Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) को स्थिर करने पर (B) का विपरीत स्थान निश्चित हो जाता है और शेष (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। आमने-सामने में पहले एक व्यक्ति स्थिर करें। / Fix (A), then the opposite place for (B) is fixed, and the remaining (6) people arrange in (6!) ways. For opposite seating, fix one person first.
पहला अंक (1,2,3) होना चाहिए और अंतिम अंक विषम होना चाहिए, इसलिए केस बनते हैं। सीमा और विषमता दोनों को साथ गिनें। / The first digit must be (1,2,3), and the last digit must be odd, so cases are needed. Count the bound and oddness together.
(A,B) के स्थानों की दूरी कम से कम (4) होनी चाहिए, ऐसे (10) स्थान-जोड़े हैं और क्रम (2) तरीके से होगा। बाकी (6!) लोग व्यवस्थित होंगे। / The positions of (A,B) must differ by at least (4), giving (10) position pairs and (2) orders. The remaining (6!) people are arranged afterward.
दोनों (P) को एक खंड मानने पर (10) इकाइयां बनती हैं, जिनमें (I) और (S) चार-चार बार हैं। इसलिए संख्या (10!/(4!4!)) है। / Treat both (P)'s as one block, giving (10) units with (I) and (S) each repeated four times. Hence the count is (10!/(4!4!)).
इसमें (I) चार बार, (S) चार बार और (P) दो बार है, इसलिए संख्या (11!/(4!4!2!)) है। लंबा शब्द हो तो आवृत्ति तालिका बनाएं। / It has (I) four times, (S) four times and (P) twice, so the count is (11!/(4!4!2!)). For long words, make a frequency table.
अंतिम दो अंक (25,50,75) हो सकते हैं और अग्र शून्य की स्थिति अलग हटानी होगी। (25) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक पहले जांचें। / The last two digits can be (25,50,75), and leading-zero cases must be removed separately. For divisibility by (25), check the last two digits first.
कुल (8!) व्यवस्थाओं में (4) व्यंजनों के (4!) सापेक्ष क्रम बराबर हैं, इसलिए (8!/4!) है। मूल क्रम वाली शर्त में सापेक्ष क्रमों से भाग दें। / In the total (8!) arrangements, the (4!) relative orders of consonants are equally likely, so the count is (8!/4!). For original-order conditions, divide by relative orders.
हर जोड़े को एक खंड मानकर (6) खंडों की गोल व्यवस्था (5!) और हर खंड के भीतर (2) तरीके हैं। जोड़ों वाले प्रश्नों में \(2^n\) अंदरूनी क्रम याद रखें। / Treat each couple as one block, so (6) blocks have (5!) circular arrangements and each block has (2) internal ways. For couple problems, remember the \(2^n\) internal orders.
दो पैटर्न संभव हैं और प्रत्येक में लड़के (5!) तथा लड़कियां (5!) तरीकों से बैठते हैं। बराबर संख्या में वैकल्पिक बैठाने पर दो शुरुआतें होती हैं। / There are two possible patterns, and in each pattern boys arrange in (5!) ways and girls in (5!) ways. With equal numbers, alternate seating has two starts.
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में दोहराए अक्षरों की गिनती सावधानी से करें। / Add arrangements formed by smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, handle repeated letters carefully.
(A,B,C) के (3!) सापेक्ष क्रमों में केवल एक क्रम मान्य है, इसलिए (10!/3!) होगा। सापेक्ष क्रम में कुल क्रमों से भाग दें। / Among the (3!) relative orders of (A,B,C), only one is valid, so the count is (10!/3!). For relative order, divide by the number of possible orders.
(6) अलग अक्षरों और (10) अंकों से (4) अक्षर के बाद (3) अंक वाला कोड बनाना है। यदि अक्षर और अंक दोहराए नहीं जाते और अंतिम अंक सम है, तो कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(^{6}P_4\) और अंकों में अंतिम सम होने पर \(5\cdot 9\cdot 8\) तरीके मिलते हैं। कोड में अलग-अलग भागों को अलग गिनें। / Letters can be arranged in \(^{6}P_4\) ways, and digits with an even last digit in \(5\cdot 9\cdot 8\) ways. Count different parts of a code separately.
कुल (7!) व्यवस्थाओं में दोनों स्वतंत्र क्रम-शर्तों के कारण (4) से भाग देंगे। ऐसी शर्तों में सममिति से तेज उत्तर मिलता है। / In the total (7!) arrangements, divide by (4) because of two independent order conditions. Symmetry gives a quick answer in such problems.
कुल (8!) में से तीनों साथ वाली \(6!\cdot 3!\) व्यवस्थाएं घटती हैं। न-एक-साथ में कुल से खराब केस घटाएं। / Subtract the cases where all three are together, \(6!\cdot 3!\), from the total (8!). For not-all-together conditions, subtract bad cases from total.
स्वर-खंड के भीतर (4!/3!) और बाहर (5!/2!) व्यवस्थाएं होंगी। दोहराव और खंड दोनों को साथ संभालें। / Inside the vowel block there are (4!/3!) arrangements, and outside there are (5!/2!) arrangements. Handle repetition and blocks together.
इसमें (E) तीन बार और (N) दो बार है, इसलिए संख्या (8!/(3!2!)) है। दोहराए अक्षरों से हमेशा भाग दें। / Here (E) is repeated three times and (N) twice, so the count is (8!/(3!2!)). Always divide by repeated letters.
तीन व्यक्तियों को एक खंड मानने पर (7) इकाइयों की गोल व्यवस्था (6!) है और भीतर (3!) तरीके हैं। गोल व्यवस्था में घूर्णन को समान मानें। / Treat the three people as one block, so (7) units have (6!) circular arrangements and (3!) internal ways. In circular arrangements, rotations are identical.
पहला अंक (5,6,7,8) में से और अंतिम अंक सम होना चाहिए, इसलिए केस बनाकर गिनती करें। ऐसे प्रश्नों में पहला और अंतिम स्थान पहले तय करें। / The first digit must be one of (5,6,7,8), and the last digit must be even, so count by cases. In such problems, fix the first and last positions first.
कुल व्यवस्थाएं (7!/(3!2!)) हैं और स्वर साथ होने पर (120) व्यवस्थाएं हैं। न-साथ के लिए कुल में से साथ वाली गिनती घटाएं। / The total arrangements are (7!/(3!2!)), and vowel-together cases are (120). For not-together cases, subtract together cases from total.
स्वरों (A,I) को एक खंड मानने पर \(5!\cdot 2!\) व्यवस्थाएं मिलती हैं। साथ वाली शर्त में खंड विधि सबसे उपयोगी है। / Treat vowels (A,I) as one block, giving \(5!\cdot 2!\) arrangements. For together conditions, the block method is most useful.
कुल (6!) में से उस व्यक्ति के निश्चित कुर्सी पर बैठने की (5!) व्यवस्थाएं घटती हैं। एक निषिद्ध स्थान हो तो कुल से अनुकूल-नहीं घटाएं। / Subtract the (5!) arrangements where that person sits on the fixed chair from the total (6!). With one forbidden seat, subtract the invalid cases from total.
(1,2) के साथ शेष (7) अंकों में से (3) चुनकर (5!) तरीकों से व्यवस्थित करें। अनिवार्य वस्तुओं को पहले शामिल मानकर बाकी चुनें। / Include (1,2), choose (3) more digits from the remaining (7), then arrange the (5) digits in (5!) ways. For compulsory objects, include them first and choose the rest.
चार व्यंजन (4!) तरीकों से बैठते हैं और (5) अंतरालों में (2) स्वरों को \(^{5}P_{2}\) तरीकों से रखा जाता है। न-साथ स्वर में अंतराल विधि लगाएं। / Arrange the four consonants in (4!) ways and place the two vowels in \(^{5}P_{2}\) ways in the gaps. Use the gap method for non-adjacent vowels.
पहले (5) सामान्य विद्यार्थियों में से सिरों पर \(^{5}P_{2}\) तरीके और बीच के (5) स्थानों पर बाकी (5!) तरीके हैं। सिरों से जुड़ी शर्तों में पहले सिरों को भरना आसान है। / First fill the two ends with ordinary students in \(^{5}P_{2}\) ways, then arrange the remaining (5) students in the middle (5) places. For end restrictions, fill the ends first.
(P) पहले निश्चित है; शेष (5!) में से (L) अंतिम होने वाली (4!) व्यवस्थाएं घटाएं। मिश्रित शर्तों में पहले निश्चित शर्त लगाएं। / With (P) fixed first, subtract the (4!) arrangements where (L) is last from the remaining (5!). In mixed conditions, apply fixed conditions first.
चयन और क्रम दोनों हैं, इसलिए \(^{9}P_{4}\) होगा। केवल चयन नहीं, क्रम भी हो तो संयोजन नहीं लगाना चाहिए। / Both selection and order are involved, so the count is \(^{9}P_{4}\). When order matters, do not use combination.
यह (5) में से (3) का क्रम सहित चयन है, इसलिए \(^{5}P_{3}\) होगा। बिना पुनरावृत्ति और क्रम हो तो क्रमचय लगाएं। / This is an ordered selection of (3) from (5), so it is \(^{5}P_{3}\). When there is no repetition and order matters, use permutation.
दो विशेष चित्र बीच के (2) स्थानों पर (2!) तरीकों से और बाकी (4) चित्र (4!) तरीकों से लगेंगे। प्रतिबंधित स्थान पहले भरें। / The two specified pictures occupy the two middle positions in (2!) ways, and the remaining (4) pictures in (4!) ways. Fill restricted positions first.
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता तय होती है; मान्य क्रमित अंतिम जोड़ों की संख्या (15) है और पहले दो स्थान \(^{5}P_{2}\) तरीकों से भरते हैं। (4) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक जांचें। / Divisibility by (4) depends on the last two digits; there are (15) valid ordered ending pairs and the first two places fill in \(^{5}P_{2}\) ways. For divisibility by (4), check the last two digits.
तीन महिलाओं को एक खंड मानकर (6) इकाइयों की गोल व्यवस्था (5!) है और महिलाओं के भीतर (3!) तरीके हैं। गोल खंड विधि में इकाइयों की संख्या ध्यान से लें। / Treat the three women as one block, so (6) units have (5!) circular arrangements and the women have (3!) internal ways. In circular block problems, count units carefully.
