Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी भी (5) चुने हुए अंकों की घटते क्रम में केवल एक व्यवस्था होती है और पहला अंक शून्य नहीं होगा। इसलिए (10) अंकों में से (5) चुनें। / Any chosen set of (5) digits has only one decreasing arrangement, and the first digit will not be zero. So choose (5) digits from (10).
पहले व्यंजन (7!/(2!2!)) तरीकों से रखें, फिर (8) अंतरालों में (4) स्वर चुनकर (4!/(2!2!)) तरीकों से सजाएं। न-साथ स्वर में अंतराल विधि लगाएं। / Arrange consonants in (7!/(2!2!)) ways, then choose (4) of the (8) gaps and arrange vowels in (4!/(2!2!)) ways. Use the gap method for non-adjacent vowels.
सम और विषम अंकों के समूह चुनकर (7!) व्यवस्थाएं गिनें, फिर अग्र शून्य वाले केस घटाएं। शून्य शामिल हो तो पहला स्थान सावधानी से देखें। / Choose the even and odd digit groups and count (7!) arrangements, then subtract leading-zero cases. When (0) is included, handle the first digit carefully.
सही कार्य पाने वाले को (8) तरीकों से चुनें और बाकी (7) का पूर्ण विस्थापन \(D_7=1854\) है। ठीक एक सही का मतलब बाकी सभी गलत होंगे। / Choose the correctly assigned person in (8) ways, and derange the remaining (7) people with \(D_7=1854\). Exactly one correct means all others are wrong.
पहले (6) सफेद गेंदें रखें, उनसे (7) अंतराल बनेंगे और उनमें से (4) में काली गेंदें रखें। समान वस्तुओं में केवल स्थान-चयन करना होता है। / Place the (6) white balls first, creating (7) gaps, and choose (4) of them for black balls. With identical objects, only position selection is needed.
इसमें (N) तीन बार, (E) तीन बार और (D) दो बार है, इसलिए संख्या (11!/(3!3!2!)) है। आवृत्ति लिखकर ही सूत्र लगाएं। / It has (N) three times, (E) three times and (D) twice, so the count is (11!/(3!3!2!)). Write frequencies before applying the formula.
कुल गोल व्यवस्थाएं (8!) हैं और साथ वाली \(2\cdot 7!\) हैं, इसलिए अंतर (30240) है। गोल व्यवस्था में कुल ((n-1)!) से शुरू करें। / Total circular arrangements are (8!), and adjacent cases are \(2\cdot 7!\), so the difference is (30240). In circular arrangements, start with ((n-1)!).
व्यवस्थाओं की संख्या (12!/(4!3!2!)) होगी। समान वस्तुओं के हर समूह के फैक्टोरियल से भाग देना चाहिए। / The number of arrangements is (12!/(4!3!2!)). Divide by the factorial of each group of identical objects.
तीन विषम स्थानों के लिए (4) विषम अंकों से \(^{4}P_3\) तरीके और शेष तीन स्थानों के लिए (5) बचे अंकों से \(^{5}P_3\) तरीके हैं। स्थान-प्रतिबंध पहले लागू करें। / The three odd positions can be filled from (4) odd digits in \(^{4}P_3\) ways, and the remaining three positions from (5) remaining digits in \(^{5}P_3\) ways. Apply position restrictions first.
दो निश्चित अक्षरों को एक खंड मानें, शेष (8) में से (5) अक्षर चुनें और (6) इकाइयों को सजाएं। खंड के भीतर (2!) क्रम भी जोड़ें। / Treat the two specified letters as one block, choose (5) more letters from the remaining (8), and arrange (6) units. Include the (2!) internal orders of the block.
(C) के लिए (2) सिरे हैं और प्रत्येक में (A,B) के (8) क्रमित स्थान-जोड़े मिलते हैं, फिर बाकी (5!) तरीके हैं। पहले सिरे और दूरी तय करें। / There are (2) ends for (C), and for each, (8) ordered position pairs for (A,B), followed by (5!) arrangements. Fix the end and distance first.
तीनों (L) को एक खंड मानने पर (6) इकाइयां हैं और (A) दो बार है, इसलिए (6!/2!) है। समान अक्षरों का खंड केवल एक इकाई माना जाता है। / Treat the three (L)'s as one block, giving (6) units with (A) repeated twice, so the count is (6!/2!). A block of identical letters acts as one unit.
इसमें (A) दो बार और (L) तीन बार है, इसलिए संख्या (8!/(2!3!)) है। दोहराए अक्षरों की गिनती पहले करें। / Here (A) is repeated twice and (L) three times, so the count is (8!/(2!3!)). Count repeated letters first.
गलत जाने वाले (2) पत्र \(^{6}C_2\) तरीकों से चुनें और वे आपस में बदलेंगे। ठीक (2) गलत होने पर वही दो पत्र अदला-बदली करते हैं। / Choose the (2) wrong letters in \(^{6}C_2\) ways, and they must swap with each other. For exactly (2) wrong, those two letters interchange.
यह (5) वस्तुओं का पूर्ण विस्थापन है, जिसका मान (44) होता है। विस्थापन में कोई वस्तु अपनी सही जगह पर नहीं रहती। / This is the derangement of (5) objects, whose value is (44). In derangement, no object remains in its correct place.
हर स्थान पर छोटे उपलब्ध अक्षरों से शुरू होने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में अक्षरों को पहले वर्णक्रम में रखें। / Add arrangements starting with smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, first arrange letters alphabetically.
बढ़ते क्रम में हर चुने हुए समूह की केवल एक व्यवस्था होती है, और (0) शामिल होने पर संख्या (6)-अंकीय नहीं रहेगी। इसलिए (1) से (9) में से (6) अंक चुनें। / In increasing order, each chosen set gives only one arrangement, and including (0) would not give a (6)-digit number. So choose (6) digits from (1) to (9).
पहले पुरुषों को (6!) तरीकों से बैठाएं और (7) अंतरालों में (4) महिलाओं को \(^{7}P_4\) तरीकों से रखें। न-साथ की शर्त में अंतराल विधि लगाएं। / Arrange the men in (6!) ways and place the (4) women in \(^{7}P_4\) ways in the (7) gaps. Use the gap method for non-adjacent conditions.
(A,B,C) के सापेक्ष (6) क्रमों में (A) पहले होने के (2) क्रम हैं, इसलिए मान्य भाग (4/6) है। सापेक्ष क्रम से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Among the (6) relative orders of (A,B,C), (A) is first in (2) orders, so the valid fraction is (4/6). Relative order solves such questions quickly.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा, और (5) अंत में होने पर (0) को भीतर शामिल करना होगा। विभाज्यता और अनिवार्य अंक को अलग केस में गिनें। / The last digit is (0) or (5), and if (5) is last, (0) must be included inside. Count divisibility and compulsory digit cases separately.
कंगन में संख्या ((10-1)!/2) होती है क्योंकि घुमाना और पलटना दोनों समान हैं। कंगन और गोल व्यवस्था का अंतर याद रखें। / For a bracelet, the count is ((10-1)!/2) because both rotation and reflection are identical. Remember the difference between bracelets and circular arrangements.
चार विषम स्थानों पर चार विषम अंक (4!) तरीकों से और बाकी स्थानों पर सम अंक (4!) तरीकों से आएंगे। स्थान की प्रकृति पहले पहचानें। / The four odd digits occupy the four odd positions in (4!) ways, and even digits fill the rest in (4!) ways. Identify the type of positions first.
स्वर-खंड के भीतर (5!/(2!2!)) और बाहर (6!/2!) व्यवस्थाएं हैं। खंड बनाते समय दोहराए अक्षरों को न भूलें। / Inside the vowel block there are (5!/(2!2!)) arrangements, and outside there are (6!/2!) arrangements. Do not forget repeated letters when forming blocks.
इसमें (E,T,I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (10!/(2!2!2!)) है। हर दोहराए अक्षर के फैक्टोरियल से भाग दें। / Here (E,T,I) are each repeated twice, so the count is (10!/(2!2!2!)). Divide by the factorial of each repeated letter.
लड़कों को गोल मेज पर ((4-1)!) तरीकों से और लड़कियों को बने (4) अंतरालों में (4!) तरीकों से बैठाएं। गोल वैकल्पिक बैठाने में एक समूह पहले स्थिर करें। / Arrange the boys around the circle in ((4-1)!) ways and place the girls in the (4) gaps in (4!) ways. For circular alternate seating, fix one group first.
तीन निश्चित पुस्तकों के (3!) सापेक्ष क्रमों में केवल एक क्रम मान्य है, इसलिए (7!/3!) है। सापेक्ष क्रम की शर्त में सीधे भाग दें। / Among the (3!) relative orders of the three specified books, only one is valid, so the count is (7!/3!). For relative-order restrictions, divide directly.
स्वर-खंड के भीतर (4!/2!) और बाहर (8!/2!) व्यवस्थाएं हैं। दोहराए व्यंजन और स्वर दोनों से भाग दें। / Inside the vowel block there are (4!/2!) arrangements, and outside there are (8!/2!) arrangements. Divide for repeated consonants and vowels.
इस शब्द में (B) और (I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (11!/(2!2!)) है। दोहराए अक्षर पहचानना पहला कदम है। / Here (B) and (I) are repeated twice, so the count is (11!/(2!2!)). Identifying repeated letters is the first step.
कुल (9!) क्रमों में से लगातार आने वाले \(2\cdot 8!\) क्रम घटते हैं। न-लगातार में खंड विधि से खराब केस घटाएं। / Subtract the consecutive cases \(2\cdot 8!\) from the total (9!). For non-consecutive conditions, subtract the bad block cases.
अक्षरों के स्थान \(^{6}C_2\), अक्षर \(^{5}P_2\) और अंक \(^{7}P_4\) तरीकों से आएंगे। पहले स्थानों का प्रकार तय करना आसान होता है। / Choose letter positions in \(^{6}C_2\) ways, letters in \(^{5}P_2\) ways and digits in \(^{7}P_4\) ways. It is easier to decide position types first.
