Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) को स्थिर करने पर (B) और (C) के लिए दो बराबर दूरी वाले स्थान बचते हैं और वे (2!) तरीकों से बदल सकते हैं। बाकी (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। / Fix (A); then (B) and (C) occupy the two equally spaced positions in (2!) ways. The remaining (6) people sit in (6!) ways.
(9) स्थानों में (5) विषम स्थान हैं, जिनमें (3) स्वर \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) तरीकों से बैठेंगे और व्यंजन (6!/2!) तरीकों से। स्थान-प्रकार पहले तय करें। / There are (5) odd positions among (9); place the (3) vowels in \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) ways and consonants in (6!/2!) ways. Decide position types first.
पहले (0) और (9) दोनों शामिल वाली व्यवस्थाएं गिनें और फिर उनके साथ वाली व्यवस्थाएं घटाएं। शून्य शामिल हो तो अग्र स्थान की सावधानी जरूरी है। / First count arrangements containing both (0) and (9), then subtract cases where they are adjacent. When (0) is included, handle the leading position carefully.
चार विशेष व्यक्तियों को निश्चित क्रम वाले एक खंड के रूप में मानें, तब कुल (9) इकाइयां (9!) तरीकों से सजती हैं। निश्चित अंदरूनी क्रम हो तो अतिरिक्त (4!) नहीं लगेगा। / Treat the four specified people as one block with fixed internal order, so (9) units arrange in (9!) ways. If internal order is prescribed, do not multiply by (4!).
(S,Q) के लिए दूरी (5) वाले (3) स्थान-जोड़े और (2) क्रम हैं, शेष (6) स्थान (6!/3!) तरीकों से भरते हैं। दूरी वाले प्रश्न में स्थान-जोड़े पहले गिनें। / There are (3) position pairs at distance (5) for (S,Q), with (2) orders, and the remaining (6) places fill in (6!/3!) ways. For gap-distance questions, count position pairs first.
पहले गैर-(T) अक्षरों को (6!/2!) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (3) में (T) रखें। समान (T) होने के कारण केवल अंतराल चुनें। / Arrange non-(T) letters in (6!/2!) ways and choose (3) of the (7) gaps for the (T)'s. Since the (T)'s are identical, only choose gaps.
(7) अलग अक्षरों और (10) अंकों से (3) अक्षर के बाद (3) अंक वाला कोड बनता है। अक्षर दोहराए नहीं जाते और अंकों में ठीक एक अंक दो बार आता है। कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(^{7}P_3\) तरीके हैं और अंक भाग में दोहराया अंक (10), दूसरा अंक (9) और स्थान (3) तरीकों से चुनते हैं। कोड के भाग अलग-अलग गिनें। / The letter part has \(^{7}P_3\) ways, and in the digit part choose the repeated digit in (10) ways, the other digit in (9) ways and its position in (3) ways. Count code parts separately.
एक पुस्तक को स्थिर करें तो दूसरी के लिए (5) में से (1) विपरीत स्थान निषिद्ध है और बाकी (4!) तरीके हैं। आमने-सामने वाली शर्त में एक वस्तु स्थिर करें। / Fix one book; for the other, (1) of the (5) positions is forbidden, and the remaining books arrange in (4!) ways. For opposite-position restrictions, fix one object.
पहले लड़कों को गोल मेज पर (6!) तरीकों से बैठाएं और बने (7) अंतरालों में (5) लड़कियां \(^{7}P_5\) तरीकों से बैठेंगी। गोल अंतराल में पहले एक समूह व्यवस्थित करें। / Arrange the boys around the circle in (6!) ways and place (5) girls in the (7) gaps in \(^{7}P_5\) ways. For circular gaps, arrange one group first.
संख्या सम होनी चाहिए और अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए। (6) से विभाज्यता में (2) और (3) दोनों नियम साथ लगते हैं। / The number must be even and its digit sum must be divisible by (3). Divisibility by (6) needs both the (2) and (3) tests.
कुल (8!/2!) व्यवस्थाओं में से (A) साथ वाली (7!) व्यवस्थाएं घटाएं। समान अक्षरों के न-साथ प्रश्न में घटाने की विधि सरल है। / Subtract the adjacent (A) cases (7!) from the total (8!/2!). For non-adjacent identical letters, subtraction is simple.
(A) पहले (B) से आने वाली व्यवस्थाएं (9!/2) हैं और साथ में (A) पहले (B) हो तो (8!) घटेगा। क्रम और साथ की शर्त अलग-अलग संभालें। / Arrangements with (A) before (B) are (9!/2), and adjacent cases with (A) before (B) are (8!). Handle order and adjacency separately.
पहले (5) व्यंजनों को (5!) तरीकों से रखें और (6) अंतरालों में से (3) में स्वरों को \(^{6}P_3\) तरीकों से रखें। स्वर अलग हों तो स्थान और क्रम दोनों गिनें। / Arrange the (5) consonants in (5!) ways and place the vowels in (3) of the (6) gaps in \(^{6}P_3\) ways. If vowels are distinct, count both positions and order.
दो विशेष पुरुष सिरों पर (2!) तरीकों से, बाकी पुरुष (4!) तरीकों से और महिलाएं (5) अंदरूनी अंतरालों में (5!) तरीकों से बैठती हैं। पहले सिरों की शर्त लगाएं। / The two specified men occupy the ends in (2!) ways, the remaining men in (4!) ways, and women in the (5) internal gaps in (5!) ways. Apply end restrictions first.
स्वरों के (5) स्थान \(^{13}C_5\) तरीकों से चुनें और व्यंजनों को (8!/2!) तरीकों से रखें। स्वर-क्रम निश्चित होने पर उनके अलग क्रम नहीं गिने जाते। / Choose the (5) vowel positions in \(^{13}C_5\) ways and arrange consonants in (8!/2!) ways. When vowel order is fixed, do not count their separate orders.
बाकी (7) लोगों को (7!) तरीकों से बैठाकर (8) अंतरालों में (A,B,C) को \(^{8}P_3\) तरीकों से रखें। न-साथ की शर्त में अंतराल विधि शक्तिशाली होती है। / Arrange the other (7) people in (7!) ways and place (A,B,C) in the (8) gaps in \(^{8}P_3\) ways. The gap method is powerful for non-adjacent conditions.
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में दोहराए अक्षरों की गिनती ध्यान से करें। / Add arrangements formed by smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, handle repeated letters carefully.
कुल (9!) व्यवस्थाओं में (1,2,3) के (3!) और (4,5) के (2!) क्रम समान रूप से संभव हैं। इसलिए (9!/(3!2!)) लें। / In the total (9!) arrangements, the (3!) orders of (1,2,3) and (2!) orders of (4,5) are equally likely. So use (9!/(3!2!)).
(A) को स्थिर करने पर (B) के लिए (2) स्थान मिलते हैं और बाकी (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। गोल दूरी में एक व्यक्ति को स्थिर करना सबसे आसान है। / Fix (A), then (B) has (2) possible positions and the remaining (6) people arrange in (6!) ways. For circular gaps, fixing one person is easiest.
पहले गैर-(E) अक्षरों को (6!/(2!2!)) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (4) में (E) रखें। समान अक्षर हों तो अंतराल चयन काफी होता है। / First arrange the non-(E) letters in (6!/(2!2!)) ways and place (E)'s in (4) of the (7) gaps. With identical letters, gap selection is enough.
पहला अंक (5,6,7,8) में से और अंतिम अंक विषम होना चाहिए। सीमा और विषमता को केस बनाकर साथ गिनें। / The first digit must be one of (5,6,7,8), and the last digit must be odd. Count the bound and oddness together by cases.
अक्षरों की संख्या (2,3,4) लेकर स्थान, अक्षर और अंक अलग-अलग व्यवस्थित करें। मिश्रित कोड में पहले प्रकार-स्थान चुनना अच्छा रहता है। / Take the number of letters as (2,3,4), then arrange positions, letters and digits separately. In mixed codes, first choose the position types.
तीनों अक्षरों को एक खंड मानने पर (7!) व्यवस्थाएं हैं और अंदर (3!-1) मान्य क्रम हैं। खंड की आंतरिक व्यवस्था अलग से गिनें। / Treat the three letters as one block, giving (7!) arrangements, and inside it (3!-1) valid orders. Count the internal arrangements of the block separately.
माला की संख्या ((8-1)!/2) होती है क्योंकि घुमाना और पलटना दोनों समान हैं। माला और गोल बैठक का अंतर याद रखें। / The number of necklaces is ((8-1)!/2) because both rotations and reflections are identical. Remember the difference between necklaces and circular seating.
सही पत्र \(^{7}C_2\) तरीकों से चुनें और बाकी (5) पत्रों का पूर्ण विस्थापन (44) है। ठीक सही की शर्त में शेष सभी गलत होने चाहिए। / Choose the correct letters in \(^{7}C_2\) ways and derange the remaining (5) letters in (44) ways. For exactly correct cases, all remaining objects must be wrong.
कुल (11!/(4!4!2!)) व्यवस्थाओं में से (P) साथ वाली (10!/(4!4!)) व्यवस्थाएं घटाएं। न-साथ के लिए कुल में से साथ वाले केस घटाएं। / Subtract the together cases (10!/(4!4!)) from the total (11!/(4!4!2!)). For not-together cases, subtract the adjacent cases from the total.
(A) को स्थिर करने पर (B) और (C) के लिए (A) के पास की (2) जगहें निषिद्ध हैं। पहले निषिद्ध स्थान हटाकर बाकी लोगों को व्यवस्थित करें। / After fixing (A), the (2) seats adjacent to (A) are forbidden for (B) and (C). Remove forbidden positions first and then arrange the rest.
(8) से विभाज्यता अंतिम (3) अंकों से तय होती है और पहले अंक में (0) नहीं आ सकता। ऐसे प्रश्नों में अंतिम (3) अंकों के मान्य क्रम पहले गिनें। / Divisibility by (8) is decided by the last (3) digits and the first digit cannot be (0). In such questions, count valid last (3)-digit endings first.
व्यंजनों के स्थान \(^{11}C_6\) तरीकों से चुनें और शेष (5) स्वरों को (5!) तरीकों से रखें। सापेक्ष क्रम निश्चित हो तो केवल स्थान चुनने होते हैं। / Choose consonant positions in \(^{11}C_6\) ways and arrange the (5) vowels in (5!) ways. When relative order is fixed, only positions are chosen.
स्वरों को एक खंड मानकर बाहर (8!/(2!2!)) और भीतर (4!/2!) तरीके मिलते हैं। दोहराए अक्षरों को हर बार अलग न मानें। / Treat the vowels as one block, giving (8!/(2!2!)) outside and (4!/2!) inside. Do not treat repeated letters as distinct.
