17/9\) and \(b_1/b_2=4/2=2\), so \(a_1/a_2\ne b_1/b_2\). Therefore, the two lines intersect at exactly one point, giving one unique solution. Option A would require all three ratios to be equal, while option B would require the coefficient ratios to be equal but the constant-term ratio to be different. Exam tip: first compare \(a_1/a_2\) and \(b_1/b_2\).
C. असंगत (समान्तर और भिन्न रेखाएँ)/Inconsistent (parallel and distinct lines)
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों के लिए 13/26 = 5/10 = 1/2, लेकिन 22/45 का मान 1/2 के बराबर नहीं है। अतः a₁/a₂ = b₁/b₂, परंतु c₁/c₂ अलग है। इसलिए दोनों रेखाएँ समान्तर और भिन्न हैं, उनका कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है और युग्म असंगत है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो युग्म असंगत होता है। / For the two equations, 13/26 = 5/10 = 1/2, but 22/45 is not equal to 1/2. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂, while c₁/c₂ is different. Therefore, the two lines are parallel and distinct, so they have no common solution and the pair is inconsistent. Exam tip: When a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair is inconsistent.
B. युग्म संगत और स्वतंत्र है तथा इसका एक अद्वितीय हल है/The pair is consistent and independent and has one unique solution
Explanation
Simple Explanation
अलग ढाल वाली दो रेखाएँ एक-दूसरे को केवल एक बिंदु पर काटती हैं। इसलिए संबंधित रैखिक समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल होता है और वह संगत तथा स्वतंत्र कहलाता है। समान ढाल वाली अलग-अलग रेखाएँ असंगत होती हैं, जबकि एक ही रेखा को दर्शाने वाले समीकरणों के अनंत हल होते हैं। परीक्षा में याद रखें: अलग ढाल का अर्थ हमेशा एक अद्वितीय हल है। / Two lines with different slopes intersect at exactly one point. Hence, the pair of linear equations has one unique solution and is called consistent and independent. Lines with the same slope but different intercepts are inconsistent, while equations representing the same line have infinitely many solutions. Exam tip: different slopes always imply a unique solution.
दोनों समीकरणों में x और y के गुणांकों का अनुपात क्रमशः 2/5 और 7/9 है। चूँकि 2/5 ≠ 7/9, इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिंदु पर काटेंगी और केवल एक अद्वितीय हल होगा। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो युग्म का एक अद्वितीय हल होता है; इसलिए इसे अनंत हल या कोई हल नहीं कहना गलत होगा। / The ratios of the coefficients of x and y are 2/5 and 7/9, respectively. Since 2/5 ≠ 7/9, the two lines intersect at exactly one point, giving one unique solution. Therefore, option A is correct. Exam tip: For a pair of linear equations, if a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, the pair has a unique solution; hence it has neither no solution nor infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
पहली रेखा के गुणांकों की तुलना में \(a_1/a_2=2/4=1/2\) और \(b_1/b_2=(-3)/(-6)=1/2\), जबकि \(c_1/c_2=5/7\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जो अलग-अलग समानांतर रेखाओं की शर्त है। अतः सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प B गलत है, क्योंकि संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-टिप: \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) दिखे तो रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। / Comparing the coefficients, \(a_1/a_2=2/4=1/2\) and \(b_1/b_2=(-3)/(-6)=1/2\), but \(c_1/c_2=5/7\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), which is the condition for distinct parallel lines. Therefore, option C is correct. Option B is incorrect because coincident lines require all three ratios to be equal. Exam tip: If \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the lines are distinct and parallel.
