दोनों पक्षों को \(-2\) से गुणा करने पर असमता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि \(-2\) ऋणात्मक है: \(x-4\leq -6\)। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(x\leq -2\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमता का चिन्ह अवश्य पलटता है। / Multiplying both sides by \(-2\) reverses the inequality sign because \(-2\) is negative: \(x-4\leq -6\). Adding 4 to both sides gives \(x\leq -2\), so option B is correct. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमता से \(x+4\geq0\Rightarrow x\geq-4\) प्राप्त होता है। दूसरी असमता से \(2x-1<9\Rightarrow2x<10\Rightarrow x<5\) मिलता है। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(-4\leq x<5\) है, अर्थात \([-4,5)\)। \(-4\) शामिल है क्योंकि वहाँ \(\geq\) है, जबकि \(5\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) है। परीक्षा-टिप: \(\geq\) या \(\leq\) पर सिरा बंद और \(>\) या \(<\) पर सिरा खुला रखें। / From the first inequality, \(x+4\geq0\) gives \(x\geq-4\). From the second, \(2x-1<9\Rightarrow2x<10\Rightarrow x<5\). Thus both conditions together give \(-4\leq x<5\), represented by \([-4,5)\). The endpoint \(-4\) is included because the inequality is non-strict, whereas \(5\) is excluded because the inequality is strict. Exam tip: use a closed endpoint for \(\leq\) or \(\geq\), and an open endpoint for \(<\) or \(>\).
कोष्ठक खोलने पर \(6-3x>x+10\) मिलता है। अतः \(-4x>4\)। दोनों पक्षों को \(-4\) से भाग देने पर असमता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \(x<-1\)। विकल्प B में चिन्ह उलटने की यह आवश्यक प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिन्ह अवश्य पलटें। / Expanding the bracket gives \(6-3x>x+10\), so \(-4x>4\). Dividing both sides by \(-4\) reverses the inequality sign, yielding \(x<-1\). Option B incorrectly keeps the original direction after division by a negative number. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
“अधिक नहीं” का अर्थ \(\leq\) होता है, इसलिए असमिका \(4x-7\leq 13\) होगी। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x\leq 20\), और 4 से भाग देने पर \(x\leq 5\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। विकल्प D गलत है, क्योंकि वह \(x=5\) को शामिल नहीं करता, जबकि \(x=5\) रखने पर \(4(5)-7=13\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: “not greater than” को \(\leq\) और “not less than” को \(\geq\) के रूप में पढ़ें। / “Not greater than” means \(\leq\), so the inequality is \(4x-7\leq 13\). Adding 7 to both sides gives \(4x\leq 20\), and dividing by 4 gives \(x\leq 5\). Therefore, option C is correct. Option D is incorrect because it excludes \(x=5\), even though \(4(5)-7=13\). Exam tip: interpret “not greater than” as \(\leq\) and “not less than” as \(\geq\).
दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \\(10\leq 2x\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \\(5\leq x\\), अर्थात् \\(x\geq 5\\) प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमता का चिह्न उलटता है। / Subtracting 1 from both sides gives \\(10\leq 2x\\). Dividing both sides by the positive number 2 yields \\(5\leq x\\), which is equivalent to \\(x\geq 5\\). The inequality sign does not reverse when dividing by a positive number. Exam tip: Reverse the sign only when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(7-x<6\) मिलता है। अतः \(-x<-1\)। अब \(-1\) से गुणा करने पर असमता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>1\)। परीक्षा-युक्ति: किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिह्न अवश्य उलटें। / Multiplying both sides by the positive number 3 gives \(7-x<6\), so \(-x<-1\). Multiplying by \(-1\) reverses the inequality sign; hence \(x>1\). Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
‘धनात्मक नहीं’ का अर्थ है कि व्यंजक शून्य या ऋणात्मक हो सकता है, अर्थात \(2x+5\leq 0\)। दोनों पक्षों में 5 घटाने पर \(2x\leq -5\) और 2 से भाग देने पर \(x\leq -\frac{5}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में \(<\) होने के कारण \(x=-\frac{5}{2}\) छूट जाता है, जबकि इस मान पर \(2x+5=0\) होता है और व्यंजक धनात्मक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘नहीं’ जैसे शब्दों पर ध्यान दें—‘धनात्मक नहीं’ में शून्य भी शामिल होता है। / ‘Not positive’ means the expression can be zero or negative, so \(2x+5\leq 0\). Subtracting 5 from both sides gives \(2x\leq -5\), and dividing by 2 gives \(x\leq -\frac{5}{2}\). Therefore, option D is correct. Option C incorrectly uses \(<\) and excludes \(x=-\frac{5}{2}\), even though the expression equals zero at that value and is therefore not positive. Exam tip: ‘not positive’ includes zero, whereas ‘negative’ excludes zero.
विकल्प B में \(2x-8\geq 0\) से \(2x\geq 8\), अर्थात् \(x\geq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए इसका हल-समुच्चय \([4,\infty)\) है। विकल्प A से \(x>4\) मिलता है, जिसका हल \((4,\infty)\) होगा और उसमें 4 शामिल नहीं है। परीक्षा में याद रखें: बंद कोष्ठक \([\) या \(]\) बराबरी सहित असमता को दर्शाता है। / For option B, \(2x-8\geq 0\) gives \(2x\geq 8\), so \(x\geq 4\). Hence, the solution set is \([4,\infty)\). Option A gives \(x>4\), whose solution set is \((4,\infty)\), so 4 is excluded. Exam tip: a square bracket indicates that the endpoint is included, which corresponds to an inequality containing equality.
असमानता \(\frac{x+5}{2}>3\) में 2 से गुणा करने पर \(x+5>6\), अर्थात् \(x>1\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 1 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 2 है। इसलिए सही उत्तर 2 है। ध्यान रखें कि असमानता सख्त \(>\) है, इसलिए \(x=1\) स्वीकार्य नहीं है। / Multiplying \(\frac{x+5}{2}>3\) by the positive number 2 gives \(x+5>6\), or \(x>1\). Since \(x\) is an integer, the least integer greater than 1 is 2. Therefore, the correct answer is 2. Exam tip: because the inequality is strict (\(>\)), \(x=1\) is not included.
किसी व्यंजक के धनात्मक होने का अर्थ है \(3-2x>0\)। अतः \(-2x>-3\)। ऋणात्मक संख्या \(-2\) से दोनों पक्षों में भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x<\frac{3}{2}\)। विकल्प B में यह चिह्न उलटने की प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य बदलें। / A positive expression satisfies \(3-2x>0\). Thus, \(-2x>-3\). Dividing both sides by the negative number \(-2\) reverses the inequality sign, giving \(x<\frac{3}{2}\). Option B results from forgetting this reversal. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमता से \(x\leq 4\) और दूसरी से (x>-1) मिलता है। संयुक्त हल \(-1<x\leq 4\) है। / The first inequality gives \(x\leq 4\), and the second gives (x>-1). The combined solution is \(-1<x\leq 4\).
कोष्ठक खोलने पर \(8-6x-2\leq 0\), अर्थात् \(6-6x\leq 0\) मिलता है। अतः \(-6x\leq -6\)। दोनों पक्षों को \(-6\) से विभाजित करने पर असमता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\geq 1\)। परीक्षा-युक्ति: किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर \(\leq\) और \(\geq\) आपस में बदल जाते हैं। / Expanding the brackets gives \(8-6x-2\leq 0\), or \(6-6x\leq 0\). Thus, \(-6x\leq -6\). Dividing both sides by \(-6\) reverses the inequality sign, so \(x\geq 1\). Exam tip: whenever an inequality is multiplied or divided by a negative number, reverse the inequality sign.
असमिका \(-4x-1<7\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(-4x<8\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को \(-4\) से भाग देने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>-2\)। विकल्प B में चिह्न उलटने की बात छूट गई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका का चिह्न अवश्य बदलें। / Adding 1 to both sides of \(-4x-1<7\) gives \(-4x<8\). Dividing both sides by \(-4\) reverses the inequality sign, so \(x>-2\). Option B results from forgetting this reversal. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
\(-5\leq x<2\) के लिए पूर्णांक हल \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1\) हैं। यहाँ \(-5\) शामिल है क्योंकि उस पर \(\leq\) है, जबकि \(2\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) है। इसलिए कुल 7 हल हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत पूर्णांकों की संख्या निकालने के लिए शामिल अंतिम और प्रारंभिक मानों का अंतर लेकर 1 जोड़ें। / For \(-5\leq x<2\), the integer solutions are \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1\). The endpoint \(-5\) is included because of \(\leq\), whereas 2 is excluded because of \(<\). Hence, there are 7 solutions. Exam tip: for consecutive included integers, subtract the first value from the last value and add 1.
कोष्ठक खोलने पर \\(6x-2<5x+6\\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से \\(5x\\) घटाने पर \\(x-2<6\\), अतः \\(x<8\\)। विकल्प B में असमता का चिह्न अनावश्यक रूप से उलट दिया गया है; चिह्न तभी उलटता है जब किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाए। परीक्षा में पहले कोष्ठक खोलकर चर वाले पदों को एक ही पक्ष में रखें। / Expanding the bracket gives \\(6x-2<5x+6\\). Subtracting \\(5x\\) from both sides gives \\(x-2<6\\), so \\(x<8\\). In option B, the inequality sign has been reversed incorrectly; the sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number. In an exam, expand the bracket first and collect the variable terms on one side.
अंतराल [-2,5) में -2 शामिल है, इसलिए उसके साथ \leq होगा। 5 के बाद गोल कोष्ठक है, इसलिए 5 शामिल नहीं है और वहाँ < होगा। अतः सही असमता \(-2 \le x < 5\) है। विकल्प D में 5 को शामिल कर लिया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग कोष्ठक का अर्थ शामिल और गोल कोष्ठक का अर्थ शामिल नहीं होता है। / In the interval [-2,5), -2 is included, so the inequality uses \leq at the left endpoint. The round bracket after 5 means that 5 is excluded, so the right side uses <. Therefore, the correct inequality is \(-2 \le x < 5\). Option D is incorrect because it includes 5. Exam tip: a square bracket includes the endpoint, while a round bracket excludes it.
दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर (2-x>4) मिलता है। अतः (-x>2)। दोनों पक्षों को (-1) से गुणा करने पर असमता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए (x<-2) प्राप्त होता है। विकल्प B में यही चिह्न-परिवर्तन नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by 4 gives (2-x>4), so (-x>2). Multiplying both sides by (-1) reverses the inequality sign, yielding (x<-2). Option B misses this sign reversal. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमता का चिन्ह बदलता है। परीक्षा में (-3) से भाग देते समय चिन्ह अवश्य पलटें। / Dividing by a negative number reverses the inequality sign. In exams, always reverse the sign when dividing by (-3).
धनात्मक (3) से गुणा करने के बाद \(-6<5-x\leq 12\) मिलता है, फिर ऋणात्मक भाग के कारण दिशा बदलती है। सही हल \(-7\leq x<11\) है। / After multiplying by positive (3), we get \(-6<5-x\leq 12\), then the direction changes because of the negative part. The correct solution is \(-7\leq x<11\).
एक कोचिंग योजना में प्रवेश शुल्क (150) रुपये और मासिक शुल्क (80m) रुपये है। यदि कुल खर्च (550) रुपये से अधिक नहीं होना चाहिए, तो (m) के लिए सही हल क्या है?
खर्च की असमानता \(150+80m\leq 550\) होगी, जिससे \(m\leq 5\) मिलता है। अधिक नहीं का अर्थ \(\leq\) याद रखें। / The cost inequality is \(150+80m\leq 550\), which gives \(m\leq 5\). Remember that not exceed means \(\leq\).
सभी भागों से (2) घटाने पर \(3\leq x<9\) मिलता है। संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Subtracting (2) from all parts gives \(3\leq x<9\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
A. \(x\geq 9\) में (9) शामिल है/\(x\geq 9\) includes (9)
Explanation
Simple Explanation
(>) सीमा को शामिल नहीं करता लेकिन \(\geq\) सीमा को शामिल करता है। इसी से खुला या बंद वृत्त तय होता है। / (>) does not include the boundary, but \(\geq\) includes it. This decides the open or closed circle.
संख्या में (8) जोड़ना (x+8) है और से कम का अर्थ (<) होता है। शब्द प्रश्नों में मुख्य क्रिया पहचानें। / Increasing a number by (8) is (x+8), and less than means (<). Identify the main operation in word problems.
\(-\frac{x}{3}\geq -4\) से ऋणात्मक गुणक हटाने पर \(x\leq 12\) मिलता है। चिन्ह बदलने की स्थिति पहचानें। / \(-\frac{x}{3}\geq -4\), and removing the negative factor gives \(x\leq 12\). Identify when the sign must be reversed.
असमानता \(0<x\leq 4\) में \(x\), 0 से बड़ा और 4 से कम या उसके बराबर होना चाहिए। इसलिए \(x=4\) मान्य है, क्योंकि 4 ऊपरी सीमा में शामिल है। \(x=0\) मान्य नहीं है, क्योंकि 0 के साथ सख्त असमानता \(x>0\) है। परीक्षा में याद रखें: \(<\) और \(>\) में सीमा शामिल नहीं होती, जबकि \(\leq\) और \(\geq\) में सीमा शामिल होती है। / In the inequality \(0<x\leq 4\), \(x\) must be greater than 0 and less than or equal to 4. Thus, \(x=4\) is valid because the upper endpoint is included. \(x=0\) is invalid because the lower condition is the strict inequality \(x>0\). Exam tip: the signs \(<\) and \(>\) exclude the endpoint, whereas \(\leq\) and \(\geq\) include it.
असमानता \(x\leq 8\) में 8 शामिल है, इसलिए 8 के बाद बंद कोष्ठक \(]\) लगाया जाता है। 8 से छोटे सभी वास्तविक मान \(-\infty\) तक लिए जाते हैं, इसलिए अंतराल \((-�infty,8]\) है। विकल्प B में 8 शामिल नहीं है, क्योंकि वहाँ खुला कोष्ठक है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर संबंधित सीमा पर बंद कोष्ठक लगाएँ। / The inequality \(x\leq 8\) includes 8, so a closed bracket \(]\) is used at 8. All real numbers smaller than 8 are included, extending toward \(-\infty\); hence the interval is \((-�infty,8]\). Option B excludes 8 because it uses an open parenthesis. Exam tip: use a closed bracket at a boundary included by \(\leq\) or \(\geq\).
दोनों पक्षों को \(-7\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग देने के कारण असमानता का चिह्न उलट जाता है: \(x\geq \frac{28}{-7}=-4\)। अतः सही उत्तर \(x\geq -4\) है। विकल्प B में चिह्न उलटने की इस आवश्यकता को नहीं माना गया है। परीक्षा-टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिह्न अवश्य उलटें। / Dividing both sides by \(-7\) reverses the inequality sign because the divisor is negative: \(x\geq \frac{28}{-7}=-4\). Hence, \(x\geq -4\) is correct. Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
असमानता \\(7x\geq -21\\) में दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 7 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। इसलिए \\(x\geq -3\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलट दिया गया है, जो केवल ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर होता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / In \\(7x\geq -21\\), dividing both sides by the positive number 7 does not reverse the inequality sign. Thus, \\(x\geq -3\\). Option B is incorrect because the sign would reverse only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
विकल्प A में दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1\) प्राप्त होता है। विकल्प C से \(x\leq -1\) मिलता है, इसलिए वह विपरीत दिशा का हल है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता में धनात्मक संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / In option A, subtracting 1 from both sides gives \(x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1\). Option C gives \(x\leq -1\), which has the opposite direction. Exam tip: adding or subtracting a positive number does not reverse the inequality sign.
