non-repeating decimals se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
विकल्प C में दशमलव के बाद 1 के बीच आने वाले 0 की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए अंकों का कोई निश्चित आवर्ती क्रम नहीं बनता। यह दशमलव असांत और अनावर्ती है, अतः यह एक अपरिमेय संख्या का उदाहरण है। विकल्प A और D में क्रमशः 6 तथा 7 बार-बार दोहरते हैं, इसलिए वे आवर्ती दशमलव हैं; विकल्प B सांत दशमलव है। परीक्षा टिप: असांत दशमलव में यदि कोई निश्चित पैटर्न बार-बार न दोहराए, तो वह अनावर्ती होता है। / In option C, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so there is no fixed repeating block of digits. It is non-terminating and non-repeating, hence it represents an irrational number. Options A and D repeat 6 and 7 respectively, so they are recurring decimals, while option B is terminating. Exam tip: A non-terminating decimal with no fixed repeating pattern is non-repeating.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि शून्यों के समूहों की लंबाई बढ़ती है और कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं है।/It is irrational because the lengths of the zero blocks increase and no fixed repeating block exists.
Explanation
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1 के बाद शून्यों के समूहों की लंबाई 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्ती खंड जाँचें। / The zero blocks after 1 have lengths 1, 2, 3, 4, …, so no fixed block repeats. Thus it is non-terminating and non-repeating, making it irrational. Exam tip: check for a repeating block.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
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हर 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती जाती है, इसलिए कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव ही परिमेय होता है। / The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, ..., so no fixed repeating block occurs. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: only recurring decimals are rational.
A. यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनवसान और अनावर्ती है/It is an irrational number because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
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सही उत्तर A है। 1 के बीच शून्यों की संख्या क्रमशः 1, 2, 3, 4, … बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहरता। अनवसान, अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: केवल 0 और 1 होना संख्या को परिमेय नहीं बनाता। / Option A is correct. The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, …, so no fixed block of digits repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: using only 0 and 1 does not make a number rational.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार कभी समाप्त नहीं होता। विद्यार्थी की त्रुटि के बारे में सही कथन कौन-सा है?
A. यह संख्या अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/This number is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
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दशमलव में 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: केवल अनंत नहीं, आवर्ती या अनावर्ती होने की जाँच करें। / The number of zeros between successive 1s increases as 1, 2, 3, 4, ..., so no fixed block repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check whether an infinite decimal repeats; infinity alone does not decide the type.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
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इस दशमलव में 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता। अतः यह अपरिमेय है। परीक्षा में अनंत आवर्ती दशमलव को परिमेय मानें। / The number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Hence the decimal is irrational. Exam tip: only terminating or repeating decimals represent rational numbers.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
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क्रमागत 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, … बढ़ती है, इसलिए कोई खंड नहीं दोहरता। केवल अनंत दशमलव होना पर्याप्त नहीं; अनंत-अनावर्ती दशमलव अपरिमेय है। परीक्षा टिप: आवृत्ति जाँचें। / Zeros between successive 1s increase as 1, 2, 3, …, so no block repeats. Non-termination alone is insufficient; a non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check for repetition.
A. अपरिमेय; अनंत और अनावर्ती/Irrational; non-terminating and non-repeating
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1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4... बढ़ती जाती है, इसलिए दशमलव में कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत-अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा टिप: केवल अंकों के प्रकार से नहीं, आवर्तन से निर्णय करें। / The number of zeros between successive 1s increases as 1, 2, 3, 4..., so no repeating decimal block occurs. It is non-terminating and non-repeating, hence irrational. Exam tip: check repetition, not merely the digits used.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय संख्या है, क्योंकि इसके दशमलव प्रसार में केवल 0 और 1 अंक आते हैं। विद्यार्थी के कथन का सही सुधार क्या है?
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
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1 के बीच शून्यों की संख्या क्रमशः 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्तन जाँचें, अंकों की संख्या नहीं। / The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, …, so no fixed repeating block exists. Hence the decimal is non-terminating and non-repeating, making it irrational. Exam tip: check repetition, not just the digits used.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है; इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता।/It is irrational because the number of zeros between successive 1s increases; hence no fixed repeating block occurs.
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सही विकल्प B है। 1 के बीच शून्यों के समूह 1, 2, 3, … बढ़ते हैं, इसलिए कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। टिप: केवल सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Option B is correct. Zero blocks of lengths 1, 2, 3, … prevent a fixed period. Thus the decimal is non-terminating, non-repeating and irrational. Tip: rational decimal expansions terminate or repeat.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय है, क्योंकि इसमें केवल 0 और 1 अंक आते हैं। उसकी त्रुटि को कौन-सा कथन सही ढंग से स्पष्ट करता है?
C. दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, इसलिए संख्या अपरिमेय है।/The decimal expansion is infinite and non-repeating, so the number is irrational.
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लगातार 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, … बढ़ती है; इसलिए कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा में दोहराव का निश्चित चक्र जाँचें। / The zeros between successive 1s number 1, 2, 3, 4, …, so no fixed repeating block exists. An infinite non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check for a repeating cycle, not just the digits used.
\(0.123456789101112\ldots\) में प्राकृतिक संख्याओं के अंक क्रम से जोड़े गए हैं और कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहराता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, इसलिए अपरिमेय है। इसके विपरीत, \(0.7777\ldots\), \(0.202020\ldots\) और \(0.123123123\ldots\) सभी आवर्ती दशमलव हैं, अतः परिमेय हैं। परीक्षा टिप: अनंत दशमलव में यदि आवृत्ति निश्चित हो तो संख्या परिमेय होती है; अनंत अनावर्ती होने पर अपरिमेय होती है। / In \(0.123456789101112\ldots\), the digits of natural numbers are written consecutively, and no fixed block of digits repeats forever. It is an infinite non-repeating decimal, so it is irrational. In contrast, \(0.7777\ldots\), \(0.202020\ldots\), and \(0.123123123\ldots\) are recurring decimals and therefore rational. Exam tip: An infinite decimal is rational if it eventually repeats; if it is non-terminating and non-repeating, it is irrational.
रिया ने संख्या \(0.101001000100001\ldots\) लिखी, जिसमें प्रत्येक अगले 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है। वह कहती है कि यह संख्या केवल 0 और 1 से बनी है, इसलिए परिमेय है। रिया के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
B. रिया गलत है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है; इसलिए यह अपरिमेय है।/Riya is incorrect because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; therefore, it is irrational.
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Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती होता है। यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ रही है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। अतः \(0.101001000100001\ldots\) अनंत अनावर्ती दशमलव है और अपरिमेय है। केवल 0 और 1 अंकों का प्रयोग होने से कोई संख्या परिमेय नहीं बन जाती। परीक्षा टिप: दशमलव में कोई पैटर्न दिखे तो जाँचें कि वह वास्तव में निश्चित अवधि के बाद दोहराता है या नहीं। / A rational number has a decimal expansion that either terminates or repeats after some point. Here, the number of zeros between the 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats periodically. Hence \(0.101001000100001\ldots\) is non-terminating and non-repeating, making it irrational. Using only the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: When a decimal has a pattern, check whether a fixed block actually repeats after a certain point.
