असमानता \(3x-2<13\) को हल करने पर \(3x<15\), अतः \(x<5\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=5\) हल नहीं है, क्योंकि रखने पर \(3(5)-2=13\) मिलता है और \(13<13\) असत्य है। इसके विपरीत \(x=4\) रखने पर \(10<13\) सत्य है। परीक्षा-टिप: '<' या '>' जैसी कठोर असमानताओं में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Solving \(3x-2<13\) gives \(3x<15\), hence \(x<5\). Therefore, \(x=5\) is not a solution because substitution gives \(3(5)-2=13\), and \(13<13\) is false. In contrast, \(x=4\) satisfies the inequality since \(10<13\). Exam tip: In strict inequalities such as '<' or '>', the boundary value is not included.
\(-4x\leq -12\) और (-4) से भाग देने पर \(x\geq 3\) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह पलटना न भूलें। / \(-4x\leq -12\), and dividing by (-4) gives \(x\geq 3\). Do not forget to reverse the sign when dividing by a negative.
\(x\geq -7\) मिलता है इसलिए अंतराल \([-7,\infty\)) होगा। बराबरी होने पर बायां सिरा बंद रहेगा। / We get \(x\geq -7\), so the interval is \([-7,\infty\)). With equality, the left endpoint is closed.
([-4,3)) में (-4) शामिल है और (3) शामिल नहीं है। कोष्ठक देखकर सही असमानता लिखें। / In ([-4,3)), (-4) is included and (3) is not included. Write the inequality by checking the brackets.
दोनों पक्षों से समान संख्या घटाने पर दिशा नहीं बदलती। ऋणात्मक गुणा और वर्ग के मामलों में विशेष सावधानी चाहिए। / Subtracting the same number from both sides does not change the direction. Negative multiplication and squares need extra care.
दोनों पक्षों को −6 से भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए 18 को −6 से भाग देने पर x<−3 प्राप्त होता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की गलती है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका का चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by −6 reverses the inequality sign. Since 18÷(−6)=−3, the result is x<−3, so option A is correct. Option B results from forgetting to reverse the sign. In an exam, always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(5x\leq 20\) मिलता है। अब 5 से भाग देने पर, क्योंकि 5 धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलती और \(x\leq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=4\) भी हल में शामिल है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; धनात्मक संख्या के लिए ऐसा नहीं होता। / Adding 3 to both sides gives \(5x\leq 20\). Dividing by the positive number 5 does not reverse the inequality, so \(x\leq 4\). Thus, the boundary value \(x=4\) is included. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
असमानता \\(4x+6>22\\) में दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \\(4x>16\\) प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर \\(x>4\\) मिलता है; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \\(x=4\\) रखने पर \\(4x+6=22\\) होता है, जबकि असमानता में 22 से बड़ा होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता, लेकिन ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलट जाता है। / Starting with \\(4x+6>22\\), subtracting 6 from both sides gives \\(4x>16\\). Dividing by the positive number 4 gives \\(x>4\\), so option A is correct. Option C is incorrect because including \\(x=4\\) would make the left side equal to 22, not greater than 22. Exam tip: dividing or multiplying an inequality by a negative number reverses its sign; a positive number does not.
अधिक नहीं है का अर्थ \(\leq\) होता है, इसलिए \(2x+5\leq 19\) से \(x\leq 7\) मिलता है। शब्द प्रश्नों में वाक्य को पहले असमानता में बदलें। / Not more than means \(\leq\), so \(2x+5\leq 19\) gives \(x\leq 7\). In word problems, first convert the sentence into an inequality.
एक विद्यार्थी को परीक्षा पास करने के लिए कम से कम (40) अंक चाहिए। यदि उसे पहले से (27) अंक मिल चुके हैं, तो अतिरिक्त अंकों (m) के लिए सही असमानता क्या है?
कम से कम का अर्थ \(\geq\) होता है, इसलिए \(27+m\geq 40\) सही है। शब्द प्रश्नों में पहले मुख्य शब्द का गणितीय चिह्न पहचानें। / At least means \(\geq\), so \(27+m\geq 40\) is correct. In word problems, first identify the mathematical symbol for the key phrase.
असमानता \(x\geq 0\) में \(0\) शामिल है, इसलिए \(0\) पर कोष्ठक के बजाय वर्ग कोष्ठक लगाया जाता है। इसके बाद सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ आती हैं, इसलिए हल समुच्चय \([0,\infty)\) है। विकल्प B में \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-बिंदु को interval notation में शामिल करें। / The inequality \(x\geq 0\) includes \(0\), so a square bracket is used at the endpoint. It also includes every positive real number, giving the solution set \([0,\infty)\). Option B incorrectly excludes \(0\). Exam tip: use a square bracket for an endpoint included by \(\geq\) or \(\leq\).
सभी भागों से (4) घटाने पर \(3\leq x<8\) मिलता है। संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Subtracting (4) from all parts gives \(3\leq x<8\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
वाक्य में (3) जोड़ना (x+3) और बड़ा है (>) को दर्शाता है। शब्द आधारित प्रश्नों में पहले चर तय करें। / Increasing by (3) means (x+3), and greater than means (>). In word problems, define the variable first.
\(-\frac{x}{2}>-3\) और ऋणात्मक गुणक हटाने पर (x<6) मिलता है। चिन्ह बदलने की स्थिति पहचानें। / \(-\frac{x}{2}>-3\), and removing the negative factor gives (x<6). Identify when the sign must be reversed.
दोनों सीमाओं में बराबरी है, इसलिए (2) और (6) शामिल हैं। दिए गए विकल्पों में (x=6) सही है। / Both boundaries include equality, so (2) and (6) are included. Among the options, (x=6) is correct.
असमानता \(x>1\) में \(x\), 1 से बड़े सभी मान लेता है, लेकिन 1 स्वयं शामिल नहीं होता। इसलिए 1 पर खुला कोष्ठक और अनंत पर हमेशा खुला कोष्ठक लगाया जाता है, जिससे \((1,\infty)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में 1 शामिल है, इसलिए वह \(x\geq1\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) या \(<\) के लिए खुला कोष्ठक और \(\geq\) या \(\leq\) के लिए बंद कोष्ठक प्रयोग करें। / The inequality \(x>1\) includes all real numbers greater than 1 but excludes 1 itself. Therefore, an open parenthesis is used at 1; infinity always takes an open parenthesis, giving \((1,\infty)\). Option B includes 1 and represents \(x\geq1\), so it is incorrect. Exam tip: use open parentheses for \(>\) or \(<\), and closed parentheses for \(\geq\) or \(\leq\).
दोनों पक्षों को \\(-5\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि \\(-5\\) ऋणात्मक संख्या है: \\(x \leq -3\\)। विकल्प B में चिन्ह को उलटने की यह आवश्यक प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by \\(-5\\) reverses the inequality sign because \\(-5\\) is negative: \\(x \leq -3\\)。 Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(5\) से विभाजित करने पर असमिका का चिन्ह नहीं बदलता: \(x\leq \frac{-20}{5}=-4\)। इसलिए सही उत्तर \(x\leq -4\) है। विकल्प B में चिन्ह अनावश्यक रूप से उलट दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिन्ह उलटता है। / Dividing both sides by the positive number \(5\) does not reverse the inequality sign: \(x\leq \frac{-20}{5}=-4\). Therefore, \(x\leq -4\) is correct. In option B, the sign has been reversed unnecessarily. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
विकल्प A में \(x+3\leq 0\) से दोनों पक्षों में 3 घटाने पर \(x\leq -3\) प्राप्त होता है। विकल्प B का हल \(x\leq 3\), विकल्प C का हल \(x\geq -3\), और विकल्प D का हल \(x\geq 3\) है। परीक्षा में स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाते समय उसके चिह्न का ध्यान रखें। / For option A, subtracting 3 from both sides of \(x+3\leq 0\) gives \(x\leq -3\). Option B gives \(x\leq 3\), option C gives \(x\geq -3\), and option D gives \(x\geq 3\). In an exam, carefully track the sign when moving a constant to the other side.
सीमा मान बराबरी लगाकर मिलता है: (2x+5=x+9), इसलिए (x=4)। सीमा मान से खुला या बंद सिरा तय होता है। / The boundary value is found by using equality: (2x+5=x+9), so (x=4). The boundary value decides the open or closed endpoint.
x<0 का अर्थ है कि x ऋणात्मक है। किसी ऋणात्मक संख्या का विपरीत धनात्मक होता है, इसलिए -x>0 होगा। विकल्प B में चिह्न नहीं बदलने की गलती है, जबकि विकल्प D में शून्य को संभव मान लिया गया है; x=0 यहाँ दिया ही नहीं गया है। परीक्षा टिप: असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / The condition x<0 means that x is negative. The additive inverse of a negative number is positive, so -x>0. Option B incorrectly keeps the same sign, while option D includes zero even though x=0 is excluded. Exam tip: When an inequality is multiplied by -1, its inequality sign reverses.
दोनों पक्षों से \\(x\\) घटाने पर \\(2x-2>8\\) मिलता है। दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \\(2x>10\\), और 2 से भाग देने पर \\(x>5\\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल असमानता में ‘>’ है, इसलिए \\(x=5\\) शामिल नहीं है; अतः \\(x\\geq5\\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting \\(x\\) from both sides gives \\(2x-2>8\\). Adding 2 to both sides gives \\(2x>10\\), and dividing by 2 yields \\(x>5\\). Since the original inequality is strict, \\(x=5\\) is not included; therefore, \\(x\\geq5\\) is incorrect. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
A. (5) हल में शामिल है/(5) is included in the solution
Explanation
Simple Explanation
\(\geq\) का अर्थ बड़ा या बराबर होता है, इसलिए (5) शामिल है। संख्या रेखा पर (5) पर बंद वृत्त बनेगा। / \(\geq\) means greater than or equal to, so (5) is included. On the number line, use a closed circle at (5).
असमानता \(x+5<12\) में दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। साथ ही \(0\leq x\) है, इसलिए \(x\) के पूर्णांक मान 0 से 6 तक होंगे: \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\)। 7 शामिल नहीं है, क्योंकि \(7<7\) असत्य है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) में सीमा मान शामिल नहीं होता। / Subtracting 5 from both sides of \(x+5<12\) gives \(x<7\). Together with \(0\leq x\), the possible integer values of \(x\) are \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\). The value 7 is excluded because \(7<7\) is false. Exam tip: In a strict inequality such as \(<\), the boundary value is not included.
दोनों पक्षों में 1 घटाने पर \(9<3x\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर, क्योंकि 3 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(3<x\), अर्थात् \(x>3\), प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न वही रहता है; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Subtracting 1 from both sides gives \(9<3x\). Dividing by 3, which is positive, does not reverse the inequality sign, so we obtain \(3<x\), equivalent to \(x>3\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
असमिका \(x\leq 0\) का अर्थ है कि \(x\) का मान शून्य या शून्य से छोटा होना चाहिए। \(x=-3\) के लिए \(-3\leq 0\) सत्य है, इसलिए विकल्प A सही है। अन्य सभी विकल्पों में \(x\) का मान धनात्मक है, अतः वे असमिका को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) चिह्न में बराबरी भी शामिल होती है। / The inequality \(x\leq 0\) means that \(x\) must be zero or a negative number. For \(x=-3\), the statement \(-3\leq 0\) is true, so option A is correct. All the other options have positive values of \(x\), so they do not satisfy the inequality. Exam tip: The symbol \(\leq\) includes equality as well as less-than values.
(-1) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (4) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा। अंतराल लिखते समय दोनों सिरों को अलग जांचें। / (-1) is included, so use a square bracket; (4) is not included, so use a round bracket. Check both endpoints separately while writing intervals.
धनात्मक (5) से गुणा करने पर \(2x+1\leq 15\), इसलिए \(x\leq 7\)। धनात्मक हर होने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (5) gives \(2x+1\leq 15\), so \(x\leq 7\). A positive denominator does not reverse the sign.
\(4\leq 2x\) से \(2\leq x\), अर्थात \(x\geq 2\)। असमानता को पढ़ते समय दिशा का ध्यान रखें। / From \(4\leq 2x\), we get \(2\leq x\), that is \(x\geq 2\). Pay attention to direction while reading inequalities.
A. (2) पर खुला वृत्त और दाईं ओर छाया/Open circle at (2) and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
(x>2) में (2) शामिल नहीं है और उससे बड़े मान चाहिए। इसलिए खुला वृत्त और दाईं ओर छाया सही है। / In (x>2), (2) is not included and greater values are needed. So an open circle and right-side shading are correct.
