Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(11) अक्षरों में (I,N,A) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (11!/(2!2!2!)) है। बड़े शब्दों में दोहराए अक्षर अलग से नोट करें। / There are (11) letters with (I,N,A) each repeated twice, so the count is (11!/(2!2!2!)). In long words, note repeated letters separately.
(4) उंगलियों के लिए (6) अंगूठियों में से क्रम सहित चयन \(^{6}P_{4}\) है। अलग स्थानों पर वस्तु रखना क्रम सहित चयन होता है। / For (4) fingers, choose and assign rings in \(^{6}P_{4}\) ways. Placing objects in distinct positions is an ordered selection.
पहला (6) होने पर \(^{6}P_{4}\), अंतिम (6) होने पर अग्र शून्य घटाकर \(5\cdot ^{5}P_{3}\), और दोनों स्थिति का प्रतिच्छेद घटता है। 'या' में समावेशन-बहिष्करण लगाएं। / If first is (6), count \(^{6}P_{4}\); if last is (6), subtract leading-zero cases from choices; then subtract the intersection. Use inclusion-exclusion for 'or'.
(A,B) के स्थानों के (4) जोड़े और (2) क्रम हैं, फिर शेष (5!) तरीके हैं। निश्चित दूरी में स्थान-जोड़े गिनें। / There are (4) position pairs for (A,B) and (2) orders, then (5!) ways for the rest. For a fixed gap, count position pairs.
(8) अक्षरों में (C,L,U) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (8!/(2!2!2!)) है। आवृत्तियों को पहचानना मुख्य कदम है। / There are (8) letters with (C,L,U) each repeated twice, so the count is (8!/(2!2!2!)). Identifying repetitions is the key step.
कुल गोल व्यवस्थाएं (7!) हैं और साथ वाली \(2\cdot 6!\) हैं, इसलिए घटाने पर (3600) मिलता है। गोल व्यवस्था में कुल ((n-1)!) से शुरू करें। / Total circular arrangements are (7!), and adjacent cases are \(2\cdot 6!\), so subtraction gives (3600). In circular arrangements, start with ((n-1)!).
हर स्थान पर छोटे उपलब्ध अक्षरों से शुरू होने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर (1) जोड़ने पर रैंक (84) मिलती है। रैंक में शुरुआत से अंत तक स्थानवार गिनें। / Adding arrangements starting with smaller available letters at each position and then adding (1) gives rank (84). In rank problems, count position by position.
यह (9) में से (4) पुस्तकों का क्रम सहित चयन है, इसलिए \(^{9}P_{4}\) होगा। शेल्फ पर लगाने में क्रम जरूरी है। / This is an ordered selection of (4) books from (9), so the number is \(^{9}P_{4}\). Arrangement on a shelf requires order.
(1) और (2) को खंड मानकर (5!) व्यवस्थाएं और खंड के भीतर (2!) क्रम हैं। साथ वाले अंकों में खंड विधि सीधी होती है। / Treat (1) and (2) as a block, giving (5!) arrangements and (2!) internal orders. For adjacent digits, the block method is direct.
(N) और (R) सिरों पर (2!) तरीकों से होंगे और शेष (4) अक्षर (4!) तरीकों से। सिरों पर शर्त हो तो पहले सिरों को भरें। / (N) and (R) can occupy the ends in (2!) ways, and the remaining (4) letters in (4!) ways. With end restrictions, fill the ends first.
पहले (5) व्यक्तियों को क्रम सहित चुनना है, इसलिए \(^{8}P_{5}\) होगा। बैठाने में चयन और क्रम दोनों शामिल हैं। / We must choose and arrange (5) persons, so the number is \(^{8}P_{5}\). Seating includes both selection and order.
पुरस्कार अलग-अलग हैं, इसलिए \(^{6}P_{3}\) तरीके होंगे। अलग पुरस्कारों में क्रम का महत्व होता है। / The prizes are distinct, so the number of ways is \(^{6}P_{3}\). For different prizes, order matters.
(10) अक्षरों में (S) तीन बार, (T) तीन बार और (I) दो बार है, इसलिए संख्या (10!/(3!3!2!)) है। बड़े शब्दों में आवृत्ति तालिका बनाएं। / There are (10) letters with (S) three times, (T) three times and (I) twice, so the count is (10!/(3!3!2!)). For long words, make a frequency table.
अंतिम अंक (1,3,5) में से (3) तरीकों से होगा; पहले स्थान के लिए शून्य को छोड़कर (4) विकल्प और बाकी \(4\cdot 3\) हैं। विषम संख्या में इकाई अंक पहले तय करें। / The last digit can be (1,3,5) in (3) ways; the first place then has (4) nonzero choices, followed by \(4\cdot 3\). For odd numbers, fix the unit digit first.
कुल (7!) में से विशेष झंडे के ऊपर होने पर (6!) व्यवस्थाएं घटाएं। निषेध वाली एक जगह हो तो घटाने की विधि तेज होती है। / Subtract the (6!) arrangements where the specified flag is at the top from the total (7!). For one forbidden position, subtraction is quick.
कुल (6!/2!) में से (O) साथ वाली (5!) व्यवस्थाएं घटाएं। न-साथ वाली शर्त में कुल से साथ वाली व्यवस्थाएं घटाएं। / Subtract the together cases (5!) from the total (6!/2!). For not-together conditions, subtract together arrangements from total.
(5) अलग वस्तुओं के क्रम (5!) होते हैं। केवल क्रम पूछा हो तो सीधा फैक्टोरियल लगाएं। / The orders of (5) distinct objects are (5!). When only order is asked, apply factorial directly.
कुल (7!) व्यवस्थाओं में (E,E,U) के प्रभाव से भिन्न व्यवस्थाएं (7!/2!) हैं और स्वरों के क्रमों में केवल एक क्रम मान्य है। समान स्वरों सहित क्रम-शर्त सावधानी से गिनें। / The total distinct arrangements are (7!/2!), and among the possible vowel orders only one valid alphabetical order is allowed. Count order restrictions carefully when vowels repeat.
बैठने की दो रूपरेखाएं संभव हैं और हर रूपरेखा में पुरुष (6!) तथा महिलाएं (6!) तरीकों से बैठते हैं। समान संख्या में वैकल्पिक बैठाने पर दो पैटर्न याद रखें। / There are two possible patterns, and in each pattern men arrange in (6!) ways and women in (6!) ways. For equal alternate seating, remember the two patterns.
हजार का अंक (4,5,6,7,8) में से होगा और बाकी (3) स्थान \(^{7}P_{3}\) तरीकों से भरेंगे। तुलना वाले प्रश्नों में पहले पहला अंक तय करें। / The thousands digit can be (4,5,6,7,8), and the remaining (3) places are filled in \(^{7}P_{3}\) ways. In comparison questions, fix the first digit first.
दोनों (L) को एक खंड मानने पर (6) इकाइयां हैं और (O) दो बार है, इसलिए (6!/2!) है। साथ वाली शर्त में खंड विधि लगाएं। / Treat the two (L)'s as one block, giving (6) units with (O) repeated twice, so the count is (6!/2!). Use the block method for together conditions.
(7) अक्षरों में (L) और (O) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (7!/(2!2!)) है। समान अक्षर हर बार अलग वस्तु नहीं माने जाते। / There are (7) letters with (L) and (O) each repeated twice, so the count is (7!/(2!2!)). Repeated letters are not treated as distinct objects.
पद अलग-अलग हैं, इसलिए \(^{8}P_{3}\) तरीके होंगे। अलग पदों का चयन क्रम सहित होता है। / The posts are distinct, so the number of ways is \(^{8}P_{3}\). Choosing distinct posts is an ordered selection.
यह क्रम सहित चयन है, इसलिए \(^{10}P_{3}=10\cdot 9\cdot 8\) होगा। स्थानों की रैंकिंग हो तो क्रम महत्वपूर्ण होता है। / This is ordered selection, so \(^{10}P_{3}=10\cdot 9\cdot 8\). When positions are ranked, order matters.
यह (4) वस्तुओं का पूर्ण विस्थापन है और मान (9) होता है। ऐसे प्रश्नों में विस्थापन सूत्र या छोटी सूची काम आती है। / This is the derangement of (4) objects, whose value is (9). For such questions, use the derangement formula or a small listing.
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से शुरू होने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक प्रश्नों में अक्षरों को पहले वर्णक्रम में लिखें। / Add arrangements beginning with smaller available letters at each position, then add (1). In rank questions, write the letters in alphabetical order first.
माला में संख्या ((9-1)!/2) होती है क्योंकि घूर्णन और प्रतिबिंब दोनों समान माने जाते हैं। गोल मेज और माला के अंतर को याद रखें। / For a necklace, the count is ((9-1)!/2) because both rotation and reflection are identical. Remember the difference between circular seating and necklaces.
अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए; मान्य (5)-अंकीय समूहों की व्यवस्थाओं में अग्र शून्य घटाएं। पहले अंकों के समूह चुनना उपयोगी है। / The digit sum must be divisible by (3); arrange valid (5)-digit sets and subtract leading-zero arrangements. Choosing digit sets first is useful.
(8) स्थानों में (4) विषम स्थान हैं और (4) स्वर उन्हीं में (4!) तरीकों से आएंगे, व्यंजन भी (4!) तरीकों से। स्थान की समान संख्या दिखे तो सीधे अलग-अलग व्यवस्थित करें। / There are (4) odd positions among (8), and the (4) vowels occupy them in (4!) ways, while consonants also arrange in (4!) ways. When counts match, arrange groups separately.
कुल (6!) व्यवस्थाओं में (A) और (B) के दोनों क्रम बराबर हैं, इसलिए आधी व्यवस्थाएं सही हैं। क्रम-शर्त में सममिति से समय बचता है। / In the total (6!) arrangements, the two orders of (A) and (B) are equally likely, so half are valid. Symmetry saves time in order-condition questions.
