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2120 questions tagged with linear inequalities.
What is the boundary value in the inequality \(3x+7\leq x+19\)?
A. (6)
सीमा मान बराबरी लगाकर मिलता है: (3x+7=x+19), इसलिए (x=6)। सीमा मान से अंतिम अंतराल तय होता है। / The boundary value is found by using equality: (3x+7=x+19), so (x=6). The boundary value decides the final interval.
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If (x>0), what is true about (-2x)?
A. (-2x<0)
धनात्मक (x) को ऋणात्मक (-2) से गुणा करने पर परिणाम ऋणात्मक होता है। इसलिए (-2x<0) सही है। / Multiplying positive (x) by negative (-2) gives a negative result. Therefore (-2x<0) is correct.
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Choose the solution set of the inequality \(5x+1>2x+16\).
A. \(x>5\)
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(3x+1>16\) मिलता है। फिर 1 घटाने पर \(3x>15\), और 3 से भाग देने पर \(x>5\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल असमानता में ‘>’ है, इसलिए \(x=5\) शामिल नहीं है; अतः \(x\geq5\) गलत है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, लेकिन यहाँ 3 धनात्मक है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(3x+1>16\). Subtracting 1 and then dividing by the positive number 3 gives \(x>5\). Since the original inequality is strict, \(x=5\) is not included; therefore, \(x\geq5\) is incorrect. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; here, 3 is positive.
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Which statement about (x<-2) is correct?
A. (-2) हल में शामिल नहीं है(-2) is not included in the solution
कठोर असमानता (<) सीमा मान को शामिल नहीं करती। संख्या रेखा पर (-2) पर खुला वृत्त बनेगा। / The strict inequality (<) does not include the boundary value. On the number line, an open circle is drawn at (-2).
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If \(x-2<5\), \(x\in\mathbb{Z}\), and \(x\geq 2\), which are the possible integer values of \(x\)?
A. \(\{2,3,4,5,6\}\)
असमानता \(x-2<5\) में दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \(x<7\) मिलता है। साथ ही \(x\geq 2\) और \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(x\) के मान 2 से 6 तक होंगे: \(\{2,3,4,5,6\}\)। विकल्प B में 7 शामिल है, लेकिन \(x<7\) के कारण 7 मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) या \(>\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 2 to both sides of \(x-2<5\) gives \(x<7\). Since \(x\geq 2\) and \(x\) is an integer, the possible values are the integers from 2 through 6: \(\{2,3,4,5,6\}\). Option B is incorrect because 7 is not allowed by the strict inequality \(x<7\). Exam tip: a strict inequality, such as \(<\) or \(>\), excludes its boundary value.
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What is the solution of the inequality \(14<2x+4\)?
A. \(x>5\)
दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(10<2x\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \(5<x\), अर्थात \(x>5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 4 from both sides gives \(10<2x\). Dividing both sides by the positive number 2 gives \(5<x\), which is equivalent to \(x>5\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because the original inequality does not include equality. Exam tip: The inequality sign remains unchanged when both sides are multiplied or divided by a positive number.
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If \(-2<x\leq 5\), what is the correct interval form?
A. ((-2,5])
(-2) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक और (5) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक लगेगा। दोनों सीमाओं को अलग जांचें। / (-2) is not included, so use a round bracket, and (5) is included, so use a square bracket. Check both boundaries separately.
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Solve the inequality \(\frac{3x-2}{4}\geq 4\).
A. \(x\geq 6\)
धनात्मक (4) से गुणा करने पर \(3x-2\geq 16\), इसलिए \(x\geq 6\)। धनात्मक हर से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (4) gives \(3x-2\geq 16\), so \(x\geq 6\). A positive denominator does not reverse the sign.
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What is the solution of the inequality \(12 \geq 3x+3\)?
A. \(x \leq 3\)
दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(9 \geq 3x\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से विभाजित करने पर \(3 \geq x\), अर्थात् \(x \leq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि यहाँ 3 से भाग देने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting 3 from both sides gives \(9 \geq 3x\). Dividing both sides by the positive number 3 gives \(3 \geq x\), which is equivalent to \(x \leq 3\). Option B incorrectly reverses the inequality sign; division by a positive number does not change its direction. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
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Which number line representation shows \(x\leq 1\)?
A. (1) पर बंद वृत्त और बाईं ओर छायाClosed circle at (1) and shading to the left
\(x\leq 1\) में (1) शामिल है और छोटे मान चाहिए। इसलिए बंद वृत्त और बाईं ओर छाया सही है। / In \(x\leq 1\), (1) is included and smaller values are needed. So a closed circle and left-side shading are correct.
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How is the statement a number is greater than (6) written?
A. (x>6)
से बड़ा का अर्थ (>) होता है। वाक्य आधारित प्रश्न में सही असमानता चिह्न पहचानना पहला कदम है। / Greater than means (>). In a word-based question, identifying the correct inequality sign is the first step.
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If \(4x-1>15\) and \(x\in\mathbb{Z}\), what is the smallest integer solution?
A. 5
\(4x-1>15\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(4x>16\) और 4 से भाग देने पर \(x>4\) मिलता है। 4 स्वयं हल नहीं है, क्योंकि असमानता सख्त है; 4 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) या \(<\) वाली सख्त असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 1 to both sides gives \(4x>16\), and dividing by 4 gives \(x>4\). Since the inequality is strict, 4 is not included; the smallest integer greater than 4 is 5. Exam tip: In a strict inequality such as \(>\) or \(<\), the boundary value is excluded.
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Which interval correctly represents \(x\leq -4\)?
A. (\(-\infty,-4]\)
\(x\leq -4\) में (-4) शामिल है और सभी छोटे मान शामिल हैं। इसलिए (\(-\infty,-4]\) सही है। / In \(x\leq -4\), (-4) is included and all smaller values are included. Hence (\(-\infty,-4]\) is correct.
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What is the solution of (15-5x<0)?
A. (x>3)
(-5x<-15) और (-5) से भाग देने पर (x>3) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह अवश्य बदलता है। / (-5x<-15), and dividing by (-5) gives (x>3). The sign must change when dividing by a negative.
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Which of the following values satisfies the inequality \(-3 \le x < 2\)?
A. \(-3\)
असमीकरण में \(-3 \le x\) होने के कारण \(-3\) शामिल है, जबकि \(x<2\) होने के कारण 2 शामिल नहीं है। 3 और \(-4\) क्रमशः ऊपरी और निचली सीमा से बाहर हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) या \(\ge\) सीमा मान को शामिल करते हैं, जबकि \(<\) या \(>\) सीमा मान को शामिल नहीं करते। / Because the inequality includes \(-3 \le x\), the value \(-3\) is allowed. The value 2 is not allowed because the condition is strictly \(x<2\). The values 3 and \(-4\) lie outside the given interval. Exam tip: \(\le\) and \(\ge\) include the endpoint, whereas \(<\) and \(>\) exclude it.
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A. \(-3p>-3q\)
किसी असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है। इसलिए \(p<q\) को \(-3\) से गुणा करने पर \(-3p>-3q\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह नहीं बदला गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य पलटता है। / When both sides of an inequality are multiplied by a negative number, the inequality sign reverses. Thus, multiplying \(p<q\) by \(-3\) gives \(-3p>-3q\). Option B is incorrect because it leaves the sign unchanged. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of the inequality \(3(2x-5)\geq x+10\)?
A. \(x\geq 5\)
कोष्ठक खोलने पर \(6x-15\geq x+10\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(5x-15\geq 10\), अर्थात \(5x\geq 25\), इसलिए \(x\geq 5\)। ध्यान रखें कि धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the bracket gives \(6x-15\geq x+10\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(5x-15\geq 10\), or \(5x\geq 25\), so \(x\geq 5\). Remember that dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
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What is the solution of the inequality \(4(x+1)>28\)?
A. \(x>6\)
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से विभाजित करने पर \(x+1>7\) मिलता है। अब दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x>6\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में 7 को घटाने की गलती हुई है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Dividing both sides by the positive number 4 gives \(x+1>7\). Subtracting 1 from both sides yields \(x>6\), so option A is correct. Option C results from incorrectly treating 7 as the value of \(x\). Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the greatest integer solution of the inequality \(9x-4\leq 5x+20\)?
A. 6
दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(4x-4\leq 20\) मिलता है। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(4x\leq 24\), अतः \(x\leq 6\)। इसलिए सभी पूर्णांक \(6\) या उससे छोटे हैं और सबसे बड़ा पूर्णांक हल 6 है। परीक्षा-युक्ति: असमानता हल करने के बाद पूर्णांक हलों की सीमा में सबसे बड़ा मान चुनें। / Subtracting \(5x\) from both sides gives \(4x-4\leq 20\). Adding 4 and dividing by 4 yields \(x\leq 6\). Thus every integer less than or equal to 6 is a solution, and the greatest integer solution is 6. Exam tip: after solving an inequality, identify the largest integer included in the solution set.
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Which of the following symbols represents a ‘greater than or equal to’ inequality?
A. \(\geq\)
\(\geq\) का अर्थ ‘बड़ा या बराबर’ होता है। इसमें किसी संख्या के उससे बड़ी होने के साथ-साथ उसके बराबर होने की स्थिति भी शामिल होती है, इसलिए यह सीमा मान को स्वीकार करता है। \(>\) केवल ‘बड़ा’ दर्शाता है और बराबरी को शामिल नहीं करता। परीक्षा में geq को ‘greater than or equal to’ के रूप में याद रखें। / \(\geq\) means ‘greater than or equal to’. It includes both values greater than a number and the number itself, so the boundary value is included. In contrast, \(>\) means only ‘greater than’ and excludes equality. For exams, remember \(\geq\) as ‘greater than or equal to’.
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If \(x\) is a real number, which of the following statements is always true?
A. \(x^2+1>0\)
किसी भी वास्तविक संख्या \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। इसलिए \(x^2+1\geq 1\), अतः \(x^2+1>0\) सदैव सत्य है। विकल्प B, C और D सभी कुछ विशेष मानों पर असत्य हो सकते हैं; जैसे \(x=0\) रखने पर B और D असत्य हो जाते हैं, जबकि C कभी सत्य नहीं होता। परीक्षा में याद रखें कि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। / For every real number \(x\), we have \(x^2\geq 0\). Therefore, \(x^2+1\geq 1\), which proves that \(x^2+1>0\) is always true. Options B, C and D can be false for particular values; for example, at \(x=0\), B and D are false, while C is never true for a real number. Exam tip: the square of a real number is never negative.
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What is the solution set of the inequality \(6x+5<4x+19\)?
A. \(x<7\)
\(6x+5<4x+19\) में दोनों पक्षों से \(4x\) और \(5\) घटाने पर \(2x<14\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। \(x>7\) चुनना असमानता की दिशा अनावश्यक रूप से बदलने की गलती है; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी हल को मूल असमानता में रखकर जाँच लें। / Subtracting \(4x\) and \(5\) from the respective sides of \(6x+5<4x+19\) gives \(2x<14\). Dividing both sides by the positive number \(2\) yields \(x<7\), so option A is correct. The inequality sign does not reverse because the divisor is positive; reversal is required only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: Verify the result by testing a value such as \(x=0\) in the original inequality.
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Which interval represents the inequality \(x>-5\)?
A. \((-5,\infty)\)
असमता \(x>-5\) में \(-5\) शामिल नहीं है, इसलिए -5 पर खुला कोष्ठक लगेगा। इसके बाद सभी बड़ी संख्याएँ दाईं ओर आती हैं, इसलिए अंतराल \((-5,\infty)\) है। विकल्प B में \(-5\) शामिल है, इसलिए वह \(x\geq -5\) को दर्शाता है। परीक्षा-टिप: > और < के लिए खुला कोष्ठक, जबकि ≥ और ≤ के लिए बंद कोष्ठक प्रयोग करें। / In the inequality \(x>-5\), \(-5\) is not included, so an open bracket is used at \(-5\). All greater values lie to its right, giving the interval \((-5,\infty)\). Option B includes \(-5\), so it represents \(x\geq -5\). Exam tip: use open brackets for > or < and closed brackets for ≥ or ≤.
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Solve the inequality \(-8<2x+4\leq 12\).
A. \(-6<x\leq 4\)
सभी भागों से (4) घटाकर (2) से भाग देने पर \(-6<x\leq 4\) मिलता है। खुली और बंद सीमा अलग पहचानें। / Subtracting (4) from all parts and dividing by (2) gives \(-6<x\leq 4\). Identify open and closed boundaries separately.
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What is the solution of the compound inequality \(2\leq 3x-1<14\)?
A. \(1\leq x<5\)
सभी भागों में (1) जोड़ने पर \(3\leq 3x<15\), इसलिए \(1\leq x<5\)। संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Adding (1) to all parts gives \(3\leq 3x<15\), so \(1\leq x<5\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
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Which inequality has the solution set (-\infty,2]?
A. \(x\leq 2\)
\((-\infty,2]\) का अर्थ है कि 2 से छोटी या उसके बराबर प्रत्येक वास्तविक संख्या हल है। कोष्ठक ] यह दर्शाता है कि 2 भी शामिल है, इसलिए सही असमिकता \(x\leq 2\) है। विकल्प B में 2 शामिल नहीं होता, क्योंकि \(x<2\) में केवल 2 से छोटी संख्याएँ आती हैं। परीक्षा-टिप: बंद कोष्ठक ] को \(\leq\) और खुली कोष्ठक ) को \(<\) से जोड़कर याद रखें। / The interval \((-\infty,2]\) contains every real number less than or equal to 2. The square bracket ] shows that 2 is included, so the correct inequality is \(x\leq 2\). Option B, \(x<2\), excludes 2 and is therefore not equivalent. Exam tip: a square bracket indicates inclusion, while a parenthesis indicates exclusion.
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If \(\frac{x+3}{2}>6\), what is the least integer value of \(x\)?
A. 10
असमानता \(\frac{x+3}{2}>6\) में दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(x+3>12\), अर्थात् \(x>9\) प्राप्त होता है। 9 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 10 है, इसलिए सही उत्तर 10 है। ध्यान रखें कि ‘>’ में 9 शामिल नहीं होता; यदि चिह्न ‘\(\geq\)’ होता, तो 9 भी मान्य होता। / Multiplying \(\frac{x+3}{2}>6\) by 2 gives \(x+3>12\), so \(x>9\). The smallest integer greater than 9 is 10. Therefore, the correct answer is 10. Remember that the strict sign ‘>’ excludes 9; with ‘\(\geq\)’, 9 would also be included.
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Which of the following is the solution of the inequality \(\frac{x}{4}-1>2\)?
A. \(x>12\)
पहले दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(\frac{x}{4}>3\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर \(x>12\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=12\) रखने पर असमानता में बराबरी आती है, जबकि यहाँ सख्त चिन्ह \(>\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Adding 1 to both sides gives \(\frac{x}{4}>3\). Multiplying both sides by the positive number 4 yields \(x>12\), so option A is correct. Option C is incorrect because \(x=12\) gives equality, whereas the inequality requires a strict greater-than sign. Exam tip: Multiplication or division by a positive number does not reverse the inequality sign.
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What is the solution of the inequality \(8x-11\geq 5x+10\)?
A. \(x\geq 7\)
दोनों पक्षों में 11 जोड़ने पर \(8x\geq 5x+21\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(3x\geq 21\), अतः 3 से भाग देने पर \(x\geq 7\) प्राप्त होता है। चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता; अतः \(x\leq 7\) सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Adding 11 to both sides gives \(8x\geq 5x+21\). Subtracting \(5x\) from both sides gives \(3x\geq 21\), and dividing by the positive number 3 yields \(x\geq 7\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive, so \(x\leq 7\) is incorrect. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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If \(x\in\mathbb{W}\) and \(x\leq 4\), what is the solution set?
A. \(\{0,1,2,3,4\}\)
पूर्ण संख्याओं का समुच्चय \(\mathbb{W}=\{0,1,2,3,\ldots\}\) होता है। इसलिए \(x\leq 4\) को संतुष्ट करने वाली पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,3,4\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है, जबकि \(0\) पूर्ण संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पहले चर का समुच्चय पहचानें; यहाँ हल वास्तविक संख्याओं का अंतराल नहीं, बल्कि पूर्ण संख्याओं का सीमित समुच्चय है। / The whole-number set is \(\mathbb{W}=\{0,1,2,3,\ldots\}\). Hence the whole numbers satisfying \(x\leq 4\) are \(0,1,2,3,4\). Option B is incorrect because it excludes \(0\), which is a whole number. Exam tip: identify the domain of the variable first; here the solution is a finite set of whole numbers, not an interval of real numbers.
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