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2115 questions tagged with linear inequalities.
For integer (x), how many solutions does \(-5<2x+3\le13\) have?
B. (9)
घटाने पर \(-8<2x\le10\), इसलिए \(-4<x\le5\) मिलता है। पूर्णांक हल (-3) से (5) तक हैं, कुल (9)। / Subtracting gives \(-8<2x\le10\), so \(-4<x\le5\). Integer solutions are from (-3) to (5), totaling (9).
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Choose the solution set of the inequality \(\frac{x-2}{3}+\frac{2x+1}{4}<\frac{5x-7}{6}\).
A. कोई हल नहींno solution
धनात्मक (12) से गुणा करने पर चर पद कट जाते हैं और (-5<-14) मिलता है। असत्य कथन आने पर हल समुच्चय रिक्त होता है। / After multiplying by positive (12), variable terms cancel and (-5<-14) remains. A false final statement gives an empty solution set.
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For which real (x) is \(\frac{x-2}{3}+\frac{2x+1}{4}<\frac{5x-7}{6}\)?
B. \(x>\frac{1}{2}\)
धनात्मक (12) से गुणा करने पर (4x-8+6x+3<10x-14) मिलता है। इससे (-5<-14) असत्य है, इसलिए कोई हल नहीं। / Multiplying by positive (12) gives (4x-8+6x+3<10x-14). This reduces to (-5<-14), which is false, so there is no solution.
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If \(-\frac{2x-1}{5}+\frac{x+4}{10}\ge \frac{3}{2}\), what is the solution for (x)?
A. \(x\le -3\)
हर हटाने पर (-2(2x-1)+(x+4)\ge15) मिलता है। इससे \(-3x\ge9\), इसलिए चिन्ह बदलकर \(x\le-3\) होगा। / Clearing denominators gives (-2(2x-1)+(x+4)\ge15). Thus \(-3x\ge9\), so reversing the sign gives \(x\le-3\).
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Choose the correct solution of the inequality (7-3(2x-5)\le 4(x+2)-9x).
B. \(x\ge 14\)
यह \(22-6x\le 8-5x\) बनती है, जिससे \(14\le x\) आता है। अंतिम उत्तर को \(x\ge14\) के रूप में लिखना बेहतर है। / It becomes \(22-6x\le 8-5x\), giving \(14\le x\). It is clearer to write the final answer as \(x\ge14\).
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What is the solution of the inequality (7-3(2x-5)\le 4(x+2)-9x)?
A. \(x\ge -14\)
सरलीकरण से \(22-6x\le 8-5x\) और फिर \(14\le x\) मिलता है। सही हल \(x\ge14\) है; विकल्पों में यही रूप देखें। / Simplification gives \(22-6x\le 8-5x\), then \(14\le x\). The solution is \(x\ge14\); match the equivalent option carefully.
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For which (x) is \(\frac{5-2x}{3}<\frac{x+7}{2}-4\) true?
A. \(x>\frac{11}{7}\)
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (10-4x<3x-7) मिलता है। इससे (17<7x), अतः \(x>\frac{17}{7}\) होना चाहिए; विकल्पों में सही रूप नहीं है। / Multiplying by positive (6) gives (10-4x<3x-7). Hence (17<7x), so \(x>\frac{17}{7}\); none of the listed forms matches this exactly.
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What is the correct conclusion for the inequality (-2(3x-4)+5>3(1-2x)-7)?
A. सभी वास्तविक (x)all real (x)
सरलीकरण पर दोनों ओर (x) के पद कट जाते हैं और (13>-4) सत्य मिलता है। ऐसे प्रश्नों में अंतिम सत्य कथन से सभी वास्तविक हल मिलते हैं। / After simplification, the (x)-terms cancel and (13>-4) is true. A true final statement means all real numbers are solutions.
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What is the solution set of the inequality \(\frac{3x-5}{4}-\frac{x+1}{6}\ge \frac{x}{3}+2\)?
A. \(x\ge 9\)
हर को (12) से हटाकर पदों को सावधानी से मिलाने पर \(3x\ge27\) मिलता है। परीक्षा में हर हटाने के बाद चिन्ह न बदलें जब गुणक धनात्मक हो। / Multiplying by (12) and combining terms gives \(3x\ge27\). In exams, do not reverse the sign when multiplying by a positive number.
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What is the solution of \(\frac{2-3x}{9}<\frac{x+4}{6}\)?
A. \(x>-\frac{8}{9}\)
दोनों पक्षों को 18 से गुणा करने पर, क्योंकि 18 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(2-3x)<3(x+4)\)। अतः \(4-6x<3x+12\), यानी \(-9x<8\)। अब \(-9\) से भाग देने पर चिह्न उलट जाएगा, इसलिए \(x>-\frac{8}{9}\)। \(x\geq-\frac{8}{9}\) गलत है क्योंकि मूल असमानता में चिह्न सख्त \(<\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by 18 does not change the inequality sign because 18 is positive: \(2(2-3x)<3(x+4)\). Thus, \(4-6x<3x+12\), so \(-9x<8\). On dividing by \(-9\), the inequality sign reverses, giving \(x>-\frac{8}{9}\). \(x\geq-\frac{8}{9}\) is incorrect because the original inequality is strict. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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Which statement is correct for the inequality (4x+7>2(2x+5))?
B. कोई हल नहींNo solution
दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2(2x+5)=4x+10\) मिलता है। अतः \(4x+7>4x+10\)। दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(7>10\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए असमानता सत्य नहीं है और कोई हल नहीं है। \(x<3\) या \(x>3\) जैसे विकल्प गलत हैं, क्योंकि \(x\) वाले पद कट जाने के बाद \(x\) बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: समान \(x\)-पदों के कटने पर प्राप्त स्थिर असमानता को अवश्य जाँचें। / Expanding the right-hand side gives \(2(2x+5)=4x+10\). Thus, \(4x+7>4x+10\). Subtracting \(4x\) from both sides gives \(7>10\), which is false. Therefore, the inequality is not true for any real value of \(x\), so there is no solution. Options such as \(x<3\) or \(x>3\) are incorrect because the \(x\)-terms cancel completely. Exam tip: When like variable terms cancel, always check the resulting numerical inequality.
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Choose the solution of \(-6+\frac{5x}{2}\le \frac{x-3}{4}\).
A. \(x \le \frac{7}{3}\)
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-24+10x\le x-3\)। अब \(9x\le21\), इसलिए \(x\le\frac{21}{9}=\frac{7}{3}\)। विकल्प B में \(x=\frac{7}{3}\) शामिल नहीं है, जबकि यह मान असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(-24+10x\le x-3\). Hence \(9x\le21\), so \(x\le\frac{21}{9}=\frac{7}{3}\). Option B incorrectly excludes \(x=\frac{7}{3}\), which satisfies the inequality. Exam tip: Reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
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If (9-4(x+1)<2(3-x)), what is the correct condition for (x)?
A. \(x>-\frac{1}{2}\)
कोष्ठक खोलने पर \(9-4x-4<6-2x\), अर्थात \(5-4x<6-2x\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(4x\) जोड़ने पर \(5<6+2x\), इसलिए \(-1<2x\)। 2 से भाग देने पर \(x>-\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। \(x\geq-\frac{1}{2}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में चिह्न \(<\) है और \(x=-\frac{1}{2}\) को शामिल नहीं किया जाएगा। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / On expanding the brackets, \(9-4x-4<6-2x\), so \(5-4x<6-2x\). Adding \(4x\) to both sides gives \(5<6+2x\), hence \(-1<2x\). Dividing by 2 gives \(x>-\frac{1}{2}\). The option \(x\geq-\frac{1}{2}\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=-\frac{1}{2}\) is not included. Exam tip: dividing by a positive number does not reverse the inequality sign.
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Solve the inequality \(\frac{x-8}{5}\ge \frac{2x+1}{3}-4\).
A. \(x\le \frac{47}{7}\)
(15) से गुणा करने पर (3x-24\ge 5(2x+1)-60) मिलता है। इससे \(31\ge 7x\), इसलिए \(x\le \frac{31}{7}\)। / Multiplying by (15) gives (3x-24\ge 5(2x+1)-60). Thus \(31\ge 7x\), so \(x\le \frac{31}{7}\).
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What is the solution of (3(2x-1)-5(x+2)\le x-20)?
A. \(x\ge \frac{7}{2}\)
बायाँ पक्ष (x-13) है। \(x-13\le x-20\) असत्य \( -13\le -20\) देता है, इसलिए कोई हल नहीं होना चाहिए। / The left side is (x-13). The inequality \(x-13\le x-20\) gives false \(-13\le -20\), so there should be no solution.
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Solve the inequality \(2.2x-1.1\ge 4.4-0.5x\).
A. \(x\ge \frac{55}{27}\)
\(2.7x\ge 5.5\) से \(x\ge \frac{55}{27}\) मिलता है। दशमलव हटाने के लिए (10) से गुणा करना उपयोगी है। / From \(2.7x\ge 5.5\), \(x\ge \frac{55}{27}\). Multiplying by (10) is useful for removing decimals.
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If \(4-\frac{3x}{2}>1+\frac{x}{6}\), what is the solution for (x)?
A. \(x<\frac{9}{5}\)
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(6\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(24-9x>6+x\)। अतः \(18>10x\), इसलिए \(x<\frac{9}{5}\)। विकल्प \(x\leq\frac{9}{5}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है; \(x=\frac{9}{5}\) पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(6\) does not change the inequality sign: \(24-9x>6+x\). Hence, \(18>10x\), so \(x<\frac{9}{5}\). The option \(x\leq\frac{9}{5}\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=\frac{9}{5}\), both sides become equal. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of (12-5x\ge 3(4-2x)+x)?
A. सभी वास्तविक संख्याएँAll real numbers
दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(4-2x)+x=12-6x+x=12-5x\) मिलता है। अतः असमानता \(12-5x\ge 12-5x\) बनती है, जो प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए सत्य है। \(x\le0\) या \(x\ge0\) केवल कुछ मानों को लेते हैं, जबकि यहाँ कोई प्रतिबंध नहीं है। परीक्षा टिप: दोनों पक्षों को पहले पूरी तरह सरल करें; यदि दोनों समान हों और \(\ge\) या \(\le\) हो, तो सभी वास्तविक संख्याएँ हल होती हैं। / Simplifying the right-hand side gives \(3(4-2x)+x=12-6x+x=12-5x\). Thus, the inequality becomes \(12-5x\ge 12-5x\), which is true for every real value of \(x\). The conditions \(x\le0\) and \(x\ge0\) include only some values, whereas this inequality has no restriction. Exam tip: Simplify both sides first; if they become identical with \(\ge\) or \(\le\), the solution is all real numbers.
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Solve the inequality \(7x-4\le 2x+16\).
A. \(x\le 4\)
\(5x\le 20\) से \(x\le 4\) मिलता है। सरल रैखिक असमानता में पहले (x) वाले पद एक ओर लाएँ। / From \(5x\le 20\), we get \(x\le 4\). In a simple linear inequality, first collect (x)-terms on one side.
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If (6x+2<3(2x+1)), what is the correct conclusion?
A. सभी वास्तविक संख्याएँAll real numbers
दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(3(2x+1)=6x+3\) मिलता है। अतः असमानता \(6x+2<6x+3\) बनती है। दोनों पक्षों से \(6x\) घटाने पर \(2<3\) प्राप्त होता है, जो हमेशा सत्य है। इसलिए \(x\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए असमानता सत्य है। \(x<1\) या \(x>1\) जैसी शर्तें यहाँ नहीं बनतीं, क्योंकि \(x\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा टिप: रैखिक असमानता में पहले कोष्ठक खोलें और समान चर-पदों को दोनों पक्षों से घटाकर जाँचें। / Expanding the right-hand side gives \(3(2x+1)=6x+3\). Thus, the inequality becomes \(6x+2<6x+3\). Subtracting \(6x\) from both sides gives \(2<3\), which is always true. Therefore, the inequality is satisfied by every real value of \(x\). Conditions such as \(x<1\) or \(x>1\) do not arise because the variable terms cancel completely. Exam tip: first expand brackets, then cancel like variable terms before deciding the solution set.
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Solve the inequality \(5-\frac{x-3}{2}\ge \frac{3x+1}{4}\).
A. \(x\le 5\)
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(20-2(x-3)\ge 3x+1\)। सरल करने पर \(26-2x\ge 3x+1\), अर्थात \(25\ge 5x\)। 5 से भाग देने पर \(x\le 5\) प्राप्त होता है। \(x<5\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=5\) भी मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(20-2(x-3)\ge 3x+1\). Simplifying gives \(26-2x\ge 3x+1\), or \(25\ge 5x\). Dividing by 5 gives \(x\le 5\). The close distractor \(x<5\) is incorrect because \(x=5\) also satisfies the original inequality. Exam tip: the inequality sign remains unchanged when multiplying or dividing by a positive number.
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Which interval is the solution of (2(1-3x)<4-7x)?
A. \(x<2\)
दिया है: \(2(1-3x)<4-7x\)। कोष्ठक खोलने पर \(2-6x<4-7x\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(7x\) जोड़ने पर \(2+x<4\), अतः \(x<2\)। इसलिए सही विकल्प \(x<2\) है। \(x\leq2\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता में < है; \(x=2\) को शामिल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: असमानता को हल करते समय केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Given \(2(1-3x)<4-7x\), expanding the bracket gives \(2-6x<4-7x\). Adding \(7x\) to both sides gives \(2+x<4\), so \(x<2\). Hence, \(x<2\) is correct. \(x\leq2\) is not correct because the original inequality is strict, so \(x=2\) is excluded. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing both sides by a negative number.
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What is the solution of \(-\frac{4x-1}{3}\le 5-x\)?
A. \(x\ge -14\)
दिया है \(\frac{-4x+1}{3}\le 5-x\)। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(3\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-4x+1\le 15-3x\)। दोनों पक्षों में \(4x\) जोड़ने पर \(1\le 15+x\), अतः \(-14\le x\), अर्थात \(x\ge -14\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(x>-14\) गलत है, क्योंकि \(x=-14\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / The inequality is \(\frac{-4x+1}{3}\le 5-x\). Multiplying both sides by the positive number \(3\) does not reverse the inequality sign: \(-4x+1\le 15-3x\). Adding \(4x\) to both sides gives \(1\le 15+x\), so \(-14\le x\), i.e. \(x\ge -14\). Hence, option A is correct. \(x>-14\) is incorrect because \(x=-14\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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If \(\frac{x}{3}-\frac{x-5}{6}>2\), what is the correct condition for (x)?
A. \(x>7\)
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 6 लेकर बायाँ पक्ष \(\frac{2x-(x-5)}{6}=\frac{x+5}{6}\) बनता है। अतः \(\frac{x+5}{6}>2\) से \(x+5>12\), इसलिए \(x>7\)। \(x\geq 7\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=7\) पर बायाँ पक्ष 2 के बराबर होता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Using the LCM 6, the left-hand side becomes \(\frac{2x-(x-5)}{6}=\frac{x+5}{6}\). Thus, \(\frac{x+5}{6}>2\) gives \(x+5>12\), so \(x>7\). The option \(x\geq 7\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=7\), the left-hand side equals 2. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
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Choose the solution set of (8-3(2-x)\ge 4x-1).
A. \(x\le 3\)
कोष्ठक खोलने पर \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\) मिलता है। अतः \(2+3x\ge 4x-1\), इसलिए \(3\ge x\), अर्थात \(x\le 3\)। \(x<3\) निकटतम विकल्प है, पर वह गलत है क्योंकि \(x=3\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं और \(\ge\) में समानता शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता में पदों को एक पक्ष से दूसरे पक्ष ले जाते समय चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। / On expanding the bracket, \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\). Thus, \(2+3x\ge 4x-1\), which gives \(3\ge x\), or \(x\le 3\). The closest distractor, \(x<3\), is incorrect because at \(x=3\) both sides are equal, and \(\ge\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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Solve the inequality \(3-\frac{2x+5}{7}\le \frac{1-x}{2}\).
C. \(x\ge -9\)
(14) से गुणा करने पर (42-2(2x+5)\le 7(1-x)) मिलता है। इससे \(32-4x\le 7-7x\), अतः \(x\le -\frac{25}{3}\) नहीं बल्कि \(3x\le -25\) है। / Multiplying by (14) gives (42-2(2x+5)\le 7(1-x)). This gives \(32-4x\le 7-7x\), so \(3x\le -25\).
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What is the solution of \(\frac{9x+4}{5}\ge 2x-3\)?
A. \(x\le 19\)
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(5\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(9x+4\ge 10x-15\)। अब \(9x\) को दाएँ और \(-15\) को बाएँ लेने पर \(19\ge x\), अर्थात \(x\le 19\)। \(x<19\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=19\) भी असमानता को संतुष्ट करता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(5\) does not reverse the inequality: \(9x+4\ge 10x-15\). Rearranging gives \(19\ge x\), or \(x\le 19\). The closest distractor, \(x<19\), is incorrect because \(x=19\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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If \(0.75x+\frac{1}{2}<2-\frac{x}{4}\), what is the solution for (x)?
A. \(x<\frac{3}{2}\)
\(0.75x=\frac{3x}{4}\) लिखें। दोनों पक्षों में \(\frac{x}{4}\) जोड़ने पर \(x+\frac{1}{2}<2\) मिलता है। अब \(\frac{1}{2}\) घटाने पर \(x<\frac{3}{2}\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि दी गई असमता कठोर है; \(x=\frac{3}{2}\) पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि \(<\) में बराबरी स्वीकार नहीं होती। परीक्षा टिप: असमता का चिह्न तभी पलटता है जब दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए। / Write \(0.75x\) as \(\frac{3x}{4}\). Adding \(\frac{x}{4}\) to both sides gives \(x+\frac{1}{2}<2\). Subtracting \(\frac{1}{2}\) gives \(x<\frac{3}{2}\), so option A is correct. Option C is incorrect because the inequality is strict: at \(x=\frac{3}{2}\), both sides are equal, which is not allowed by \(<\). Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing both sides by a negative number.
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Which is the correct solution of (-2(5-x)+3(x-4)>6x+1)?
A. \(x<-23\)
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(-2(5-x)+3(x-4)=-10+2x+3x-12=5x-22\) मिलता है। अतः \(5x-22>6x+1\), यानी \(-x>23\)। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<-23\) प्राप्त होता है। \(x\le -23\) सही नहीं है क्योंकि मूल असमानता कठोर \(>\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Simplifying the left-hand side gives \(-2(5-x)+3(x-4)=-10+2x+3x-12=5x-22\). Thus, \(5x-22>6x+1\), so \(-x>23\). On multiplying both sides by \(-1\), the inequality sign reverses, giving \(x<-23\). \(x\le -23\) is incorrect because the original inequality is strict, \(>\). Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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Which of the following inequalities has a solution set that is an open interval?
A. \(2<x<7\)
असमानता \(2<x<7\) में दोनों सिरों पर कठोर असमानताएँ (<) हैं, इसलिए 2 और 7 हल-समुच्चय में शामिल नहीं होते। अतः इसका हल-समुच्चय खुला अंतराल \((2,7)\) है। विकल्प B और C अर्ध-खुले अंतराल हैं, जबकि विकल्प D बंद अंतराल है क्योंकि दोनों छोर शामिल हैं। परीक्षा टिप: < या > होने पर संबंधित छोर खुला होता है; \(\le\) या \(\ge\) होने पर छोर बंद होता है। / In \(2<x<7\), both inequalities are strict, so neither 2 nor 7 is included in the solution set. Hence, the solution set is the open interval \((2,7)\). Options B and C represent half-open intervals, while option D is a closed interval because both endpoints are included. Exam tip: An endpoint is open for < or >, and closed for \(\le\) or \(\ge\).
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