Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो निर्धारित पुस्तकें सिरों पर (2!) तरीकों से और शेष (4) पुस्तकें (4!) तरीकों से लगेंगी। पहले सबसे अधिक प्रतिबंधित स्थान भरें। / The two specified books occupy the ends in (2!) ways, and the remaining (4) books in (4!) ways. Fill the most restricted places first.
पहले लड़कों को (5!) तरीकों से बैठाएं और (6) खाली स्थानों में से (4) पर लड़कियां \(^{6}P_{4}\) तरीकों से बैठेंगी। अंतराल विधि ऐसे प्रश्नों में सबसे सुरक्षित है। / Arrange the boys in (5!) ways, then place the girls in \(^{6}P_{4}\) ways in (4) of the (6) gaps. The gap method is safest for such questions.
कुल (9) अक्षरों में (M,T,E) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (9!/(2!2!2!)) है। कठिन शब्दों में अक्षरों की गिनती पहले लिखें। / There are (9) letters with (M,T,E) each repeated twice, so the count is (9!/(2!2!2!)). For difficult words, list letter counts first.
अंतिम अंक (2,4,6) में से (3) तरीकों से होगा और शेष चार स्थान \(^{6}P_{4}\) तरीकों से भरेंगे। सम संख्या में इकाई अंक पहले तय करें। / The last digit can be (2,4,6) in (3) ways, and the remaining four places in \(^{6}P_{4}\) ways. For even numbers, fix the unit digit first.
(T) और (E) की जगहों के (4) संभावित जोड़े हैं और क्रम (2) तरीके से होगा, बाकी (6!) हैं। स्थान-आधारित प्रश्नों में पहले निश्चित स्थान चुनें। / There are (4) possible position pairs for (T) and (E), with (2) orders, and the remaining (6!) arrangements. In position-based questions, choose fixed positions first.
दो लोगों को एक खंड मानकर (7) इकाइयों की गोल व्यवस्था (6!) और भीतर (2!) तरीके हैं। गोल व्यवस्था में घूर्णन को स्थिर मानें। / Treat the two people as one block, so (7) units have circular arrangements (6!), with (2!) internal ways. In circular arrangements, rotations are identical.
कुल (7!) में से साथ बैठने वाली \(2\cdot 6!\) व्यवस्थाएं घटाएं। निषेध वाले प्रश्नों में कुल से खराब व्यवस्थाएं घटाना आसान होता है। / Subtract the together cases \(2\cdot 6!\) from the total (7!). For restriction questions, subtracting bad cases is often easier.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा और पहले अंक के शून्य होने की स्थिति अलग गिननी होगी। ऐसे प्रश्नों में अंतिम अंक से केस बनाएं। / The last digit must be (0) or (5), and the leading zero case must be counted separately. For such questions, start with the unit digit.
कुल (6) अक्षरों में (S) चार बार है, इसलिए संख्या (6!/4!) है। परीक्षा में समान अक्षरों से भाग देना न भूलें। / There are (6) letters with (S) repeated four times, so the number is (6!/4!). In exams, do not forget to divide by repeated letters.
स्वरों को एक खंड मानने पर (5!) व्यवस्थाएं और भीतर (3!/2!) व्यवस्थाएं मिलती हैं। परीक्षा में समान अक्षरों की पुनरावृत्ति जरूर जांचें। / Treat the vowels as one block, giving (5!) arrangements and (3!/2!) internal arrangements. In exams, always check repeated letters.
(8) अलग-अलग व्यक्तियों की पंक्ति व्यवस्था में पहला विशेष व्यक्ति दूसरे विशेष व्यक्ति से पहले और तीसरा विशेष व्यक्ति चौथे विशेष व्यक्ति से पहले हो, तो कितनी व्यवस्थाएं होंगी?
कुल (8!) व्यवस्थाओं में दोनों स्वतंत्र order conditions आधी-आधी व्यवस्थाएं रखती हैं। इसलिए उत्तर \(\frac{8!}{2\cdot2}=10080\) है। / Out of total (8!) arrangements, each independent order condition keeps half the arrangements. Hence the answer is \(\frac{8!}{2\cdot2}=10080\).
पहले अंक के लिए (5) विषम विकल्प और अंतिम अंक के लिए (5) सम विकल्प हैं। बीच के (4) स्थान (8) अंकों से \(^{8}P_4\) तरीकों से भरेंगे, कुल \(5\cdot5\cdot1680=42000\) है। / There are (5) odd choices for the first digit and (5) even choices for the last digit. The middle (4) places are filled from (8) digits in \(^{8}P_4\) ways, giving \(5\cdot5\cdot1680=42000\).
कुल गोल व्यवस्थाएं (7!) हैं। विशेष वस्तु के दोनों पड़ोसी वे दो दी गई वस्तुएं हों तो उन्हें विशेष वस्तु के पास (2!) तरीकों से रखकर बाकी (5!) तरीके मिलते हैं। उत्तर (5040-240=4800) है। / Total circular arrangements are (7!). If the particular object has the two given objects as neighbours, they can be placed around it in (2!) ways and the rest in (5!) ways. The answer is (5040-240=4800).
चार (S) को एक ब्लॉक मानें, तो (8) इकाइयों में (I) चार और (P) दो बार हैं। संख्या \(\frac{8!}{4!2!}=840\) है। / Treat the four (S)'s as one block, giving (8) units with (I) four times and (P) twice. The number is \(\frac{8!}{4!2!}=840\).
गलत होने वाले (2) पत्र \(\binom{7}{2}\) तरीकों से चुने जाते हैं और वे derange होकर केवल (1) तरीके से बदलते हैं। उत्तर (21) है। / Choose the (2) incorrect letters in \(\binom{7}{2}\) ways, and they derange in only (1) way. The answer is (21).
कुल (9!) में से तीनों विशेष पुस्तकों के साथ वाले \(7!\cdot3!\) cases घटाएं। उत्तर (362880-30240=332640) है। / Subtract cases where the three particular books are together, \(7!\cdot3!\), from total (9!). The answer is (362880-30240=332640).
(1) और (8) को ब्लॉक मानें और बाकी (3) अंक (6) में से चुनें। कुल \(\binom{6}{3}\cdot4!\cdot2!=960\) है। / Treat (1) and (8) as a block and choose the other (3) digits from (6). The total is \(\binom{6}{3}\cdot4!\cdot2!=960\).
विशेष छात्र के लिए अंतिम (3) positions हैं और बाकी (3) positions (7) छात्रों से \(^{7}P_3\) तरीकों से भरते हैं। कुल \(3\cdot210=630\) है। / The particular student has (3) non-first positions, and the other (3) positions are filled from (7) students in \(^{7}P_3\) ways. The total is \(3\cdot210=630\).
हर जोड़े को एक ब्लॉक मानें, तो (4) ब्लॉकों की गोल व्यवस्था ((4-1)!) है और अंदर ((2!)4) तरीके हैं। कुल (96) है। / Treat each couple as one block, so (4) blocks have ((4-1)!) circular arrangements and ((2!)4) internal ways. The total is (96).
हजार स्थान पर (1,2,3) के (3) विकल्प हैं और बाकी (3) स्थान \(8\cdot7\cdot6\) तरीकों से भरेंगे। कुल (1008) है। / The thousands place has (3) choices (1,2,3), and the remaining (3) places have \(8\cdot7\cdot6\) ways. The total is (1008).
तीन वस्तुओं को fixed-order ब्लॉक मानें, तब (7) इकाइयां बनती हैं। इसलिए (7!=5040) व्यवस्थाएं होंगी। / Treat the three objects as a fixed-order block, giving (7) units. Hence there are (7!=5040) arrangements.
दो कुर्सियां खाली निश्चित हैं, इसलिए (6) व्यक्तियों को बाकी (6) कुर्सियों पर (6!) तरीकों से बैठाएं। उत्तर (720) है। / The two empty chairs are fixed, so seat (6) persons on the remaining (6) chairs in (6!) ways. The answer is (720).
(12) अक्षरों में (E) चार, (N) तीन और (D) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\) है। / There are (12) letters with (E) four times, (N) three times and (D) twice. Hence \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\).
दो विशेष पुस्तकों में से एक \(\binom{2}{1}\) तरीकों से और बाकी (4) पुस्तकें (6) में से चुनें। फिर (5!) से सजाएं, कुल \(2\cdot\binom{6}{4}\cdot5!=3600\) है। / Choose exactly one of the two particular books in \(\binom{2}{1}\) ways and the other (4) books from (6). Then arrange (5!) ways, giving \(2\cdot\binom{6}{4}\cdot5!=3600\).
पहला अंक (3) निश्चित है और अंतिम स्थान के लिए (4) सम विकल्प हैं। बीच के (3) स्थान \(7\cdot6\cdot5\) तरीकों से भरेंगे, कुल (840) है। / The first digit is fixed as (3), and the last place has (4) even choices. The middle (3) places are filled in \(7\cdot6\cdot5\) ways, giving (840).
कुल \(^{10}P_4\) में से विशेष छात्र के सचिव बनने वाली \(^{9}P_3\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (5040-504=4536) है। / Subtract the cases where the particular student is secretary, \(^{9}P_3\), from total \(^{10}P_4\). The answer is (5040-504=4536).
(8) अक्षरों में (S) चार और (A) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{8!}{4!2!}=840\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (8) letters with (S) four times and (A) twice. Hence \(\frac{8!}{4!2!}=840\) arrangements are possible.
तीन विशेष लोगों को एक ब्लॉक मानें, तो (5) इकाइयों की गोल व्यवस्था ((5-1)!) है और अंदर (3!) तरीके हैं। कुल \(24\cdot6=144\) है। / Treat the three particular people as one block, giving (5) units around a circle with ((5-1)!) arrangements and (3!) internal ways. The total is \(24\cdot6=144\).
अंतिम स्थान पर (1,3,5,7) के (4) विकल्प हैं और पहला स्थान (0) नहीं हो सकता। कुल \(4\cdot7\cdot{}^{7}P_3=5880\) है। / There are (4) choices (1,3,5,7) for the last place, and the first place cannot be (0). The total is \(4\cdot7\cdot{}^{7}P_3=5880\).
दो विशेष वस्तुओं के स्थानों में (4) का अंतर होना चाहिए, ऐसे (4) position-pairs हैं और order (2!) है। बाकी (6!) तरीकों से सजेंगे, कुल \(4\cdot2!\cdot6!=5760\) है। / The two particular objects must have positions differing by (4), giving (4) position-pairs and (2!) orders. The remaining objects arrange in (6!) ways, so the total is \(4\cdot2!\cdot6!=5760\).
