Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ (D=4(k-1)2-4(k+5)=4\(k^2-3k-4\)) नहीं, सही सरल रूप (4\(k^2-3k-4\)) है। (D<0) से (0<k<3) नहीं मिलता, इसलिए गुणनखंड जाँचें। / Here (D=4(k-1)2-4(k+5)=4\(k^2-3k-4\)). Use (D<0) and factor carefully before choosing the interval.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=-(k+4)\) और \(c=2k\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(k+4)^2-16k=(k-4)^2\)। अतः \((k-4)^2=0\) से \(k=4\) मिलता है। उदाहरण के लिए \(k=-4\) रखने पर \(D=64\), इसलिए मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / Equal roots require the discriminant to be zero. Here \(a=2\), \(b=-(k+4)\), and \(c=2k\), so \(D=b^2-4ac=(k+4)^2-16k=(k-4)^2\). Thus, \((k-4)^2=0\) gives \(k=4\). For example, when \(k=-4\), \(D=64\), so the roots are not equal. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \(b^2-4ac=0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=-(k+4)\) और \(c=2k\), इसलिए \(D=(k+4)^2-16k=k^2-8k+16=(k-4)^2\)। अतः \((k-4)^2=0\) से \(k=4\)। परीक्षा में याद रखें: द्विघात समीकरण के समान मूलों की शर्त हमेशा \(D=0\) होती है। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=2\), \(b=-(k+4)\), and \(c=2k\). Thus, \(D=(k+4)^2-16k=k^2-8k+16=(k-4)^2\). Setting this equal to zero gives \(k=4\). The other values do not make the discriminant zero. Exam tip: equal roots in a quadratic equation always require \(D=0\).
यहाँ \(a=p+1\), \(b=-2(p+2)\) और \(c=p+4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(p+2)^2-4(p+1)(p+4)=-4p\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq 0\), इसलिए \(p\leq 0\)। साथ ही \(p=-1\) दिया हुआ है, इसलिए अंतिम शर्त \(p\leq 0,\ p\ne -1\) होगी। विकल्प B गलत है क्योंकि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) लगाएँ और जाँचें कि समीकरण वास्तव में द्विघात है। / Here, \(a=p+1\), \(b=-2(p+2)\), and \(c=p+4\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(p+2)^2-4(p+1)(p+4)=-4p\). For real roots, \(D\geq 0\), which gives \(p\leq 0\). Since \(p=-1\) is excluded, the complete condition is \(p\leq 0,\ p\ne -1\). Option B is incorrect because at \(p=0\), \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: For real roots, apply \(D\geq 0\) and also verify that the coefficient of \(x^2\) is non-zero.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और अलग-अलग मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(m+3)^2-4(1)(3m)=m^2-6m+9=(m-3)^2\)। यह मान \(m=3\) पर शून्य और अन्य सभी मानों पर धनात्मक होता है। इसलिए आवश्यक शर्त \(m\ne3\) है। विकल्प B में मूल वास्तविक तो होंगे, लेकिन समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग मूलों के लिए हमेशा \(D>0\), समान मूलों के लिए \(D=0\), और अवास्तविक मूलों के लिए \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(D=(m+3)^2-4(1)(3m)=m^2-6m+9=(m-3)^2\). This is zero when \(m=3\) and positive for every other real value of \(m\). Therefore, the required condition is \(m\ne3\). In option B, the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: use \(D>0\) for distinct real roots, \(D=0\) for equal roots, and \(D<0\) for non-real roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2+4\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4(k^2+4)=8k-12\)। अतः \(8k-12\geq0\), जिससे \(k\geq\frac{3}{2}\) प्राप्त होता है। \(k=\frac{3}{2}\) पर मूल समान होते हैं, इसलिए उसे केवल एकमात्र मान कहना गलत है। परीक्षा टिप: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ, जबकि अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) चाहिए। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2+4\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4(k^2+4)=8k-12\). Thus, \(8k-12\geq0\), giving \(k\geq\frac{3}{2}\). At \(k=\frac{3}{2}\), the roots are equal and real, so option C is too restrictive. Exam tip: use \(D\geq0\) for real roots and \(D>0\) only for distinct real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \(\Delta=-4\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2\sqrt{5}\) और \(c=6\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{5})^2-4(1)(6)=20-24=-4\) है। चूँकि \(\Delta<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो मूल वास्तविक नहीं होते; \(\Delta=0\) होने पर ही मूल वास्तविक और समान होते हैं। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2\sqrt{5}\), and \(c=6\). Thus, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{5})^2-4(1)(6)=20-24=-4\). Since \(\Delta<0\), the equation has no real roots, so option A is correct. Exam tip: a negative discriminant means the roots are non-real; equal real roots occur only when \(\Delta=0\).
A. दो वास्तविक और समान (\(D=0\))/Two real and equal (\(D=0\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=4\), \(b=-4\sqrt{3}\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4(4)(3)=48-48=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, मूल \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) दोहराया जाता है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि यहाँ \(D=4\) नहीं बल्कि \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का मान निकालें। / Here, \(a=4\), \(b=-4\sqrt{3}\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4(4)(3)=48-48=0\). When \(D=0\), the quadratic equation has two real and equal roots. In fact, the repeated root is \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Thus, option B is incorrect because the discriminant is not \(4\); it is \(0\). Exam tip: To determine the nature of the roots, first calculate \(D=b^2-4ac\).
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर से दो अलग परिमेय वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में केवल (D>0) नहीं, (D) का पूर्ण वर्ग होना भी देखें। / A positive perfect-square discriminant gives two distinct rational real roots. In exams check not only (D>0) but also whether (D) is a perfect square.
C. ऐसा कोई वास्तविक (m) नहीं है/No such real (m) exists
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=(2m)2-4(m-2)(m+2)=16), इसलिए \(D\neq0\) हमेशा है। परीक्षा में बराबर मूलों के लिए (D=0) जरूरी होता है। / Here (D=(2m)2-4(m-2)(m+2)=16), so \(D\neq0\) always. In exams, (D=0) is necessary for equal roots.
A. \(k\le1\) और \(k\neq0\)/\(k\le1\) and \(k\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(36-36k\ge0\) से \(k\le1\)। साथ में \(k\neq0\) चाहिए क्योंकि समीकरण द्विघात रहना चाहिए। / For real roots, \(D\ge0\), so \(36-36k\ge0\) gives \(k\le1\). Also \(k\neq0\) is required because the equation must remain quadratic.
A. सभी वास्तविक (k) के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल/Two distinct real roots for all real (k)
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=[-2(k+3)]2-4\(k^2+6k+5\)=16), इसलिए (D>0) है। परीक्षा में सरलीकरण के बाद (D) का चिह्न अंतिम उत्तर देता है। / Here (D=[-2(k+3)]2-4\(k^2+6k+5\)=16), so (D>0). In exams, the sign of (D) after simplification gives the final answer.
\(b^2=4ac\) होने पर \(D=b^2-4ac=0\), इसलिए मूल बराबर वास्तविक होते हैं। परीक्षा में इसे discriminant zero condition मानें। / When \(b^2=4ac\), \(D=b^2-4ac=0\), so the roots are equal and real. In exams, treat this as the discriminant zero condition.
बराबर मूलों के लिए (D=0), इसलिए \(p^2-4q=0\) से \(p^2=4q\)। परीक्षा में (a=1) होने पर सूत्र आसान हो जाता है। / For equal roots, (D=0), so \(p^2-4q=0\) gives \(p^2=4q\). In exams, the formula becomes simpler when (a=1).
यहां (D=\left\(\frac{4}{3}\right\)2-4\cdot4\cdot\frac{1}{9}=0), इसलिए बराबर वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में fractions में (4ac) ध्यान से निकालें। / Here (D=\left\(\frac{4}{3}\right\)2-4\cdot4\cdot\frac{1}{9}=0), so the roots are equal and real. In exams, calculate (4ac) carefully with fractions.
यहां (D=\left\(\frac{1}{2}\right\)2-4\cdot1\cdot\frac{1}{16}=0), इसलिए मूल बराबर वास्तविक हैं। परीक्षा में fraction को square करते समय denominator भी square करें। / Here (D=\left\(\frac{1}{2}\right\)2-4\cdot1\cdot\frac{1}{16}=0), so the roots are equal and real. In exams, square the denominator too while squaring a fraction.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2k\) और \(c=27\), इसलिए \((-2k)^2-4(3)(27)=0\), अर्थात् \(4k^2=324\)। इससे \(k^2=81\) और \(k=\pm9\)। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=3\), \(b=-2k\), and \(c=27\), so \((-2k)^2-4(3)(27)=0\), giving \(4k^2=324\). Hence \(k^2=81\), and therefore \(k=\pm9\). Thus, option A is correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant equal to zero.
यहां (D=(-8)2-4\cdot8\cdot3=-32), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D) का चिह्न अंतिम निर्णय देता है। / Here (D=(-8)2-4\cdot8\cdot3=-32), so there are no real roots. In exams, the sign of (D) gives the final decision.
बराबर मूलों के लिए (D=0), अतः (9-4h=0) और \(h=\frac{9}{4}\)। परीक्षा में भिन्न उत्तर आने पर भी (D=0) पद्धति सही रहती है। / For equal roots, (D=0), so (9-4h=0) and \(h=\frac{9}{4}\). In exams, the (D=0) method remains valid even with fractional answers.
यहां (D=52-4\cdot2\cdot(-12)=121), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में (D=121) धनात्मक पूर्ण वर्ग भी है। / Here (D=52-4\cdot2\cdot(-12)=121), so there are two distinct real roots. In exams, (D=121) is also a positive perfect square.
(D>0) होने पर मूल बराबर नहीं, बल्कि भिन्न वास्तविक होते हैं। परीक्षा में बराबर मूल केवल (D=0) पर आते हैं। / When (D>0), roots are not equal; they are distinct real roots. In exams, equal roots occur only when (D=0).
\(b^2-4ac<0\) होने पर विविक्तकर ऋणात्मक होता है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं होते। परीक्षा में यह मूलों की प्रकृति का मानक नियम है। / When \(b^2-4ac<0\), the discriminant is negative, so real roots do not exist. In exams, this is the standard rule for nature of roots.
यहां (D=(-5)2-4\cdot1\cdot4=9), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में (D>0) का अर्थ (x)-अक्ष को दो कटाव है। / Here (D=(-5)2-4\cdot1\cdot4=9), so there are two distinct real roots. In exams, (D>0) means two cuts with the (x)-axis.
यहां (D=(-6)2-4\cdot1\cdot9=0), इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को एक बार स्पर्श करता है। परीक्षा में (D=0) tangency दिखाता है। / Here (D=(-6)2-4\cdot1\cdot9=0), so the graph touches the (x)-axis once. In exams, (D=0) indicates tangency.
यहां \(D=4^2-4\cdot1\cdot8=-16\), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं है। / Here \(D=4^2-4\cdot1\cdot8=-16\), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no cut with the (x)-axis.
(D=-5) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं होंगे। परीक्षा में (D<0) को complex roots से भी जोड़ा जा सकता है। / (D=-5) is negative, so there will be no real roots. In exams, (D<0) may also be linked with complex roots.
बराबर मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((2s)2-4s=0) से (4s(s-1)=0)। (s=0) द्विघात नहीं बनाता, इसलिए (s=1)। / For equal roots, (D=0), so ((2s)2-4s=0) gives (4s(s-1)=0). (s=0) does not make a quadratic, so (s=1).
दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए (D>0), अतः (16-8n>0) से (n<2)। परीक्षा में coefficient (a) को (4ac) में शामिल करना न भूलें। / For real and distinct roots, (D>0), so (16-8n>0) gives (n<2). In exams, do not forget coefficient (a) in (4ac).
यहां (D=(-3)2-4\cdot10\cdot2=-71), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में छोटे \(b^2\) और बड़े (4ac) से (D<0) हो सकता है। / Here (D=(-3)2-4\cdot10\cdot2=-71), so it has no real roots. In exams, small \(b^2\) and large (4ac) can make (D<0).
यहां \(D=20^2-4\cdot5\cdot20=0\), इसलिए मूल बराबर वास्तविक हैं। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड हटाने पर भी प्रकृति नहीं बदलती। / Here \(D=20^2-4\cdot5\cdot20=0\), so the roots are equal and real. In exams, removing a common factor does not change the nature.
